复数专题复习指导&引入参数，巧解三角形问题-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

青一数识结胸军析骨中学生款理化 复数专题复习指导 ■陶秀俐杜海洋 一、知识点梳理 ai=i(a+bi):i=1,i+1=i,i+2=-1,i+3 1.复数的有关概念 =一i(n∈N);in十i+t十i+?+i+3=0(n 形如a十bi(a,b∈R)的数叫作复数，其 ∈N);12=1=g·;11·2= 中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部(i 1z111x21: 为虚数单位)。复数相等：如果两个复数的实 = 部和虚部分别相等，那么这两个复数相等。 二、典型考点例析 这就是说，如果a,b,c,d∈R,那么a十bi=c 考点一：复数的概念 十di台a=c且b=d。特殊地，当a十bi=0 例1（多选题）已知i为虚数单位，以下 时，a=b=0。共轭复数：当两个复数的实部 选项正确的是()。 相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互 A.若复数之满足2十x=i,则乏的虚部 为共轭复数，复数的共轭复数用乏表示。 为-2 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚 B.i+2+i+…+i2o25=i 数。a十bi与c十di共轭台a=c,b=-d(a, C.若复数之1，之2，之3满足之12=之2，则 b,c,d∈R)。向量OZ的模叫作复数之=a十 21=之3 bi的模，记作|a十bil或|x|,即|x|=|a十bi D.若复数之满足|x|=1,则|x3十4i =√a+b(a,b∈R)。 的最大值为6 2.复数的几何意义 解：对于A,由2十i这=i,可得=2 复数之=a十bi与复平面内的点Z(a,b) 及平面向量Oz=(a,b)(a,b∈R)是一一对 21-1+21,则三=1一2，所以的虚部 应关系。 为一2，A正确。对于B,因为i十十十= 3.实系数一元二次方程 0,所以i+i2+3+…十i2025=506(i+i+i3十 设一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a,b,c i)十i=i,B正确。对于C,取x2=0,显然有 ∈R且a≠0)，当△=b2一4ac>0时，原方程 之12=x2,但之1，之3不一定相等，C错误。 有两个不等的实数根x=一b士√B一4a心 对于D,令2=a十bi(a,b∈R),因为|x|=1, 2a 所以a2+b2=1,所以复数x对应点Z(a,b) 当△=b2一4ac=0时，原方程有两个相等的 在以原点为圆心，1为半径的圆上。|之一3十 实数根x=一名当△=-ac<0时，源方 4i=1(a-3)+(b+4)i1= 程有两个不等的虚数根x= √(a-3)+(b+4),其几何意义表示点 -b±√4ac-bi 。无论△≥0还是A<0,总 Z(a,b)到(3，一4)的距离。因为点(3，一4) 2a 到原点的距离为5，所以|之3十4i的最大值 b 有x1十x2=一 ax1x2= 。虚数根有成对 为5十1=6，D正确。应选ABD。 考点二：复数的几何意义 出现的性质，即当△<0时，x1=x2且x1x2 例2（多选题）设复数之在复平面内对 =1x12=1x212=C。 应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列 a 4.常用结论 说法正确的是()。 1+i1-i A.若点Z的坐标为（一1,1），则乏对应 (1士i)'=±2i:i1+-i:-6+ 的点在第三象限 3 中学生款理化实皱种与拓质年3月 B.若1≤|x|≤√2，则点Z的集合所构 8[cos(一π)十isin(一π)]=一8，所以复数之 成图形的面积为π 的实部为一8，虚部为0。 C.若之=√3一2i,则之的模为7 (2)设模为1的复数x=cos0十isin日。 D.若1一3i是关于x的方程x2十px十q =(cos 0+isin 0)*=cos0+3cos20. =0(p,q∈R)的一个根，则q=10 isin 0+3cos 0.(isin 0)2+(isin 0) 解：对于A,因为点Z的坐标为（一1,1）， =cos0+i.3cos20sin 0-3cos 0sin20- 在第二象限，所以乏对应的点为（一1，一1）， isin0 所以在第三象限，A正确。对于B,由1≤|x -cos0-3cos 0sin20)+i(3cos20sin 0 ≤2，依据复数模长的几何意义可知，1≤ sin'0) x|≤√2表示一个圆环，其面积为S=π× =-[cos30-3cos0(1-cos0)]+i[3(1- (√2)2一π×1=π，B正确。对于C,由之=√3 sin20)sin 0-sin'0] =(4cos0-3cos 0)+i(3sin 0- 一2i,可得|x|=7,C错误。对于D,1一3i 4sin0)。 是关于x的方程x2十x十q=0(p,q∈R)的 一个根，则其共轭复数1十3i也是方程的根， 由复数乘方公式得~3=cos30十isin30, 所以常数项q=(1-3i)(1十3i)=10,D正 所以sin30=3sin0-4sin30,cos30=4cos8 确。