排列组合重要模型分类及针对性求解策略探析-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

知识篇新高考名师护航中学生数理化 高二数学2026年3月 排列组合重要模型分类及针对性求解策略探析 ■山东省枣庄市第三十九中学 赵烨 ■山东省枣庄市第二中学 王中华（正高级教师） 排列组合是高中数学中极具综合性与应 故选B。 用性的内容，其问题情景繁杂多变，既包含排 ,点评：解题的核心是分步计数，先算正面 座、排课表等基础模型，更衍生出诸多新颖模 涂色（相邻不同色），再分类讨论反面与正面 型。由于不同模型的解题思路存在显著差异， 的色彩对应关系，注意避免遗漏反面的色彩 精准归类并掌握对应策略是破解排列组合问 选择情况。 题的核心。下面梳理十三个排列组合重要模 二、电梯模型 型，深入剖析各模型的本质特征，针对性提炼 例2电梯中有6位乘客，电梯在5层 解题方法，助力同学们快速把握解题关建。 楼房的每一层停留。如果有2位乘客从同一 一、涂色模型 层出去，另2位在同一层出去，最后2位各从 例1刺绣是我国民族 不同的楼层出去，那么出电梯的不同方法种 传统工艺之一，始于宋代的双 数是()。 面绣更是传统工艺一绝，它是 A.1600 B.2700 在同一块底料上，同一绣制过 C.5400 D.10800 程中，绣出正反两面图案对称 分析：先把6人按2,2,1,1分成4组，再 而色彩不一样的绣技。某中学 图 选择4个楼层让这4组人分别出电梯即可。 为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求 为图1中三片花瓣图案做一幅双面绣作品， 解：由题意知所有方法种数为CCCC AXA× 现有4种不同颜色绣线可选，且双面绣每面 A=5400。 三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品 故选C。 不同色彩的设计方法有()种。 点评：本题是分组排列问题，将乘客出电梯 A.144B.264C.288 D.432 转化为“球放盒子”，关键是先确定分组方式(2， 分析：先求出正面区域可能的色彩设计 2,1,1),再结合楼层进行排列，核心是分组与排 方法，再求出反面区域可能的色彩设计方法， 列的结合。解题的关键是确定完成这件事的方 由分步乘法计数原理即可得出答案。 法，然后由计数原理计算即可。公交车与电梯 解：4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区 模型，可以转化为盒子里放球模型，先分组后排 域不能同色，则需用其中3种颜色，有A种 列，要注意是否需要剔除掉“空”盒子。 不同方法。 三、传球模型 对于A种方法的每一种，考虑反面设 例3A1,A2,…,An(n≥3)n个人传 计。若正面三色为1、2、3，则反面颜色可选 球，第一次由A1开始传球，可传给其他任何 1,2、3,但与正面不能同色，故对应2、3、1和 一个人，第二次由拿球者再传给其他任何一 3、1、2两种情况。反面颜色也可选1、2、4，对 个人，如此继续下去，则第k次传球仍回到 应2、1、4,2、4、1,4、1、2三种情况；同理反面 A,手中的传球方法种数是多少？ 颜色选1、3、4，有三种情况，反面颜色选2、3、 分析：本题考查传球问题的递推计数方 4,有三种情况。 式，以“第n次传球回到起点”为目标，需通 则正面三色为1、2、3，反面颜色对应有 过前n一1次传球位置推导出递推关系，体现 11种情况。 分步计数与递推思维。 所以双面绣不同色彩的设计方法共有 解：由题意设第k次传球仍回到A1手中 A×11=264(种)。 的传球方法种数是a:。 5 中学生数理化高空数学2026年3月 知识篇新高考名师护航 则a1=0,a2=n-1,且a=(n-1)-1 率捷法》比西方更早提到了“卡特兰数”（以比 ak-1o 利时数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命 变形可得a:一 1 ·(n-1)= 名)。