聚焦立体几何中的分类讨论思想&面面垂直的判断“三法”-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

商一黄学职结胸室扬骨中学生款理化 聚焦立体几何中的分类讨论思想 ■于晓燕 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也 故若直线a不在平面&内，则直线a与 是一种数学思想。分类讨论思想的本质是“化 平面a的公共点的个数为0或1。 整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 评注：空间中直线与平面的位置关系：直 聚焦一：讨论点与直线的位置关系 线在平面内：直线不在平面内（包含直线与平 例1设P是异面直线a,b外的一点， 面平行和直线与平面相交)。 则过点P与a,b都平行的平面()。 聚焦四：讨论平面与平面的位置关系 A.有且只有一个 例4两个不重合的平面可以把空间分 B.恰有两个 成部分。 C.没有或只有一个 解：①当两个平面平行时，把空间分成3 D.有无数个 部分。②当两个平面相交时，把空间分成4 解：①过点P作a1∥a,b1仍。因为a1∩ 部分。故两个不重合的平面可以把空间分成 b1=P,所以过a1,b1有且只有一个平面。 3或4部分。 ②当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直 评注：空间中平面与平面的位置关系：平 线b(或a)平行时，与a,b都平行的平面就不 行（无交点）；相交（一个交点或无数个交点）。 存在了。应选C。 聚焦五：讨论参数的大小 评注：对点P的位置既要考虑一般情 例5如图2，在矩形ABCD中，AB= 况，还要考虑特殊情况。 1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,在 聚焦二：讨论直线与直线的位置关系 边BC上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?为 例2如图1，a∥B,AB,CD是夹在平面 什么？ a和B间的两条线段，则AC所在的直线与 BD所在的直线平行，这个说法正确吗？ 6 图2 图1 解：因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥ 解：当AB,CD共面时，AC∥BD。 QD。若边BC上存在一点Q,使得QD⊥ 当AB,CD异面时，AC∥B,但AC与 AQ,则QD⊥平面PAQ,从而QD⊥PQ。 BD不平行。同理BD∥a,但BD与AC不平 在矩形ABCD中，当AD=a<2时，直 行。故这个说法错误。 线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在 评注：直线与直线的位置关系：相交、平 点Q,使AQ⊥DQ。 行或异面。 故只有当a≥2时，在边BC上才存在点 聚焦三：讨论直线与平面的位置关系 Q,使得PQ⊥QD。 例3若直线a不在平面a内，则直线a 评注：解题的关键是将PQ⊥QD转化为 与平面。的公共点的个数是。 QD⊥AQ且QD⊥AP,但AD=BC=a是变 解：①当直线a与平面a平行时，公共点 化的，故需对a进行分类讨论。 的个数为0。②当直线a与平面&相交时，公 作者单位：山东省聊城市水城中学 共点的个数为1。 (责任编辑王琼霞) 19 中学生表理化贺皱挚与拓年1月 由DE∩BE=E,可得AC⊥平面DBE, 所以∠DEB为二面角P-AC-B的平面角。 在△DBE中，由DE=1,BE=3,BD= 面面垂直的判断 √I0,可得DE+BE=BD,所以∠DEB= 90°，所以平面PAC⊥平面ABC。 评析：为了证明面面垂直，可作出二面 角，利用二面角的平面角为直角来证明面面 垂直。 “三法” 二、利用判定定理证明面面垂直 判断面面垂直的关键在于从线面垂直的 角度进行思考。若一条直线l垂直于平面α， 且直线1位于平面B内，则平面a⊥B。 ■曹江祥 例2如图2，过S作三条长度相等但不 共面的线段SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC =60°，∠BSC=90°。 