计数原理单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

演练管数年校名师细新着中学生教狸化 高二数学2026年3月 计数原理单元创新卷 ■河南省漯河市高级中学秦晓燕 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟 一项是符合题目要求的) 大成就。小明是个数学迷，他在设置手机的 1.已知A=14×13×12×…×5,那么 数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字 m=()。 1,4,1,5,9,2进行某种排列得到密码。如果 A.5 B.9 C.10 D.11 排列时要求数字9不在最后一位，那么小明 2.已知n,m为正整数，且n≥m,则下列 可以设置的不同密码有()个。 各式中错误的是( )。 A.180 B.240 C.300 D.360 A.A=120 B.Ai2=C2·A C.C十Cm+1=Cm D.Cm=Cx 8在++)的深开式中 的系数为( ）。 3.某学校为促进学生全面发展，开设“雅 A.200 B.180 C.150 D.120 趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身” “足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰 共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分 有2门兴趣课两人均未选修的情况有 选对的得部分分，有选错的得0分) ()。 A.180种 B.160种 9.下列说法正确的是()。 C.120种 A.已知An=100A:(n∈N°，n≥2)，则 D.100种 n=13 4已知（经-x+) 的展开式中各 B.已知C2=Ci,则x=5 项系数之和为64，则该展开式的常数项为 C.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲不站 ()。 首尾的排法有12种 A.10B.20C.30 D.40 D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙 5.某市为弘扬科学精神，激励青少年投 两人不相邻的排法有12种 身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先 10.已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x十 锋”的主题活动。活动期间，需将A,B,C, a2.x2十…十agx*,则()。 D,E五位功勋人物的画像从左至右排成一 A.a。十a1十a2+…十ag=1 行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的 B.|a1|+|a2|+ag+…+as=3 画像只能排在两端，则满足条件的排法种数 C.f(一1)除以5所得的余数是1 为()。 D.aw-a1十a2-a3十…十a8=3 A.16B.20C.24D.26 11.已知二项式(x一1)”=a。十a1x十… 6.从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数 十a,x”,若该二项式的展开式的二项式系数 字，分别作为角α，B的弧度数，则满足 之和为16，则( )。 sin a cos B A.n=4 sna+cos=0的不同取法种数为 B.a1十a2十…十am=0 ()。 C.从ao,a1,…,am中任取两个数a,,a A.13B.14C.15D.16 3 7.公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周 且i≠j,则事件“a,·a,<0”的概率为 率π的范围固是3.1415926<π<3.1415927， D.将a。,a1,…,am进行排列，共有30种 13 中学生教理化离数学名年月 演练篇名校名师创新卷 不同的情况 北 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， B 共15分) 12.一支医疗小队由3名医生和6名护 士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家 医院分到医生1名和护士1至3名，其中护 士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同 的分配方法有种。 图2 13.为研究方程x十y十之=8正整数解 (2)从A点到B点的最短路径的走法有 的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相 多少种？ 同的小球排成一排，这8个小球之间有7个 17.(本小题15分)结合排列组合知识， “空当”，在这7个“空当”中选择2个“空当”， 解决下列问题。 在每个“空当”插入1块挡板，2块挡板将这8 (1)将6封不同的信放到7个不同的信 个小球分成三段，每段小球的个数分别对应 箱中，有多少种放法？ x,y,之的一个正整数解，由此可以得出此方 (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱 程正整数解的不同组数为C号。据此原理，则 中，每个信箱至少有1封信，有多少种放法？ 