有如下问题：在n×n的格子中，从左下 n 角出发走到右上角，每一步只能往上或往右 1 Q:-1- 17 ·(n-1)-1] 走一格，且走的过程中只能在左下角与右上 角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该 所以aE= (n-1)+(-1)·(n-1) 连线)，则共有多少种不同的走法？此问题的 k∈N"。 结果即卡特兰数Cn一C。 点评：解题的关键是构建递推关系，通过分析 如图2，现有3×4的 第k次与第k一1次传球的关系式，建立递推公式， 格子，每一步只能往上或 利用递推思想求解，需注意初始条件的确定。 往右走一格，则从左下角 四、球放盒子模型 A走到右上角B共有 例4河南具有悠久的历史和丰富的 种不同的走法；若要 图2 文化底蕴，其美食也独具特色。现有一名游 求从左下角A走到右上 角B的过程中只能在直线AC的右下方，但 客计划在三天内品尝完以下6种河南特色美 可以到达直线AC,则有种不同的走法。 食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄 分析：聚焦网格路径计数，第一空考查无 河鲤鱼。该游客每天从这6种美食中选择1 限制条件下的组合数计算，第二空结合卡特 到3种进行品尝（每天必须选择且不能选择 兰数定义，体现规定约束（不穿对角线）下的 已品尝过的美食)。若三天后恰好品尝完所 组合数计算。 有美食，则不同的选法种数为()。 解：从左下角A走到右上角B共需要7 A.450B.360C.180 D.90 步，其中3步向上，4步向右。 分析：根据题意可知分配方式有1,2,3 故只需确定哪3步向上走即可，共有C 和2,2,2两种情况，然后分别计算这两种情 =35(种)不同的走法。 况的选法种数，最后相加就是所求答案。 如图3，要求从左下 D 解：①计算按照1,2,3分配的选法种数。 角A走到右上角D的过 。。。。。。。。。。。。 B 根据分步乘法计数原理，按1,2,3分配 程中只能在直线AD的 的选法种数为： 右下方（不能穿过，但可 C×C×C×A=6×10×1×6=360。 以到达该连线)，则由卡 、 ②计算按照2,2,2分配的选法种数。 特兰数可知，共有C CxC×C×A-15X6X A 6 ×6=90. C=14(种)不同的走法。 图3 将两种选法种数相加，得到总的选法种 因为到达右上角D必须先经过B,所以 数为360十90=450。故选A。 满足题目条件的走法种数也是14。 点评：核心是卡特兰数的应用，适用于“网 ,点评：此类问题先分组再排列（尽量遵循 这个原则，否则容易出现重复)，分组时要注 格路径不穿过特定直线”的问题，需先确定总步 意是否存在“平均分配”的情况。关键是先确 数及方向步数，再结合卡特兰数公式求解。 定美食的分组方式(3,2,1和2,2,2)，区分平 六、走路口模型 均分组与非平均分组，避免分组时出现重复 例6在我国古代，杨辉三角是解决很多 计数，核心是“先分组，再排列”的解题思路。 数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网 五、卡特兰数模型 格路径问题等。某一城市街道如图4所示，分别 例5清代数学家明安图所著《割圆密 以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街 道上行走（规定只能由西向东、由北向南前行）。 加设数雾商普色师护芦中学生款理化 如图5所示，若从这A 北 复数字的五位“波浪数”的十位、千位数宇为 个城市的最西北角 5与4或5与3. A处前往最东南角 当十位、千位数字为5与4时，排十位、 B处，则有70种走 千位数字有A:种排法，排另三个数位有A 法。现在由平面扩 种排法，共有A:A种排法。 展到空间，即立体交 当十位、千位数字为5与3时，则4与5 通方格网的路径问 必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5 题，如图6，则从点 图4 可视为一个整体，1,2,3视为一个整体，且3 P到点Q的最短距离的走法种数为( )。 在1与2的中间，因此不同排法有AA种。 本北 所以构成的无重复数字的五位“波浪数” 的个数为AA+AA?=2×6+2×2=16。 故选B。 