求异面直线所成角的六种方法-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学22年4月 求异面直线所成角的六种方法 ■赵玮 异面直线AD与BC所成的角。 空间中的两条直线为异面直线时，其夹 角的求解步骤如下：依据定义，通过空间中的 作图技巧，借助直线平移，找出与异面直线的 夹角相等的平面角，并加以证明：计算平面角 的大小，一般需要借助三角形；确定角，若求 出的角在区间(0°，90°]内，则即为所求异面直 线的夹角，若求出的角为钝角，则它的补角就 是所求异面直线的夹角。 一、利用等边三角形的性质 图2 例1如图1所示，在正方体ABCD 因为AD=BC=2,所以EH=HF=1, A1B,C,D1中，AC与BC1所成角的大小是 则△EHF是等腰三角形。又EF=√，所以 ( )。 ∠EHF=120°，则异面直线AD与BC所成 D 的角为180°-120°=60°。 评注：解答本题要注意两点：等腰三角形 的性质；两条异面直线所成角的范围是(0°， 90°]。 D.- 三、利用补角的定义 例3如图3，在三棱锥A-BCD中，E, F,G分别是AB,BC,AD的中点，∠GEF= 图1 120°，则BD与AC所成角的大小是()。 A.45 B.90° C.60° D.30° 解：连接AD1,则AD1∥BC1,所以 ∠CAD,(或其补角)就是AC与BC:所成的 G 角。连接CD1,在正方体ABCD-A1BC1D 中，因为AC=AD1=CD1,所以∠CAD1=60°， D 所以AC与BC1所成的角为60°。应选C 评注：等边三角形的三个内角都等于 60°。 图3 二、利用等腰三角形的性质 A.30° B.60° C.120° D.90° 例2在空间四边形ABCD中，AD= 解：依题意知EG∥BD,EF∥AC,所以 BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF= ∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD √3，则异面直线AD与BC所成角的大小是 所成的角。因为∠GEF=120°，所以异面直 线BD与AC所成的角为180°一120°=60°。 解：如图2，取AC的中点H,连接EH, 应选B。 HF。根据三角形中位线的性质知EH∥ 评注：解答本题的关键是要牢记两条异 BC,FH∥AD,所以∠EHF(或其补角)就是 直线所成角的范围是(0°，90]。 24 资一数型识糖构室预骨中学生教理化 四、利用勾股定理 解：在正四面体P-ABC中，取AB的中 例4如图4所示，点E,F分别是三棱 点D,连接PD,CD。 锥P-ABC的棱AP,BC的中点，AB=6, 因为△ABP,△ABC都是等边三角形， PC=8,EF=5,则异面直线AB与PC所成 所以PD⊥AB,CD⊥AB。因为PD∩CD= 的角为( )。 D,所以AB⊥平面PCD。又PCC平面 PCD,所以AB⊥PC,所以异面直线PC与 AB所成的角为90°。应选A。 评注：正四面体的相对棱所在的直线是 异面直线，且互相垂直。 六、利用向量的夹角公式 例6线段AB的两端点分别位于直二 面角a-l-B的两相邻平面内，且AB=2a,该 线段与两个平面形成的夹角均为30°，则异面 图4 直线AB与二面角的交线1所成的角为 ()。 A.60° B.45° C.30° D.90 A.30° B.60°C.45°D.135 解：取PB的中点G,连接EG,FG,则 解：依题意知&⊥B,a∩B=l,A∈a,B∈B, BG/AB且EG=2AB,GF∥PC且GF= AB=2a。过点A作AC⊥I于C,过点B作 2PC,所以∠EGF(或其补角)即为异面直线 1 BDLl于D,连接AD,BC,如图6所示。 AB与PC所成的角。 在△EFG中，由EG= 2AB-3,FG= 号PC=4,EP=5,结合勾股定理得∠EGF 90°。应选D。 图6 评注：勾股定理可以作为直角三角形的 显然ACCa,BDCB,则AC⊥B,BD⊥ 判定依据，可以利用边长的平方关系进行边 a,所以∠ABC=∠BAD=30°，所以AC= 长计算、角度推导或解决其他几何问题。 BD=a,BC=√3a,CD=√2a。 五、利用正四面体的性质 因为AB=AC+CD+DB,所以AB· 例5如图5，已知正四面体P-ABC,则 CD=(AC+CD+DB)·CD=CD=2a。 异面直线PC与AB所成的角是()。 所以cos〈AB,CD)= AB.CD IABICDI 2a2 √2 2a·2a29 又因为0°≤(AB,CD〉≤180°，所以 (AB,CD)=45°，即异面直线AB与交线L所 ...L...............C 成的角为45°。应选C。 评注：若向量a,b的夹角为0，则cos0= a·b 图5 lab A.90°B.60°C.120° D.30° 作者单位：甘肃省西和县第一中学 (责任编辑王琼霞) 25