方程十x十y十之=10的正整数解的不同 (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱 组数为（用数字作答）；该方程自然数解 中，每个信箱至少有1封信，有多少种放法？ 的不同组数为（用数字作答）。 (4)将4个标有字母A,B,C,D的信封 14.如图1所示，杨辉三角是二项式系数 放到四个标有字母A,B,C,D的信箱中，恰 的一种几何排列，第n行是(a十b)”的展开 有一组字母相同，则有多少种放法？ 式的二项式系数，直观解释了二项式系数的 18.(本小题17分)已知(3x一2)”=a。十 规律。记第n行从左至右的第i个数为an, a1x十a2x2十…十amx”,且展开式中有且仅有 若2625被675除所得的余数为m,则m= 第6项的二项式系数最大。 am25= (1)求(3x一2)”展开式的所有二项式系 杨辉三角 数之和； 第0行 1 （2)求号++…十的值： 第1行 11 第2行 121 (3)判断(3x一2)”的展开式中第几项系 第3行 1331 数的绝对值最大。 第4行 14641 第5行 15101051 19.(本小题17分)规定C”= 第6行 1615201561 第7行 172135352171 x(x-1)·…:（x-m十1，其中x∈R,m 第8行 18285670562881 是正整数，且C=1,这是组合数C”(n,m是 00000 图1 正整数，且mn)的一种推广。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 (1)求C16的值。 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (2)组合数的两个性质：①C”=C”", 15.(本小题13分)1求3C+了的值： ②C”十C”1=C”+1是否都能推广到C”(x∈R, m是正整数)的情形？若能推广，请写出推广 (2)解不等式A<6A2。 的形式并给出证明；若不能，请说明理由。 16.(本小题15分)如图2所示，某市有7 (3)已知组合数C是正整数，证明：当 条南北向街道，5条东西向街道。 x∈Z,m是正整数时，Cm∈Z。 (1)图中共有多少个矩形？ (责任编辑赵倩) 14中学生教理化离整数学名镜气舞创新答来与示 计数原理单元创新卷参考答案 一、单选题 为2×2×6=24。 1.C提示：由题意得14一m十1=5，解 6.B提示：由题意知，1是第一象限角， 得m=10。 2,3是第二象限角，4是第三象限角，5,6是 2.C提示：A=6×5×4=120,故选项 第四象限角。 A正确。 sin x 对于函数f(x)=in,当x是第一 因为C=A ,所以A=C·A,故选 二象限角时，f(x)=1;当x是第三、四象限 项B正确。 角时，f(x)=-1。 当n=3,m=3时，C十C+1≠Cm1,故 选项C错误。 对于函数g(x)=c0s,当x是第一 C?-m= n！ 四象限角时，g(x)=1:当x是第二、三象限 (n-m)！[n-（n-m)] 角时，g(x)=一1。 m!(n一m了=C,故选项D正确。 n！ 要使0日十品骨-0，则需fa) 3A提示：由题意可得，两人均在剩余 1且g(B)=-1,或f(a)=-1且g(B)=1。 的4门兴趣课中选修了3门课，且这4门课 所以当a=1时，3=2,3,4；当a=2时，3 均被选上。这意味着两人有2门相同的兴趣 =3,4;当a=3时，3=2,4；当a=4时，3=1， 课，1门互不相同的兴趣课，所以不同的选法 5,6;当a=5时，B=1,6;当a=6时，8=1,5。 有C×A=180(种)。 故共有14种不同取法。 4.B提示：令x=1,得(a-1)(1+1) 7.C提示：先排数字9，有C=5(种)排 =64,解得a=3。 法；再排剩余5个数字，有A=120(种)排 二项式(+》 的展开式的通项公式 法。因为有两个1，所以共有5×120 A =300 为T1=Cx()》 =C5x-r,0≤r≤5且 (种)排法。 8.D提示：在(1十x)的展开式中，第 r∈N。所以当r=2时，T3=Cx,当r=3 r十1项为T+1=Cx,r=0,1,2,…,6。令 时，T4=Cx1。 r=3,可得T1=Cx3=20x3。 所以（经-(+） 的展开式的常数 在1+3) 的展开式中，第k十1项为 项为3×Cx十(-x)×Cx1=30-10 T1=C(号）广k=0,1,2,3,4。令=2,可 20。 5.C提示：先排E,有C=2(种)排法； 再排C、D,有A号=2（种）排法；最后排A、B, 有A?=6(种)排法。故满足条件的排法种数 所以在(1+x)(1+) 的展开式中， 46 演蛛猫名故备师细要老签来军提酒中学生款理化 。自约页为2Ox、 6120x3 y,其系数为 数两个负数，则任取两个数，两个数一正一负 120。 的概率为C亡=后，选项C正确。 二、多选题 因为a0=a1=1,a1=a3=-4,a2=6,所 9.ACD提示：由2n(2n-1)(2n-2)= 以对a。,a1,…,a1进行排列的情况有 100n(n-1),且n≥2，解得n=13,故选项A A 正确。 AXA =30(种)，选项D正确。 易知x十2=2x-5或x十2十2x-5= 三、填空题 12,解得x=7或x=5,故选项B错误。 12.684提示：根据题意，分三步完成。 先排甲，有C种排法；再排其余3人，有 第一步：将6名护士分成3组，每组1至 A种排法。故满足条件的排法有C×A= 3人，其中护士甲和护士乙分到同一组。 12(种)，选项C正确。 若甲乙组有2人，则将其他4人分成2 先排丙、丁两人，有A:种排法；再排甲、 组，有2C+C=7(种)分组方法。 乙两人，有A?种排法。故满足条件的排法有 若甲乙组有3人，则从其他4人中选1 A×A?