3570 点评：解题的关键是抓住“十位、千位数 字均比相邻数字大”的特征，分类讨论十位、 图5 图6 千位的数字组合，再结合排列知识计算，避免 A.60 B.70C.80 D.90 遗漏数字组合情况。 分析：将平面网格路径扩展到空间，最短 八、配对模型 路径需拆分三维方向步数，用组合数求解，考 查维度扩展后的计算迁移能力。 例8近年来网上购物成为主流。因保 解：根据题意，由西向东、由南向北前行 管不善，A、B、C、D4个快递送货地址模糊不清， 中，最近的走法有5步，其中由西向东有3 但快递小哥记得这4个快递应分别送到甲、乙、 步，由南向北有2步，所以共有CC=10 丙、丁4个地方，全部送错的概率是()。 (种)不同的走法。 A.B. 在每种走法中，其中有6个位置能向上 分析：本题考查错位排列与概率计算，核 走一步，所以有C=6(种)不同的走法。 心是先求4个快递全送错的错位排列种数， 根据分步计数原理得，从点P到点Q的 再除以总排列数得到概率，聚焦“全错位”计 最短距离的走法种数为10×6=60。 数规则与古典概型的结合。 故选A。 解：若全部送错，则每个快递都送到了其 点评：解题的关键是将空间路径问题转 他的地方，即A有3种送错可能，若A送到 化为平面路径问题，先确定各方向的最短步 B应该送的地方，则B有3种送错可能，故全 数，再利用分步计数原理计算，核心是“分步 部送错的情况有3×3=9（种）。 确定各方向步数组合”。 9 七、波浪数模型 而总共有A=24(种)可能，所以P= 24 例7形如45132的数称为“波浪数”，即 3 十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数 8 字大，由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五 故选C。 位“波浪数”的个数为()。 ,点评：本题是全错位排列问题，解题的关键 A.13B.16C.20D.25 是掌握全错位排列的计数方法，先求符合条件 分析：考查“波浪数”的分类计数，明确 的全错排情况数，再结合古典概型求概率。 十位、千位为峰值，需先定峰值数字，再排列 九、电路图模型 其余元素，体现分类讨论与排列规则的应用。 例9图7是一个空气开关，又名空气 解：依题意知，由1,2,3,4,5构成的无重 断路器，是家中非常重要的一种电器，它集控 中学生数理化高空数学2026年3月 知识篇新高考名师护航 制和多种保护功能于一身，当电 质点的一种运动路径)，则不同的跳动路径的 路或电气设备发生短路、过载 种数为( 时，它能及时准确地切断电源避 A.10B.14 C.16D.20 免事故发生。某学校配电房共 分析：考查受限条件下的路径计数。跳动 有18个空气开关排成一列，电 8次到指定点，不跨越x轴，需拆分右上、右下 工准备进行电路调试，打算关闭 图7 跳动步数，结合限制条件筛选有效路径，用组合 3个，头尾不能关闭，关闭的相 数求解，体现分步计数与约束条件的融合。 邻2个开关之间至少有2个是开的，则不同 解：由题 的方案种数是()。 意可知，质点 A.220B.364 C.560 D.680 每次跳动后到 4 分析：运用插空法解决受限排列问题。 达边长为1的 18个开关头尾不关，关闭开关需满足相邻间 小正方形对角 距≥2，先排打开的开关，再选符合条件的空 线端点。如图 9所示，在质点 0 4 5 7 插入关闭开关，体现受限计数的插空逻辑。 89 解：将18个开关分成两组，一组为要关闭 每次跳动后到 图9 的3个开关，另外一组为剩余的15个开关。 达的端点处标出在此端点之前的符合要求的 由题意可知：开关均是相同的，将剩余的 路径数，每个端点处对应的数宇应为前一个端 15个开关中的13个排成一排，将需要关闭 点或前两个“流向”此处端点的数字之和。 的3个开关插空，不能插在首尾两位，不同的 故符合条件的路径数为14，选B。 方案共有C12=220(种)。 点评：采用“端点路径数累加”的递推思 由于关闭的相邻两个开关之间至少有2 路，结合“不跨越x轴”的限制条件，逐步推导 个是打开的，再将剩下的2个开关插人关闭 各端，点的路径数，核心是分类统计流向每个 的开关之间，2个间隔各放1个。 