分类讨论思想在向量中的应用举例&例说共线向量的八大应用-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

分类讨论思想 一、讨论向量的方向 例1已知a,b为非零向量，且|a十b =a十b,则()。 A.a,b共线且方向相同 B.a,b共线且方向反向 C.a=-b D.a,b无论什么关系均可 解析：对向量α，b分共线与不共线两种 情况进行讨论。①当两个非零向量a与b不 共线时，a十b的方向与a,b的方向都不相 同，且|a十b|<|a|十|b|。②当两个非零向 量a,b共线且方向相同时，a十b的方向与 a,b的方向都相同，且|a十b|=a+b|;当 两个非零向量a,b共线且方向反向时，不妨 设a|<|b|,则a十b的方向与b的方向相 同（与a方向相反），且|a十b|=|b|一|a|。 综上可知，应选A。 评注：两个非零向量的位置关系是不共 线（方向不相同）和共线（方向相同或相反）两 种情况。 二、讨论角 例2（多选题）在△ABC中，AB=(2, 3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形，则 k的值可能是()。 A号 11 B. C.3±3 2 n号 解析：因为AB=(2,3),AC=(1,k),所 以BC=AC-AB=(-1,k-3) ①若A=90°，则AB·AC=2×1十3× 2 k=0,可得k=一名：②若B=90°，则A店· BC=2×(-1)+3(k-3)=0,可得k= 3 ③若C=90°，则AC·BC=1×(一1)+十 k(k-3)=0,可得=3±3 2 高一数型阳茄构室骨中学生教理化 在向量中的应用举例 叶琛 综上可得，k的值可能为一 或号或 3士√13 2 。应选ABC。 评注：解答本题的关键是要判断△ABC 的哪个角为直角，因此需要进行分类讨论，不 能只考虑一种情况而导致漏解。 三、讨论点的位置 例3如图1所示，已知点E从边长为1 的正方形ABCD的点D出发，沿正方形的边 逆时针运动到点C,在此运动的过程中， D龙·CD的最大值为一。 图1 解析：以点B为坐标原点，BC所在的直 线为x轴，建立平面直角坐标系（如图1），则 点A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)。 ①当点E在DA上时，设点E(x1,1), 其中0≤x1≤1，此时DE=(x1一1,0)，C元= (0,1),可得DE·CD=0:②当点E在AB 上时，设点E(0,y1),其中0≤y1≤1，此时 DE=(-1,y1-1),C元=(0,1)，可得D龙· CD=y1-1≤0，即D龙·CD的最大值为0； ③当点E在BC上时，设点E(x2,0),其中 0≤x2≤1，此时DE=(x2-1,-1),CD= (0,1),可得D尼.·CD=-1。 综上可得，DE·CD的最大值为0。 评注：向量的坐标运算的四个步骤：首 先，建立平面直角坐标系；其次，求出点的坐 标；再次，利用向量的坐标公式求出向量的坐 标：最后，代入相关向量公式进行求解。 作者单位：甘肃省武威第十五中学 (责任编辑王琼霞) 15 知识结构与拓展 中学生数理化高数学2028年2月 例说共线向量的八大位用 ■何保铸 共线向量是方向相同或相反的非零向 量，也称为平行向量。下面举例说明共线向 量的八大应用，供同学们学习与参考。 一、判断向量共线 图1 例1已知向量a,b不共线，向量c= 解：由题意得AD=1,CD=√3，所以 ka十b(k∈R),d=a一b。如果c∥d,那么 AB=2DC。因为点E在线段CD上，所以 ()。 D尼=DC(0≤A≤1)。 A.k=1且c与d同向 因为A它-AD+D2=AD+ADC=AD B.k=1且c与d反向 C.k=一1且c与d同向 +合A成，又A应=A币+A成，所以=合 D.k=一1且c与d反向 因为0≤A<1,所以0≤≤号，即的取值范 解：因为c∥d,所以存在实数入，使得c= Ad,即ka十b=入(a一b)=xa一ab,所以 周是] k=入，解得 k=一1， 评注：点在一条线段上包含点在这条线 1=一入， =-1,所以c=-a+b 段的两个端点上。 一(a一b)=一d,可知向量c与d反向。应 四、判断几何图形的形状 选D。 