高中数学单元测试——第六章计数原理（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 5．（本题5分）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 11．（本题6分）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 17．（本题15分）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第六章计数原理（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法. 故选：B. 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 【答案】C 【分析】特殊讨论能被5整除末位为0或5，且0不能在首位. 【详解】被5整除则末位为0或5，若末位为0，则， 若末位为5，则，故共有220个， 故选:C. 5．（本题5分）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【详解】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 6．（本题5分）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 8．（本题5分）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 【答案】6 【分析】先涂点，再涂点、，此时分颜色相同和颜色不同两种情况，即可得出四点的涂色情况，再利用分步乘法计数原理即可. 【详解】先给点涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点有3种涂色方法； 再给点、涂色，若颜色相同，则需与点不同，有种，则点、只有1种； 若颜色不同，则点、无法保证同一条棱的两个顶点不同色， 则共有种 故答案为： 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 17．（本题15分）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）0；（3）． 【分析】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而求得的值. （2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，从而证得结果. （3）根据题意列出杨辉三角形类似的表，找出规律，则 ，从而将问题转化为三项式的系数和，令，即可求得结果. 【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数， 从而，， 故. （2）由知，， 两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0， 即. （3）列出杨辉三角形类似的表， ，，， 则当n≥2时， 即三项式的系数和，令， 则 当n=1时，，满足条件，结论成立. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $