第六章 平面向量及其应用单元测试卷-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 2．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 4．若满足的恰好有两个，则边AC的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 7．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 8．的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 10．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 11．在中，角的对应边分别为，则（   ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，为的中点，且，则 C．若是锐角三角形且，，则的最小值为 D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为单位向量，且，则 ． 13．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 14．如图，在中，，，取边中点，连接，设为中点，连接并延长与交于点，则的长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 16．（15分） 已知三顶点的坐标为，，，于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 17．（15分） 在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若，，点D满足，求△ABD的面积； (3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 19．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求； (2)若为锐角三角形. （i）当，求周长的取值范围； （ii）求的取值范围. 第4页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $第六章平面向量及其应用单元测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知向量a=(1,2),b=（-2,x,若a/6,则x等于() A.-2 B.2 C.4 D.-4 【答案】D 【解析】向量=(1,2)，b=(-2,x),由a/乃，得1G=24-2),所以x=-4 故选：D 2.在ABC中，AB=2,AC=V2,B=30°，则A=() A.105°或15°B.135°或45° C.120°或30° D.105° 【答案】A sincsin,即2V2 【解析】在A8C中，根据正弦定理得B=AC sinC sin30' 所以sinC=5,又0°<c<180°，所以c=45°或135， 2 当C=45°时，B+C=75°<180°，符合题意， 当C=135°时，B+C=165°<180°，符合题意； 所以C的两个解均成立 根据三角形内角和定理A+B+C=180°， 所以A=15°或105 故选：A 3.若向量a,乃满足a=同=1，a与的夹角为60°，则a方等于() 答案第1页，共14页 A B C.14 D.2 2 【答案】A 【解析】a-i=lcos(a,)=1x1x 22 故选：A 4.若满足∠BAC=60°，BC=3的ABC恰好有两个，则边AC的取值范围是() A.0<AC<3 B.0<AC<3 C.3<AC<2V5 D.3<AC<3 【答案】C 【解析】由题可知，4Csin60<BC<4AC,即y -AC<3<AC, 2 解得，3<AC<2V3, 故选：C 5.如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上一点，若AP=1AB+}AC,则实数的值为() B A方 B. 3 c.4 【答案】A 【解析】：AN=2NC, :AN =2(AC-AN), :AC-3AN, AP=14B+LAC, 3 p=1B+×孤=1B+ AN, 32 :P是线段BN上一点， B,P,N三点共线， 1 1+2l 答案第6页，共14页 解得1号 故选A 6.已知同=2，且在a上的投影向量的模为√2，则云与的夹角为() A.45° B.60° C.120° D.45°或135° 【答案】D 【解析】无在a上的投影向量的模等于cos(a,列=V2, 又闪-2.