例析余弦定理的六种应用-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

中学生数理化高数学20年3月 知识结构与拓展 例折余弦定理的立种应用 ■陈敏 已知两边和夹角或已知三边可以直接利 A.√2 B.5 用余弦定理解三角形；已知两边和一边的对 C.2 D.3 角，也可以利用余弦定理解三角形。下面举 (2)在钝角三角形ABC中，内角A,B,C 例分析余弦定理的六种应用。 的对边分别为a,b,c。若a=1,b=2,且C 一、求角或角的三角函数值 是最大角，则c的取值范围是一。 例1(1)△ABC的内角A,B,C的对 解：(1)由余弦定理得4十b2一2× 边分别为a,b,c。若△ABC的面积为 2bc0sA=5,整理得3b2一8b一3=0，解得 a2+b2-c2 ，则C=()。 4 b=3或b=-子（舍去）。应选D A. B.3 C年D.否 (2)因为a,b,c是△ABC的三边，所以c (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别 <a十b,所以c<1十2=3。因为△ABC是 为a,b,c。若6a=4b=3c,则cosB= 钝角三角形，且C是最大角，所以90°<C< 解：(1)由题意得S△ac=2 absin C= 180,所以cosC<0,所以cosC=a+b-c 2ab 。+-c,即sinC=Q+C,结合余弦 4 2ab =5=c<0,所以c2>5。因为c>0,所以 4 定理得sinC=cosC,即tanC=l。因为C∈ c>√5。综上得c的取值范围是（√5,3）。 (0,x,所以C=牙 评注：在三角形中，任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边。 (2)(方法1)由6a=4b=3c,可得c= 三、判断三角形的形状 2a,b= a。由余弦定理得cosB 3 例3在△ABC中，若acos A十bcos B u'+ia-Ya -ccos C=0,则△ABC是( )。 a2+c2-b2 11 A.等腰三角形 2ac 4a' 16 B.等边三角形 (方法2)设6a=4b=3c=k(k>0),则 C.直角三角形 66 a= 4= 3。由余弦定理得cosB= D.等腰直角三角形 b2+c2-a2 11 1 解：由余弦定理得cosA= a'+c2-b' 36+9-1636+9-16 2bc 2ac 1 cos B= c2+a2- -,cosC=a't6-c ,代人 63 9 2ca 2ab 11 已知条件得a· .。+c-a+b.c2+a-b 16 2bc 2ca 评注：根据三角函数的值求角时，应注意 +c.2-a2- -=0,通分得a(b2十c2-a) 三角形的内角的取值范围。 2ab 二、求边长或边长的取值范围 +b2(a2十c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,化简 例2(1)△ABC的内角A,B,C的对 整理得(a2一b2)2=c1,所以a2-b2=±c2,即 边分别为a,b,c。已知a=√5，c=2,cosA= a2=b2十c2或b=a2十c2。根据勾股定理的 2 逆定理知△ABC是直角三角形。应选C。 ,则b=( ）。 评注：利用余弦定理可以进行边角互化； 10 高一数识施物氧骨中学生教理化 利用勾股定理可以解三角形，同时要注意勾 六、余弦定理与正弦定理的综合应用 股定理的逆用。 例6如图2所示，在四边形ABCD中， 四、利用余弦定理解决实际问题 已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA= 例4如图1，两座相距60m的建筑物 60°，∠BCD=135°，则BC的长为()。 AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水 平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物 CD的张角是()。 图2 A.8√2 B.9√2 C.14√2 D.85 图1 解：在△ABD中，设BD=x,由余弦定 A.30 B.45 理得AB=BD2+AD2-2BD·AD· C.60 D.75 cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x· 解：由题意得AD=20√10，AC= cos60°，整理得x2一10x一96=0，解得x= 30√5。已知CD=50,在△ACD中，由余弦 16或x=-6(舍去)，所以BD=16。 定理得cos∠CAD=AC+AD'-CD 在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD BD 2AC·AD sin∠BDC,所以BC=,16 BC (305)2+(20√10)2-506000 sin135·sin30°= 2×30√5×20√10 6000√2 2 8√2。应选A。 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°，所 评注：正、余弦定理都是用来解三角形 以从顶端A看建筑物CD的张角为45°，即 的，正弦定理要求“边对角”，余弦定理要求 ∠CAD=45°。应选B。 “边夹角”，正确选择定理是解决这类问题的 评注：根据题意，把实际问题里的条件和 关键。 结论转化成三角形中的边和角的关系，再利 用余弦定理求解。 感悟务欣 五、求向量的数量积 (多选题)已知△ABC满足sinA: 例5在△ABC中，己知AB=5,BC= sinB:sinC=2:3：√7，且△ABC的面积 7,AC=8,则AB·BC的值是( )。 A.79 B.69 SAA =313 °，则下列命题正确的是( )。 C.5 D.-5 A.△ABC的周长为5十√7 解：由余弦定理得cos∠ABC= B.△ABC的三个内角A,B,C满足关 AB2+BC2-AC252+72-8”1 2AB·BC 2×5×7 7 系A+B=2C 因为向量AB与BC的夹角为180° C.△ABC的外接圆半径为22T ∠ABC,所以AB·BC=ABIBC· 3 c0s180°-∠ABC)=5X7X(-7） =-5。 D.△ABC的中线CD的长为 2 应选D。 提示：应选ABD。 评注：在△ABC中，注意向量AB与BC 作者单位：江苏省无锡市第六高级中学 的夹角不是角B,而是角B的补角。 (责任编辑郭正华) 11