数形结合法在复数解题中的应用&例说数学思想在复数中的应用-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2026年3月 数形结合法在复数解题中的应用 ■刘长柏 题型1：复数的几何意义 复数的几何意义：复数之=a十bi(a,b∈ 因为OA+O形=O心对应的复数为1十 R)+ 对应点Z(a,b)一对应向量O立。 例1复数之=(a十2)一(a十3)i在复 之2，所以：1十=OC1=BA1=3V2。 平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的 练习2：若向量AB,AC分别表示复数 取值范围为一。 之1=2-i,2=3+i,则|BC1= 解：因为复数之=(a十2)一(a+3)i在复 提示：因为向量AB,A亡分别表示复数 平面上对应的点Z的坐标为(a十2，一(a十 x1=2-i,x2=3+i,又BC=AC-AB,所以 3)),且点(a十2，一(a十3))在第二象限，所 B亡表示复数心一之1=1十2i,所以1BC|= 以/a+20, 解得a<一3，所以实数 |1+2i=√5。 -(a+3)>0, 题型3：复数的模的几何意义 a∈(-∞，-3)。 复数x=a十bi(a,b∈R)的模|之|就是复 练习1：在复平面内，复数之1，之2对应的 数x=a十bi在复平面内对应的点Z(a,b)到 点分别是(0,3)，(2，一1)，则复数12的虚 原点的距离。 部为 例3设x∈C,则满足1≤|之≤3的复 提示：因为复数1，之2对应的点分别是 数：在复平面上的对应点构成图形的面积是 (0,3),（2,一1)，所以1=3i,x2=2一i, 所以x12=3i(2一i)=3十6i,则复数x1之2的 解：设之=x十yi,x,y∈R,则|之= 虚部为6。 题型2：复数加法和减法的几何意义 √x十y。因为1≤|之|≤3，所以1≤ 如图1，以复数之1， √x十y≤3，所以1≤x2十y2≤9，所以复数 ,分别对应的向量 之在复平面内的对应点位于以坐标原点为圆 O立1，O立，为邻边作平行 心，半径为1到半径为3之间的圆环部分（包 四边形OZ1ZZ2,对角线 括圆上的点)，所以复数之在复平面上的对应 O2表示向量O立，则O立 点构成图形的面积S=9π一π=8元。 就是复数1十2所对应 图1 练习3：已知x∈C,在复平面内之对应的 的向量，复数1一对应的向量是乙乙。 点为Z,T为满足2≤|之|<5的点Z的集合 所对应的图形，则Γ的面积为 例2在复平面内，已知复数之1，之2满足 提示：设之=x十yi,x,y∈R。因为2≤ |x1|=「x21=3,且|21一x2|=3√2，求 |x<5,所以2≤ |21十22。 √x+y<5,即4≤ 解：设OA对应的复数为1，OB对应的 x2十y2<25,所以复数 复数为，则OA十O店对应的复数为1十 之表示的是以原点为 2,OA一OB对应的复数为1一2。因为 圆心，半径为2到半径 1x11=122=3,1一21= 为5之间的圆环部分 图3 3√2，所以|OA1=|OB1=3, (如图3所示)。 BA|=3√2，所以△AOB为 故T的面积为(5一2)π=21x。 等腰直角三角形。作正方形 作者单位：江苏省盐城市时杨中学 AOBC,如图2所示。 图2 (责任编辑郭正华) 高一数识施物氧骨中学生教理化 复数集是实数集的广充，因此复数在保 留实数的一些性质的同时，也使得实数的一 些性质在复数集上不能成立。下面举例分析 例说数学思想 数学思想在复数中的应用。 一、方程思想 在复数中的应用 例1关于x的方程3x2- 2x-1 ■邓高雄 (10一x一2x2)i有实数根，则实数a的值是 解：设方程的实数根为x=m,可得3m 若0=3，验证可知39=平满足条件，即 2m-1=(10一m-2m2)i。由复数相等得 n的最小值为3（验证可知n小于3不满足）； 3m2-2m-1=0… 若日=要验证可知80严满足条件（验证 解得m的值代人得a= 10--2m2=0, 可知n小于3不满足)。 综上可知，n的最小值为3。 71 血或a,即实数a的值为11或一 评注：对于余弦函数y=cosx,当x∈ 评注：复数a十bi=c十di台a=c且b= [0,)时，osx>0,当x∈(，2x)时， d(a,b,c,d∈R)。 cosx>0。 二、函数思想 四、转化与化归思想 例2瑞士数学家欧拉于1748年提出了 例4定义复数的一种运算之1*之2= 著名的公式：ex=cosx十isin x,其中e是自 然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为 x十（等式右边为普通运算），若复数 欧拉公式。根据欧拉公式，则 c-c 的最 之=a十bi,且正实数a,b满足a十b=3,则 之之的最小值是( 大值为】 A B.3/3 c 9 解：由题意得e“一e -Icos 0+i(sin 0 2 D.4 解：由复数之=a十bi,结合之1之2= -1)|=√cos0+(sin8-1)=√2-2sin0, |x11+|2 ，可得之米乏= 1z+ 所以当sin0=-1,即8=- 2+2k元，k∈Z 2 2√a+b 时，e-e =√a+b=√(a+b)'-2ab。 取得最大值2。 因为正实数a,b满足a十b=3,所以ab≤ 评注：正弦函数y=sinx,x∈R是有界 函数，其值域为[一1,1]。 a十b)2 2 一9（当且仅当a=b时取等号），所 三、分类讨论思想 例3已知复数之满足|x|=1,之"=x十 以-ab≥- ,所以之*≥ 9 9-2X9 √2(n∈N),则n的最小值为 93√2 解：不妨设复数x=cos0十isin0,0∈[0， 2 ,即x*交的最小值是3 2。应选B。 sin ne=sin 0, 评注：解题时，利用新定义转化为a,b的 2π)。由题意得 所以 关系式，再结合基本不等式求最值。 cosn0=cos0十√2， 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 sin8+(cos0+√2)2=1，可得cos0=- √2 2。 (责任编辑郭正华) 9