所a列-号 因为(a,b)∈0，， 所以(a,6)=45°或135°. 故选：D, 7.已知O为△ABC的外接圆的圆心，AB=6,AC=4,若A0=xAB+yAC,且x+2y=1,则 c0S∠BAC=() A司 B. 3 C.5 D.3 5 3 【答案】B 【解析】当AO与AC不共线时，如图设AC中点为D,由AO=xAB+yAC=xAB+2yAD, 因x+2y=1,则B,O,D三点共线，由圆的性质知OD⊥AC, 故cos∠BAC=D-2_1 AB 6 3 当A0与AC共线时，由A0=xAB+yAC和x+2y=1可得x=0,y=2 但此时AC是圆的直径，则AC>AB,与题设不符。 综上，可得cos∠BAC=} 3 故选：B 答案第1页，共14页 1 8. 4BC的三个内角4，B,C对应的三条边分别为a,hc,且asin4+C=sinA,D为4C的中点，BD 2 3, 则a-c的取值范围为() A.(-1, B.（-1,2] C.（-1,2 D.（-1,1 【答案】D 【解析】在ABC中，由asin4:C=bsin及正弦定理，得sin sin4+C=sin Bsind, 2 2 面sin4>0,则snr号号=sin,即cas号-2sin号cos号， B BB 22 由0号经得o号>0，因此m号分号名则8-号 由D是AC的中点，得2BD=BC+BA,两边平方得4BD=a2+c2+2 ac cos B, 而BD=分则1=d2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,当且仅当a=c时取等号， 因此0<ac 3,1=(a-c)'+3ac,0≤(a-c2=1-3ac<1,解得-1<a-c<1, 所以a-c的取值范围为(-1，) 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量ā=(1,2)，b=-1,1),则() A.B.a+b=3 B.(2a+bl/a+2b C.向量2i-6与a-25的夹角为号 D.向量ā在6方向上的投影向量为五 【答案】AC 【解析】对于A,ā+b=(1-1,2+1)=(0,3), 万(a+)=(1)×0+1×3=3,故A正确： 答案第6页，共14页 对于B,2a+b=2(1,2)+(-1,1=(1,5), ā+2b=(1,2)+2(-1,1=（-1,4), 因为1×4-(-1×5=4+5=9≠0， 所以2a+b与a+2b不平行，故B错误； 对于C,设向量2a-b与a-2b的夹角为0， 2ā-b=2(1,2-（-1,1=(3,3),， a-2b=(1,2-2-1,1=（3,0), cos0= (2a-)a-2b）3x3√2 2ā-b:a-2b 3V2x3-2, 又0∈0，，所以日=工，故C正确： 对于D,设ā和6的夹角为B, a-6=1x-1+2x1=1,6=(-12+12=2, 6-5,放D错头 故选：AC 10.设向量a=（3,k),b=（2,-1),则下列说法错误的是() A.若石与的夹角为钝角，则k>6 B.d的最小值为9 C.与共线的单位向量只有一个，为 √2√2 2-2 D.若a=3b则k=6 【答案】BC -6=6-k<0,解得k>6,故A正确， 3×-1≠2k 【解析】对于A,若石与的夹角为钝角，则需满足 答案第1页，共14页 对于B,=V32+k2≥3，当且仅当k=0取到等号，故B错误， 对于C与Z供线的单位向量有两个为去同+52，-小，故C错误， 对于D,由a=3b得V32+k2=3V22+(-12,解得k=6,D正确， 故选：BC 11.在ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,则() A.若a=6,A=子，则A8C周长的最大值为18 B.若b=1,c=3,M为BC的中点，且AM=√2，则BC=25 C若48C是锐角三角形且C=胥，=2，则B.BC的最小值为4 D。若角1的内角平分线交8C于E,且瓷-分，。=，测4BC面积的绿大值为3 【答案】ABD a=b-c=6 【解析】对于A,由题以及正弦定理得sinA sin B sinc sin 元=4V5 所以b=4V3sinB,c=4V3sinC, 所以6+c=45snB+45snC=45snB+45sn-8 =4v3 sin B+4v3 3 1 cos B+-sin B=63 sin B+6cos B 2 2 6/ 所以a+b+c=6+12sinB+2 6 因为）所以a+君g},所以m8+引传】 所以a+b+c∈(12,18]，故ABC周长的最大值为18，正确： a +AM2-c2 对于B,因为LBMA+LCMA=元，所以2 8+4w2- =0, 2AMxa 2 2AMxa 2 