排列组合 马虎不得-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2026年3月 排列组合 ■浙江省绍兴市上虞区职教中心 章成尧 排列组合是高中数学学习的难点，又是 从其他6位同学中选取3位同学按照从高到 学习概率、统计的基础，也是高考的必考内 矮的顺序站在一边，剩下的3位同学也按照 容。不少同学在解决排列组合问题时会出现 从高到矮的顺序站在另一边，满足从中间看 错误，除了对排列组合问题的解法缺乏规律 两边，一个比一个矮，则有C=20(种)排法。 性的认识，就是没有及时总结错误，找到产生 评注：区别排列问题与组合问题要看是 错误的思维模式，并从本质上改正它。下面 否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题， 剖析三类典型的错误，旨在帮助同学们抛开 与顺序无关的属于组合问题。 错误思路，重建思维模式，提高解题能力。 二、重复计数导致错误 一、混淆概念导致错误 1.分步“干扰”导致重复 1混淆两个计数原理 例310件产品中有3件次品，从中抽 例1我校高一有6个班，高二有5个 出4件，至少有1件次品的抽法有多少种？ 班，高三有8个班，各年级举行班与班之间的 错解：先在3件次品中抽出1件，有C 篮球单循环赛，则共需要进行多少场比赛？ 种抽法，然后在剩余9件产品中任意抽出3 错解：依据题意，高一有C场比赛，高二 件，有C种抽法，据分步计数原理知共有 有C场比赛，高三有C场比赛，则共需要进 CC=252(种)抽法。 行CCC=4200(场)比赛。 剖析：假设A、B、C为3件次品，D为某 剖析：结合题意，各年级之间进行的比赛 件正品，“先抽A,再抽B、C、D”与“先抽B, 应该是分类计数，而不是分步计数。 再抽A、C、D”,两次抽出的结果相同，都是 正解：共需要进行比赛的场数为C十C {A,B,C,D},明显重复。 +C=53。 正解1：分三类：第一类，恰有1件次品， 评注：分类计数原理与分步计数原理是 有CC种抽法；第二类，恰有2件次品，有 关于计数的两个基本原理，它们是学习排列、 CC号种抽法；第三类，恰有3件次品，有CC 组合、二项式定理和计算事件概率的预备知 种抽法。 识，一定要弄清两者的区别。 共有CC+CC号+CC=175(种)抽法。 2.混淆排列与组合 正解2：（间接法）先从10件产品中任取4 例27位身高各不相同的同学排成 件，有C。种抽法，而从7件正品中任取4件，有 一排拍照留念，摄影师要求从中间到两边由 C种抽法，故共有C。一C=175(种)抽法。 高到矮站成一排，则不同的排法共有多少种？ 评注：实际上，要真正领悟乘法原理的精 错解：最高的同学必须站在中间，再从其 髓一逐一分步，步步独立，互不干扰。本例错 他6位同学中选取3位同学排在一边，有A 解中，用第一步剩下的元素去进行第二步，就表 种，剩下的3位同学的排法有A种，则共有 明第二步受制于第一步，并且两步相互影响。 AA=720(种)排法。 2.平均分堆“不均”导致重复 剖析：题目看似是排列问题，但其实是组 例4有6本不同的书，分成3堆，每 合问题。要分清题意，判断是否与顺序有关。 堆2本，有多少种不同的分堆方法？ 正解：由于7位同学身高各不相同，那么 错解：分三步：首先在6本中任取2本作 按照题目要求，最高的同学必须站在中间，再 为一堆，有C种方法；在余下的4本中任取2 40 器脑登景城日黎翻折中学生表理化 本作为一堆，有C种方法；最后剩下的2本作 由分类计数原理知，共有A:十AAA 为一堆 =504(种)站法。 由分步计数原理知，共有CCC号=90 评注：排列组合问题中经常会有一些限 (种)方法。 定或隐含的限制条件，若不加以全面细致排 剖析：将6本不同的书编号为A、B、C、 查，容易出现重复情况，导致错误。 D、E、F,第一种取法为“先取A、B,再取C、 三、计数漏解导致错误 D,最后取E、F,分成三堆”，第二种取法为 1.分类不全导致漏解 “先取C、D,再取A、B,最后取E、F,分成三 例6从6名短跑运动员中选4人参加 堆”，可见两种取法为同一分堆方法。显然， 4×100米接力赛，如果其中甲不跑第一棒，乙不 表面的“平均”掩盖了内部的“不平均”。 跑第四棒，那么有多少种不同的参赛方法？ 正解：6本中任取2本作为一堆，有C 错解：从6人中选取4人参加4×100米 种方法；之后在余下的4本中任取2本作为 接力赛，共有A种方法。甲跑第一棒，乙不 一堆，有C种方法；剩下的2本作为一堆；最 跑第四棒有CA?种方法；甲不跑第一棒，乙 后除以平均分堆的“重复”次数A。 跑第四棒有CA?种方法；甲跑第一棒，乙跑 共有CCC =15(种)不同的分堆方法。 第四棒有A号种方法。共有A一2CA?一A A =300(种)方法。 评注：对于平均分组问题，应按每组几个 剖析：错解中只考虑到甲、乙2人都参赛 元素依次选取，将各种选取方法相乘，然后除 的情形，而漏掉了甲、乙2人中只有1人参赛 以组数的阶乘。 的情形，还应排除情形：甲跑第一棒，乙不参 3.兼顾不到位导致重复 赛；乙跑第四棒，甲不参赛。故在排除的分类 例56个人站成一排，其中甲不站排 过程中产生了漏解。 头，乙不站排尾的方法有多少种？ 正解1：（间接法）从6人中选取4人参加 错解：6个人任意站成一排有A；种站 4×100米接力赛，共有A种方法。甲参赛 法，减去不符合题意的两类，第一类：甲站排 跑第一棒有A种方法，其中包含乙参赛跑第 头，其余5人有A种站法；第二类：乙站排 四棒；乙参赛跑第四棒有A种方法，其中包 尾，其余5人有A种站法。 含甲参赛跑第一棒；甲、乙2人都参赛，且甲 故共有A一2A=480(种)站法。 跑第一棒，乙跑第四棒有A种方法。 剖析：此解法在“全部减去不符合题意的 故共有A一2A十A=252(种)方法。 两类”中，忽视了一种特殊情况，即甲站排头 正解2：（特殊位置优先法）甲不跑第 且乙站排尾被“重复”诚去，从而导致错误。 棒，乙跑第一棒有A种方法；甲、乙都不跑第 正解1：（间接法）6个人任意站成一排有 一棒且乙不跑第四棒，有CCA号种方法。 A种站法，诚去不符合题意的两类，第一类： 故共有A十CCA?=252(种)方法。 甲站排头，其余5人有A种站法；第二类：乙 评注：遇到需要分类处理排列问题时，一 站排尾，其余5人有A种站法；再补上“重复” 定要按照同一标准，严格分类，做到既不重复 减去的甲站排头且乙站排尾的A种站法。 也不遗漏。 故共有A-2A十A=504(种)站法。 2.分步过程中忽视分类导致漏解 正解2：（特殊元素法）分两类：第一类为 例7椭圆的长轴和短轴把椭圆分成 甲站排尾，此时乙不再特殊，共有A种站法； 4个区域，现要给这4个区域涂色，有5种不 第二类为甲先从中间4个位置选1个站，有 同的颜色可供选用，每种颜色可重复使用多 A种站法，再安排乙，有A种站法，其余4 次，但相邻区域（有公共边）不能同色，一共有 个人有A种站法。 多少种不同的涂色方法？ (下转第45页) 41 器脑数新接攀膏中学生表理化 成立问题的求解。求解恒成立问题的基本思 路是通过参变分离的方式将问题转化为b≤ x+1)>0。故h(x)=g'(x)在(-1， 1 h(x)恒成立，则b≤h(x)mm,结合零点存在 +∞)上单调递增。 定理或采用放缩法判断h(x)的单调性，即可 又因为g'(0)=0,所以当x∈（一1,0） 得到最值，点。 时，g'(x)<0;当x∈(0，十o∞)时，g'(x)> 例6已知函数f(x)=lnx十(1 0。 因此g(x)在（一1,0）上单调递诚，在(0， a)·x+1(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性； 十∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=1。 (2)若x>-1,不等式f(x+1)<e一 所以a<1,a的取值范围为（一∞，1）。 (a一1)x一2(a一1)恒成立，求实数a的取值 方法二（切线放缩）：因为f(x)=lnx十 (1-a)x十1，f(x+1)<e-(a-1)x-2(a 范围。 解析：(1)当a≤1时，f(x)在(0，十∞) -1)恒成立，所以1n(x+1)十(1一a)·(x十 1)+1<e-(a-1)x-2(a-1),即a<e 上单调递增，当a>1时f(x)在(0，。上 ln(x+1)恒成立。 单调递增，在（二十）上单调递减。过 因为e≥x十1，ln(x+1)≤x,所以e一 ln(x十1)≥1，当且仅当x=0时取等号。 程略。 所以a<1,a的取值范围为（一∞，1）。 (2)方法一：因为f(x)=lnx+(1一a)x 切线放缩应用很广，题目中如果含有e +1,f(x十1)e-(a-1)x-2(a-1)恒成 和1nx,非常有必要试一试切线放缩方法。 立，所以ln(x+1)+(1-a)(x+1)+1<e 此方法在解选择题和填空题时可以放心使 -(a-1)x-2(a-1),即a<e-ln(x十1)。 用，解答题中可先简证切线放缩不等式再使 令g(x)=e-ln(x+1),且x>-1,则 用。需要提醒的是，利用切线放缩求最值，务 g'(x)=e"- 1 必要考虑取等号的条件。 x十1 (责任编辑徐利杰) 令h(x)=g'(x),则h'(x)=e十 (上接第41页) 错解：如图1，给4个区域A、B、C、D涂 由分步计数原理知，共有5×4×4×3= 色可分四步完成： 240(种)方法。 剖析：给C涂色有4种方法，给D涂色 不一定有3种方法(B、C同色时，D有4种涂 法)。C区域的涂色直接影响D区域的涂色 A B 方法，但分步时未予考虑。 正解：分三步：①给A涂色有5种方法； D ②给B涂色有4种方法；③当C与B异色 时，C有3种方法，D有3种方法，共9种方 法，当C与B同色时，C有1种方法（与B同 图1 色)，D有4种方法。由计数原理知，共有5× ①给A涂色有5种方法； 4×(9+4)=260(种)方法。 ②给B涂色有4种方法； 评注：计数涂色种数是学习和巩固两个 ③给C涂色有4种方法（与A不同色）； 原理的有效载体，因此，在各级、各类考试中 ④给D涂色有3种方法（与B、C不同色）。 常能看到其靓影。 （责任编辑徐利杰) 45