例4已知四边形ABCD,O为任意一 评注：共线向量（除了零向量）的方向相 点，若OA-O店=O市一O心，则四边形 同或相反，共线向量可以在一条直线上，共线 ABCD的形状是()。 向量所在的直线可以平行。 A.正方形 B.平行四边形 二、求参数的值 C.矩形 D.菱形 例2已知向量a=(1,一2)，b=(-1, 解：因为OA-O=O市-O元，所以 1),c=(一2，m),若b十c与a十3b是共线向 BA=CD,所以BA∥CD且BA=CD,所以 量，则实数=一。 四边形ABCD是平行四边形。应选B。 解：由题设知b十c=(一3，m十1)，a十 评注：若两个向量相等，则这两个向量的 3b=(一2,1)，且这两个向量共线，所以一3十 模相等且方向相同。 2(m+1)=0,解得m=。 2 五、求点的坐标 评注：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 例5已知OB是平行四边形OABC的 b≠0，向量a,b共线的充要条件是x1y2 一条对角线，O为坐标原点，OA=(2,4), x2y1=0。 O=(1,3),若点E满足O亡=3EC,则点E 三、求参数的取值范围 的坐标为( )a 例3如图1，在直角梯形ABCD中， A(-) B(京》 ∠BAD=90°，∠ABC=30°，AB=2√3， BC=2,点E在线段CD上，若AE=AD+ c(合，》 n.(,) uAB,则以的取值范围是_一。 解：易知O心=A官=Oi-OA=(一1， 16 一1)，则点C(一1，一1)。 设点E(x,y),则3EC=3(-1-x,一1 -y)=(-3-3x,-3-3y)。由OC=3EC, 2 x= 一3一3x=-1, 3 可得 解得 所以点 -3-3y=-1, y=- 31 E的坐标为(-子-号)应述A 评注：一个向量的坐标等于终点坐标减 去始点坐标。 六、求向量的模 例6在直角三角形ABC中，斜边 BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P 满足O=O矿+2(A店+AC),则A立 ()。 A.1 B.2 c.号 D.3 解：如图2所示，取 BC边的中点D,连接 AD,则AD-(A立+ AC). 因为O币=OA+ 名(+a花)，所以 O庐=OA+AD,所以 图2 OP-OA=AD,所以A户=AD」 在直角三角形ABC中，由BC=2,可得 AD=1,所以|AP|=|AD|=1。应选A。 评注：相等向量的模相等，但模相等的向 量不一定相等。 七、求代数式的值 例7如图3，在△ABC中，D,E为BC 边上的两个动点， 且满足AD十AE =xAB十yAC,则 + )。 B D F E A.有最小值4 图3 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2 青一数阳结的军牺骨中学生表理化 解：设F为DE的中点，则AD十AE= 2A京。因为A市+A龙=xA言+yA亡，所以 2A市=xA店+AC,即A=受A店+之AC. 又因为B,C,F三点共线，且F在线段BC 上，所以x>0y>0,且登+=1. 放+子-（位+）（气+）=+ 去+云+≥1+2层·云=2，当且仅当 =y=1时取等号，所以十号有最小值2. 应选D。 评注：解答本题的关键是灵活应用常数 代换法，结合基本不等式求最值。 八、求三角函数的值 例8已知向量a=(sin0,1),b= (-sin8,0),c=(cos8,-1),且(2a-b)∥c, 则sin20等于。 解：由题意知2a一b=(3sin0,2)。 因为(2a-b)∥c,所以-3sin日=2cos8, 可得tang=一 ：故sn20- 2sin 0cos a sin20+cos'0 2tan 0 12 tan0+1 13 评注：巧用sin'a十cos2a=1进行弦切转 化是解题的关键。 感悟与K0 已知a=(-2,1),b=(k,-3),c= (1,2),若(a一2b)⊥c,则与b共线的单位向 量为( )。 A(5-)(5） B(5,-)威() c5) () 提示：应选A。 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑王琼霞) 17