所以Q+2AM2=b2+c2即a2=-4AM2+2b2+c2)=-4×V2+2x12+32）=12, 答案第6页，共14页 所以BC=2V3,正确； 对于C由C-骨方=2且48C为锐角三角形，则6c0sC<a<26, A B C 所以1<a<4,而BA.BC=(CA-CB)-(-CB)=CB-CA.CB=a2-abcosC, 所以，Bc=G-a=a--显然B厨.BC在ae,4)上单调递增， 所以0<BA.BC<12,错误； 对于D,设∠BAE=∠CAE=a,∠BEA=B,则∠CEA=π-B, 所以由正弦定理得4B=sinB,AC_sin(π-B_sinB BE sina'CE sinasina 所以AB、AC BE EC 由题可知BE=1,EC=2,所以b=2C, 4 B E C 所以由余弦定理得co0sA=6+c2-a-5c2-9-59 2be 4c2 44c2 所以5cn4=看-cw--(任g-》 -6+10e2-9-e2-5+16≤4=3， A 当且仅当c2=5即c=√5时，等号成立，所以ABC面积的最大值为3，正确 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设a,6为单位向量，且a-b=1,则a+b=一 答案第1页，共14页 【答案】√5 【解析】因为a,b为单位向量，且ā-b=1, 所以d=6=1,-2a-6+6=1, 所以2a.b=1, 所以a+=|d+2a.6+=1+1+1=3,即a+=5 故答案为：√5 13.48C的内角4,8.C的对边分别为abe,已知a=3,c=1,os(4+C=则6= 【答案】√万 【解折】因为eos4+C)=cosx-到=-cos8= 所以c0sB=2' 1 又a=3,c=1, cosB=a+e-b29+1-b2 1 2ac 62' 所以b2=7,即b=√7， 故答案为：√万 14.如图，在ABC中，AB=4,AC=6,BC=2V19取BC边中点D,连接AD,设E为AD中点，连 接BE并延长与ABC交于点F,则EF的长为 B D 【答案】 2 【解析】如图： 答案第6页，共14页 作EH IIFC交BC于点H, 因为点E为AD中点，所以点H为DC中点，即HD=HC, 因为D为BC中点，所以BH=3HC,因此BE=3EF, 在ABC中，因为AB=4,AC=6,BC=2V19, 所以由余弦定理可得cos∠ABD=AB+BC2-AC2_4+21可-67N9 2ABBC 2×4×2W19 38 因为E为AD中点，所以BE={BA+BD列， 因此B-4(BA+BD=4(B+BD+2BABD)-4(B+BD+2 cos∠ABD 又因为BD=BC=V19, 所以厨-（厨+丽+2厨c40小-+小呵+242-g 所以=好 故答案为：⑦ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 已知向量ā与6的夹角为120°，且a=2,5=4 (求a-: (②)当k(k∈R)为何值时a+2b)1(ka-)? (3)当k(k∈R)为何值时a+2b)∥ka-b）,此时它们是同向还是反向？ 【解折】)由已知得a-6=2×4x=4, 因为a-=a-2a-万+=4-2×(-4)+16=28 答案第1页，共14页 所以a-=27. (2)若(a+2b)1(ka-b,即(a+2b)ka-b)=0, 所以ka2+(2k-)āb-2b2=0,即4k-4×2k-1-2×16=0,解得k=-7, 即当k=-7时，(a+26)1(ka-) (3)若(a+2)∥(ka-),即ka-万=2(a+2b), k=入 根据平面向量基本定理可得 -1=22'解得k=2- 此时ā+26与a-万反向 16.(15分) 己知ABC三顶点的坐标为A(2,-1,B(3,2,C(-3,-1),AD⊥BC于点D. (1)求点D的坐标： (2)求ABC的面积S. 【解析】(1)设D(x,y),则AD=(x-2,y+1),BD=(x-3,y-2,BC=(-6,-3), 由AD1BC可得AD.BC=-6(x-2)-3(y+1)=0,① 由题意得BD/BC,则-3(x-3)=-6y-2),② 由①②，解得x=1,y=1,即得D(1,1) (2)由(1)知，AD=(-1,2),BC=(-6,-3), 则AD=-12+22=5,BC=V-62+(-3)=35, 医为4018C,所以s0C-5x35-片 17.(15分) 在ABC中，已知AB=2,AC=6,LBAC=60°，BC,AC边上的中点是M,N,若AM,BN相交于点P, (1)求BN长 (2)求LMPN的余弦值 【解析】(1)由题意有：MN=AC=3,∠B4C=60, 在△ABN中，由余弦定理有：BN2=AN2+AB2-2AN·AB cos.∠BAC, 答案第6页，共14页