端点的有效路径。 因为开关均是相同的，所以放法是唯一 十一、递推模型 的，则不同的方案共有220种。 例11若数列{an}共n项，as∈{0， 故选A。 1}(k=1,2,…,n),且对任意mn,a1, 点评：解题的核心是插空法的应用，先通 a2,…,am中0的个数不少于1的个数，则称 过构造“打开的开关”框架，再将关闭的开关 数列{an}为“广义和谐01数列”。若“广义和 插入符合条件的空位，注意头尾限制和相邻 谐01数列”{an}中，n=2i(i∈N”),其中有 关闭开关的间隔要求。 项为0，有i项为1，则称数列{an}为“和谐01 十、机器人跳动模型 数列”。用f(s,t)表示s个0，t个1构成的 例10在 6 “广义和谐01数列”的个数，当入>3时，则 平面直角坐标系 5 f(入，3)=（用含入的式子表示）。 中，有许多边长 4 分析：利用排列组合知识求得f(i,2)= 为1的正方形网 2 格，一质点从坐 一2，再利用递推法f(,3)=∫(3,2)十 2 标原点(0,0)开0 f(4,2)十f(5,2)+…十f(入，2)得解。 始，沿着正方形 图8 解：依题意知，最后一位只能排“1”，则 网格的对角线向 f(3,3)=f(3,2),此时a=0或a5=1。 右上方或右下方随机跳动，跳动一次运动路 因此f(3,3)=f(3,2)=f(2,2)+f(3, 程为2，若质点跳动不跨越x轴到第四象限 1)=f(2,1)+f(3,1)=C+C=5。 且跳动8次后落在点(8,0)处（如图8给出了 f(入，3)=f(入-1,3)十f(入，2)=f(入 8 加设数雾商普色师护芦中学生款理化 2,3)+f(入一1,2)十f(λ，2)=…=f(3,3)+ 能站在自己原来位置上的站法为D,种，写出 f(4,2)+f(5,2)+.+f(λ，2)=f(3,2)+ Dn+1和Dn,Dn-1(n≥2)之间的递推关系，并证 f(4,2)+f(5,2)+…+f(,2)。 明数列{Dn一nD,n-1}(n≥2)是等比数列。 下面先求f(i,2)(3≤i≤入，i∈N")。 (3)假设让站好的一排n名队员热身训 先将“0”排好，得0☐0☐0☐0☐0☐…0 练后立即随机站成一排，记这些队员都没有 □，其中i个“0”，i个“□”。 站到原位的概率为P。,证明：当n无穷大时， 2个“1”有两种排法：①整体插入其中一 个“☐”中，共有i一1种方式； 卫，趋近于。.《参考公式：c-1十x十号十 ②在i个“□”中任取2个，各插入一个 1+…) “1",共有C=i1D种方式。 2 分析：解答本题的核心是错位排列（重 于是f(i,2)=i-1+i1 排)，聚焦“元素不占原位置”的排列规律。 2 (1)通过具体数字(3、4名队员)考查错位排 i2十i-2 列的基础计数；(2)推导错位排列数的递推关 2 系，再通过构造转化，证明其为等比数列，体 所以f(入，3)=f(3,2)+f(4,2)+f(5, 现逻辑推导能力；(3)结合概率定义与极限公 2)++f0a,2)=2+g-2=号之（十 2 式，揭示当元素个数趋于无穷大时，全错位排 =32 列概率趋近于二的本质，贯穿从具体到抽象、 i)-(入-2)= 卡71[i(i+1)(i+2)-(五 3= 从计数到分析的思维链条。 -1D1+1D]-a-2)=名[3×4×5-2×3 解：(1)当有3名队员时，重新站成一排 ×4+4×5×6-3×4×5+·+入（λ+1）（入+ 有2种站法。 当有4名队员时，假设为甲、乙、丙、丁， 2)-(10x(A+1D]-a二2)=60G十1) 先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置， a+2)-24]-a-2)=日xa+1)a+2) 则再安排乙，也有3种站法，剩下的2名队员 只有1种站法。由分步乘法计数原理可得， a+2)=1a-2)a+2(a+3)。 有3×3×1×1=9（种）站法。 6 (2)易知D1=0,D2=1。 1 故答案为后(1一2)(A+2)1十3)。 若有n十1名队员，热身训练后都不站原 点评：解题的关键是结合“0的个数不少 来的位置，则可以分两个步骤： 于1的个数”的限制，分类讨论“1”的插入方 第一步，先让其中1名队员甲去选位置， 式，通过递推关系逐步推导，核心是分类计数 有n种选法。 