平面与平面垂直的判断是立体几何推理 论证的核心内容之一。判断两个平面是否垂 直，需要从多个角度深入理解、灵活掌握。下 面举例分析面面垂直的三种常用方法。 一、利用定义法证明面面垂直 图2 在判断两平面是否垂直时，若构造出二 求证：平面ABC⊥平面BSC。 面角的平面角，并证明其为直二面角（即 证明：（方法1）作AD⊥平面BSC,D为 90°)，则可依据定义法进行判断。 垂足。因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB 例1如图1，在空间四面体PABC中， =SC,所以AC=AB=AS,所以点A在底 ∠PCA=90°，△ABC是边长为2√5的正三 面BSC内的射影点D为△BSC的外心。又 角形，PC=2,D,E分别是PA,AC的中点， ∠BSC=90°，所以D为BC的中点。 BD=√10。 因为AD在平面ABC内，所以平面 ABC⊥平面BSC。 (方法2)取BC的中点D,易证AD⊥ BC。 因为△ABS是正三角形，△CBS为等腰 B 直角三角形，所以BD=SD,所以AD+ 图1 SD=AD+BD=AB2=AS2。 求证：平面PACL平面ABC。 由勾股定理知AD⊥SD,所以AD⊥平 证明：因为D,E分别是PA,AC的中 面BSC。又AD二平面ABC,所以平面 点所以DE/TC且DE=名PC=1. ABC⊥平面BSC。 评析：方法1是通过构造平面的垂线，并 因为∠PCA=90°，所以AC⊥DE。又 验证该垂线位于另一平面内，从而得到结果； △ABC是边长为2√3的正三角形，且E是 方法2是在一个平面内选取一条线段，证明 AC的中点，所以AC⊥BE。 这条线段与另一个平面垂直，从而达到证明面 20 资一数型识锁物室预骨中学生表理化 聚焦线面角的应用问题 ■程阳阳 平面上的一条斜线和它在平面上的射影 为1和2，且圆台的母线与底面所成角的大小 所成的角叫作这条直线和这个平面所成的 4,则圆台的体积是( 为 )。 角简称线面角其范国是0，]。 下面例析 线面角的应用。 A.号 B爱 一、求圆锥的母线长 D.3π 例1已知圆锥的表面积为9π，母线与 底面所成的角为60°，则该圆锥的母线长是 解：已知圆台的上、下底面半径分别为1 ()。 和2，圆台的母线与底面所成的角为不，设圆 A.√2 B.√3C.2√2 D.2√3 台的高为h,可得母线长1=√2h。因为 解：设圆锥的母线长为1，底面半径为r。 L·cos60°=r, r=√3， √(w2h)”一(2一1)2=h,所以h=1。由圆台 由题意得 解得 所以 xrl十xr2=9π，" l=2√3， 的体积公式得V-号x(1+1×2+2)X1 该圆锥的母线长为2√。应选D。 3。应选B。 7 评注：圆锥的母线、高和底面圆的半径构 成直角三角形。 二、求体积 评注：圆台的休积V=子(S:+S,十 例2已知圆台的上、下底面半径分别 VSI ST)h 面垂直的目的。证明面面垂直的关键是寻找 解：对于A,平行于同一个平面的两条直 “线面垂直”。 线的位置关系有相交、异面、平行，因此不 三、借助面面平行的性质证明面面垂直 定是互相平行，A错误。对于B,垂直于同一 对于两个平行平面，如果其中一个平面 条直线的两条直线的位置关系有平行、相交 与第三个平面垂直，那么另一个平面也与第 异面，因此不一定是互相平行，B错误。对于 三个平面垂直。 C,在正方体ABCD-A,B,C,D1中（图略），平 例3在空间中，下列说法正确的是 面A,B,BA⊥底面ABCD,平面B,C1CB⊥ ）。 底面ABCD,则平面A1B1BA与平面 A.平行于同一个平面的两条直线互相平 B1C1CB相交于B1B,C错误。对于D,符合 行 面面平行的性质，D正确。应选D。 B.垂直于同一条直线的两条直线互相平 行 评析：本题主要考查直线与直线、直线与 C.两个平面与第三个平面垂直，则这两 平面，以及平面与平面的平行与垂直关系。 个平面互相平行 解题时，需逐一剖析并论证各个关系。 D.两个平行平面中的一个与第三个平面 作者单位：浙江省绍兴鲁迅高级中学 垂直，则另一个也与第三个平面垂直 （责任编辑王琼霞) 21