=12(种)，选项D正确。 人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有C}× 10.ACD提示：因为(2-x)8=a。十 C号=12（种）分组方法。 a1x十a2x2十…十a8x8,令x=1,可得a0十 故护士有7十12=19（种）分组方法。 a1十a,十…十a=1,故选项A正确。 第二步：将3名医生分成3组，每组1 (2一x)8展开式的通项公式为T,+1= 人，有1种分组方法。 C828-(-x)'=(-1)'C%28-'x'(0≤r≤8，r∈ 第三步：将分好的三组护士和三组医生安 N)。由通项公式知，(2一x)展开式中偶数 排到三家医院，有A×A=36(种)安排方法。 项的系数为负数，奇数项的系数为正数。所 根据分步乘法计数原理得，共有19× 以|a1|+|a2|+|ag|+…+|ag|=-a1+a2 1×36=684(种)分配方法。 -a十…十ag。 13.84286提示：由题意知，方程w十 由(2-x)"=a。+a1x+a2x2+…+ x十y+之=10的正整数解的不同组数为C agx8,令x=0,得ao=2,令x=-1,得a0 =84。 a1十a2-a3十…十ag=3“。所以|a1|十|a2 令，=+1，x=x+1,y'=y+1, 十|a|十…十|a|=38一28。故选项B错 之′=之十1，则'十x'十y'十x=14。故十 误，选项D正确。 x十y十之=10的自然数解的组数等价于 因为f(-1)=38=9=(10-1)1=10 '十x'十y'十'=14的正整数解的组数，即 -C×103+C号×102-C×10+1=10× 为C1=286。 (103-C×102+C号×10-C)+1,所以 14.26325提示：因为2625=26×2624 =26×(675+1)1=26×(67512+C2×675 f(一1)除以5所得的余数是1，选项C正确。 +C2×6751°+…+C出×675十1)，所以262 11.ACD提示：由该二项式的展开式的 被675除所得的余数m=26。 二项式系数之和为16，得2”=16，所以n=4, 选项A正确。 故am.25=C=325。 因为(x-1)1=1一4x十6x2-4x3十x4, 四、解答题 8×7×6,1 所以a0=1,a1=-4,a2=6,a3=一4，a1=1, 15.1)3C+3A=3×3×2×i+3 则a1十a2十…十a,=一4十6-4十1=一1，选 8×7×6=280。 项B错误。 8！ 在a。,a1,…,a1这五个数中，有三个正 (2)由A<6A',得8x元<6× 47 中学生款理化离整贺学名敏名侧额在管来与示 10=x),化简得x2-19x十84<0，解得 8！ T+1=C1w30r×2x10-r,0≤r≤10，r∈N。 /C1o310r×2≥C13=rX2+H 7<x<12。① 由 得 C1o310r×2≥C16131-r×2-1, 又 8≥x, 所以2≤x≤8。② 17 22 x-2≥0， 5 由①②及x∈N,得x=8,即不等式的解 因为r为整数，所以r=4,故(3x一2) 集为{xx=8}。 的展开式中第5项系数的绝对值最大。 16.(1)在7条南北向街道中任选2条， 19.(1)由题意可知，C1= 在5条东西向街道中任选2条，这样4条线 (-16)×(-17)×(-18)×(-19)×(-20)×(-21) 可组成1个矩形，故可组成矩形C号×C= 6! 210(个)。 =54264. (2)每条东西向的街道被分成6段，每条 (2)性质①不能推广，因为当x=√2时， 南北向的街道被分成4段，从A点到B点的 Cn有定义，但C无意义。 最短路径一定包括6段东西方向、4段南北 性质②能推广，它的推广形式是：C”十 方向的线段。 C1=C+1,x∈R,m是正整数。 当6段东西方向的线段确定后，4段南 当m=1时，C+C°=x十1=C1+1。 北方向的线段随之而确定，故共有C。=C 当m≥2时，C"十Cm1 =210(种)走法。 x(x-1)·…·(x-m+1) 17.(1)每封信都有7种选择，所以共有 m! 7种放法。 x(x-1)·…·(x-m十2) (2)将6封不同的信放到5个不同的信 (m-1)! 箱中，每个信箱至少有1封信，则有1个信箱 x(x-1)·…·(x-m+2) (m-1)! x-m+1+1）= 里应该放2封信，故有C×A=1800(种) (x+1)x(x-1)···(x-m+2) 放法。 m! C+1o (3)相同元素可以利用隔板法。6封信 (3)当x∈Z,m是正整数时，分三种情况 之间有5个空，放2个隔板，故有C=10(种) 讨论。 放法。 ①当x≥m时，组合数C”∈Z. (4)若A组的字母相同，则B信封只能 ②当0≤x<m时，C” 放在C或D信箱，而C、D信封只剩下1个 信箱可选择，所以共有4×2=8（种）放法。 x(x-1)·(xm十1D,此时分子中必 m！ 18.(1)因为展开式中第6项的二项式系 有一个数为0，故C”=0,即C”∈Z。 数最大，所以n=10,故展开式的所有二项式 ③当x<0时，由x一m+1<0,可知一x 系数之和为20=1024。 十m-1>0。 (2)由(1)得(3.x-2)1°=a0十a1x十a2x 则C”=xx一1)·：(x-m十1= 十…十al m! 令x=0,得a0=(0-2)°=1024。 （-1)x+m-1).（-x十1)(-x_ 1m! 1 32 36 (一1)mC"x+m-1。 因为一x十m一1>m,所以组合数 ×-2)”=1 C”+m-1是正整数，即（一1）“C”+m-1∈Z,也 所以号+学++器--1023. 即C∈Z。 (责任编辑赵倩) (3)(3.x+2)1。的展开式的通项公式为 48