与递推思想的结合。 第二步，重排其余n名队员，根据第一 十二、错位排列与交错模型 步，可以分为两类： 第一类，若甲站到乙的位置上，但乙没有 例12学校运动会4×100米接力赛 站到甲的位置上，则这样的站法有D,种； 前，4名队员按顺序站成一排。热身训练后， 第二类，若甲站到乙的位置上，且乙站到 教练为了锻炼他们的适应能力，要求他们重 甲的位置上，则这样的站法有D-1种 新随机站成一排，但规定每人不能站在自己 所以Dn+1=n(Dn十D,-i),n≥2 原来的位置上。 Dm+1-(n+1)D (1)如果只有3名队员，那么重新站成一 又D,-2D=1,所以D,-nD, 排有多少种站法？4名队员呢？ _n(D,十D。-1)-(n十1)D2=-D,+nD= (2)假设原来有n名队员，热身训练后不 D,-nD- Dn一nDn-1 9 中学生教理化贺数学年月 知识篇新高考名师护航 =-1。 个特殊位置考虑分类，根据分类和分步计数 因此数列{Dn一nDn-1}(n≥2)是首项为 原理求解即可。 1,公比为一1的等比数列。 解：不妨设天数为1,2,3,4,5,6,7,8，另 (3)由题意可知P.=n。 D 外4人为ABCD。 (1)当甲在1,2；6,7；7,8这三个时间段 由(2)可得，D,一nD1=(-1),则D 连续参加2天时： ！ ①第三天与第五天由剩下4人参加：先 Dm-1(-1) (n-1)! n！。 把ABCD分到第三天与第五天，剩下四天由 D,- ABCD排列完成，共有3×C?×A=432(种) 对n进行赋值，依次可得，n)刀 方法； D= =-1)-.D- Dn-3 ②第三天与第五天由剩下4人中的3人 (n-2)！ 一(n-1)!’(n-2)1 (n-3)1 参加：先在ABCD中选3人（如ABC)分到 (-1)n-2 D2D11 第三天与第五天（如AB,AC),剩下四天由 (m-2)1…21一11=2 剩下的人（如BCDD)完成，共有3×C× 将以上各式果加得，号品-品 1 C×2×C号×A=864(种)方法： ③第三天与第五天由剩下4人中的2人 ++…+ n！ 参加：先在ABCD中选2人（如AB)分到第 三天与第五天（如AB,AB),剩下四天由剩 因D1=0,故 +品 D。11 下的人（如CCDD)完成，共有3×C?×C号= +1)” 108(种)方法。 n! (2)当甲在2,3；3,4；4,5：5,6这四个时 因此P,= D11+11 n=2引+ 十…十 间段连续参加2天时： ①第三天与第五天由剩下4人中3人 (-1)" n！ (如ABC)参加：先从4人中选1人与甲同一 n！ 天，再从剩下3人中选2人在另一天，然后剩 当m无穷大时，P=1-1+分+ 下五天由剩下人完成（如ABCDD),有4×C 51++1) +…=1=,得证 ×C×C×A=2880(种)方法； n！ e ②第三天与第五天由剩下4人中2人 点评：解题的核心是错位排列时递推关 (如AB)参加：先从4人中选1人与甲同一天 系的推导，分情况讨论队员站位情况得出递 (如A),再从剩下3人中选1人（如B)与刚 推式，再结合等比数列证明与极限知识，破解 才的1人（如A)排在另一天，剩下五天由剩 错位排列的计数及概率问题。 下人完成（如BCCDD),有4×C×C×C× 十三、多条件限制模型 C=1440(种)方法。 例13某学校派5人参加连续8天的 根据分类计数原理，共有432+864+ 志愿服务活动，甲连续参加2天，第三天和第 108+2880十1440=5724（种）方法。 五天各需2个人同时参加，其余的天数只能 故答案为5724。 有1个人参加，每个人都至少参加一次活动， 点评：本题聚焦排列组合综合应用，融合连 至多参加两次活动，则不同的安排方法有 续参与、特定天数人数约束、每人参与次数恨制等 种。（结果用数字表示） 条件，需灵活运用分步计数、分类讨论思想，考查 分析：先考虑甲连续参加2天，由于第三 逻辑推理与实际问题的转化能力，题型贴近生活， 天和第五天特殊，故根据甲是否在第三天或 综合性强。这种题型被称为“多重限制题型”，属 第五天分成两种情况，再对第三天、第五天两 于难题。 (责任编辑徐利杰) 10