应选ABD。 3cos0。 考点三：复数的综合运用 (3)正二十四边形每边所对的中心角为 例3一般地，任何一个复数x=a十 是，设复数1=c0s0十isin9(0为常数)， bi(a,b∈R)可以写成x=r(cos日+isin日)，其 中下是复数的模，日是复数的辐角，我们称 则之k=(cos日十isin0) cos (k1 12 r(cos0+isinθ)为复数x=a十bi的三角形 式。利用复数的三角形式可以进行复数的乘 isin (k一1)r],k=1,2,…,24。 12」 法、乘方等运算，如1z2=r1(cos日1十 x05=(cos20250+isin20250）· isin 01).r2 (cos 0:+isin 0:)=rir2Ecos(0+ 2025(k-1)x+isin 025(k-1)π 02)+isin(01+0,)],z"=[r(cos0+isin0)] 12 12 =r"(cosn0+isin n8)。 =(cos20250+isin20250)· (1)若复数之=(1一3i)3,求复数之的实 cos 2025x+isin2025) 12 12/ 部和虚部 (cos20250+isin20250) (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公 式：sin30=3sin0-4sin30;cos30=4cos0 [os(168x+）+iim168x+8)] 3cos0。 (cos20250+isin20250)· (3)设复平面上的单位圆内接正二十四 cos 3π1-1 边形的24个顶点对应的复数依次为之1， 3+isin） 之2，…，之21，求复数25，之25，…，之25所对应 由三角函数的周期性知，之5共有8个 不同点的个数。 不同的值，所以复数025，之25，…，之25所对 解：(10因为1-i=2(3-) 应不同点的个数为8。 作者单位：1.深圳市富源学校 e[cos(-)+isim()门，所以复数x=( 2.成都经济技术开 发区实验中学校 i)(2cos-)+isin( (责任编辑郭正华) 青一数华识结纳军析贤中学生款理化 引入参数，巧解三角形问题 ■张振继（特级教师） 一、引入角参数 在几何图形中，若能引人某个角为辅助 解：设BD=t(t>0),则CD=2t。在 角，其他的角便可由该辅助角表示出来，从而 △ABD中，由余弦定理得AB2=t+2t+4, 可建立三角形的边角关系求解。 在△ACD中，由余弦定理得AC2=4t”一 例1如图1所示， 4t+4,所以2 4t2-4t+4 在△ABC中，C=90°， AB t2+2t+4 =4 AB=20,AC=10,在三 12(t+1) 12 =4 ≥4一12 =4一 边AC,BC,AB上各有 t2+2t+4 t+1+3 23 t+1 一动点D,E,F,若 图1 3 △DEF为等边三角形，则△DEF的面积的 2√3=（√5-1）2，当且仅当t+1= t+1,即 最小值为一。 解：由题设得B=30°，BC=√202-10 :=厅一1时取等号，所以当品取得最小值 =10√5。设正△DEF的边长为m,∠CED √5-1时，BD=√3-1。 =0(0°<0<90)，则CE=mcos0,∠BEF= 三、引入面积参数 180°-(8+60°)=120°-0，∠EFB=180° 通过引入三角形的面积为参数，沟通三 (30°+120°-0)=30°+0。在△BEF中，由 角形的边角关系，可使问题轻松获解。 EB 例3在△ABC中，内角A,B,C的对 m 正弦定理得sin30+9-sin30,所以EB 边分别为a,b,c,设b2=ac,且cosB=年，求 3 =2msin(30°十8)，所以BC=CE+EB= 1 mcos0+2msin(30°+0)=10√5，可得m= 1 tan Atan C的值。 103 105 cos A b2+c2-a2 cos8+2sin(30°+0) V3 sin 0++2cos 0 解：易科 sin A 2bcsin A' 10√3 √7sin(0+p) 其中g由a孕-2确定，所 1 cosC a2十b2-c2 tan C sin C 2 absin C。因为S= 以m≥10 √7 m2≥5 2,所以SAr=5, 2besin A=absin C,所以nl 1 1 1 ,即 7 anA十tanc 2b2 b △DEF的面积的最小值为5E 45= 26 4× 1 acsin B。因为b2= 74 2acsin B 二、引入线段参数 1 1 1 在几何图形中，若能引入某一线段的长 ac,所以 tanA十tanC=sinB。又cosB= 度为参数，其他线段的长度便可由该线段的 长度表示出来，从而建立三角形的边角关系 。放、1 是，所以sinB= 1 tan A+tan C 求解。 1 4√7 例2如图2，在 sin B 7 △ABC中，点D在BC边 友情提醒：引入参数解三角形问题的方 上，∠ADB=120°，且AD 法很多，如引入角、线段、面积、比例等，同学 B D -2.CD=2BD.当S取 们解题时要灵活把握。 图2 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 得最小值时，BD= (责任编辑郭正华) 5