第10讲 分式的加减（知识详解+06典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 分式的加减（知识详解+06典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的加减 1.同分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 示例1 同分母分式的加法运算 2.异分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 异分母的分式相加减，先通分，再加减. 示例2 异分母分式的减法运算 【知识点02】分式的符号法则 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三处的正负号同时改变两处，分式的值不变. 用式子表示：,. 说明： 在分式的加减运算中，常利用分式的符号法则将异分母分式转化为同分母分式或便于通分的形式. 【题型一】同分母分式加减法 例1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 例2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）化简的结果为_____． 【答案】1 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加法，分式变形后变为同分母分式的加法，按照同分母分式的加法相加即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】利用同分母分式的减法法则计算再约分即可得到结果． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了同分母分式减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的运算，掌握分式的基本运算是解题的关键；根据同分母加减法，分母不变，分子相加减的运算法则计算即可. 【详解】解： 故答案为：. 变式3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了平方差公式，分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，即可作答． （2）先整理原式，再根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，得，再化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】异分母分式加减法 例3．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式加减运算，求解关键是能够根据题意，进行分式通分合并得到． 【详解】解：由题意可知，， 移项通分可得：， 已知， 等式两端取倒数得：． 故选：． 例4．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键． （1）先通分，再把分子合并同类项后分解因式，再约分即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，是正数，则（   ） A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，先进行分式的减法运算，再结合，是正数判断分子分母的正负性，进而可得出答案． 【详解】解： ∵，是正数， ∴分子，分母 ， ∴ ， 即是正数， 故选∶A 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）已知，则______． 【答案】 【知识点】分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，分式的求值，由得，进而即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）化简计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （2）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （3）根据异分母的分式加减法法则计算即可； （4）根据异分母的分式加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型三】整式与分式相加减 例6．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【知识点】整式与分式相加减 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 例7．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】整式与分式相加减、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 变式2．（23-24八年级下·江苏镇江·月考）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是_______．（填序号） 【答案】①②/②① 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 变式3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 【答案】(1)①②③ (2) (3)0或2 【知识点】整式与分式相加减 【分析】（1）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④化不成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和谐分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ， 或2． 【点睛】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母 例8．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 变式1．（25-26八年级·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 【答案】 1 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查分式的混合运算．由于，对任意自然数都成立， 因此把代入等式，即可求出a的值．设，分别把，代入等式，求出b，c的值，从而得到分式可裂项为两个分式的差，根据该规律将所求式子进行裂项求解即可． 【详解】解：∵，对任意自然数都成立， ∴当时，， ∴． 设， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 解方程组得， ∴， ∴ ． 故答案为：1；． 变式2．课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】先通分计算，可得再建立方程组，从而可得答案. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式的加减运算的逆运算，掌握“分式的加减运算的逆运算”是解本题的关键. 【题型五】分式加减混合运算 例9．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）计算：___________． 【答案】 【知识点】分式加减混合运算 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 变式1．（22-23八年级下·江苏徐州·月考）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x＋2＝t，则x＝t－2． 原式，所以． 这样，分式就拆分成一个整式（x－5）与一个分式的和的形式． (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________． (2)已知分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2)或2或10或 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）设，则， ∴， ∴， ， ∵x是整数， ∴， 解得：或2或10或． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【答案】(1)②③ (2)或 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； 本题考查了分式的加减法和绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，正确理解新定义的法则是解题关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③， （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或. 【题型六】分式加减的实际应用 例10．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 例11．（22-23八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需______小时. 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解． 【详解】解：轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时， 顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米， 轮船往返两个港口一次共需时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式． 例12．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 变式3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算并化简． 【详解】解： =； ∵， ∴原式． 故选：C． 3．化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分解分母确定最简公分母，通分后合并约分即可得到结果. 【详解】解：原式 ． 4．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减法及比较分式值的大小，准确计算是正确解决本题的关键． 根据单价总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解∶甲糖单价为∶ (元/)， 乙糖单价为∶ (元)； ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成， ． 甲糖的单价较高． 故选：A． 5．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解：（）， ， ， 故选：C． 6．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 7．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 8．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值． 【详解】解：∵ ∴． ∵x，y是整数， ∴是整数， ∴x＋1可以取±1，±2． 当x＋1＝1，即x＝0时＞0； 当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）； 当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0； 当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0； 综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键． 9．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 10．已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， 解得：，故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题 11．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，关键是熟练应用运算法则进行计算；将分母因式分解后通分，合并分子并约分． 【详解】解：原式＝ ， 故答案为：． 12．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 【答案】 【分析】先分别求出原计划和革新后的使用天数，再通过分式减法求出两者的差值，即为多用的天数． 【详解】解：据题可知，原计划使用原材料的天数为天， 技术革新后每天使用的原材料为吨， 现在使用原材料的天数为天， 多用的天数为天． 13．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 14．已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则____． 【答案】 【分析】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 15．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 16．规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键． 由题意可得，为正整数，然后分、、三种情况分别代入计算即可解答． 【详解】解：∵函数图像上“正整点”， ∴，为正整数， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，即“正整点”的坐标为． 当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意． 综上，函数图像上“正整点”的坐标为． 故答案为：． 17．已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 18．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有______．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：第3次操作后得到的分式为， ，故①正确； 第4次操作后得到的分式为， ，故②正确； 第5次操作后得到的分式为， ， 又第5次操作后得到的分式可以化为整数， 是20的因数， ， ， 又a为正整数， ， a的正整数值共有9个，故③不正确； 经过n次操作后得到的分式为， 由题意得，， 整理得：且， ，， ， ， 又a为正整数， ， 为正整数， 是9的倍数， 或， 当时，，此时，舍去； 当时，，此时； 满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 19．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【答案】见解析 【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 20．计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据同分母的分式加减法计算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 21．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． 22．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？ 【答案】乙家庭合算． 【分析】本题考查了分式的加减法，异分母分式的通分，以及总价，单价，数量三者之间的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据总价，数量，单价三者之间的关系，分别表示出甲和乙的单价，再通过作法差，判断出差值的正负，从而得到答案． 【详解】解：甲的平均单价：元， 乙的平均单价：元， ． ，，， ，， ， 所以乙家庭合算． 23．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 探索规律，解答下列问题： (1)请直接写出第6个等式： ． (2)用含的式子表示第个式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)第个等式：，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，解决此类问题的关键是运用由特殊到一般的思想，找到一般规律，要善于前后联系，挖掘规律． （1）由已知等式知，连续奇数乘积的倒数的2倍等于这两个奇数倒数差的差，据此可得； （2）根据以上所得规律可得第n个等式，再根据分式的混合运算顺序和运算法则验证左右两边是否相等可得． 【详解】（1）解：根据题意得： 第6个等式：， 故答案为：； （2）解：第个等式：， 证明如下： 等式右边等式左边， 等式成立． 24．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低． 【答案】小丽的价格高，小颖的价格低 【分析】根据题意利用“作差法”即，然后根据分式的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是正数，且a≠b， ， ∴． ∴小丽的价格高，小颖的价格低． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练分式加减运算的法则． 25．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；；②小轮船完成任务所用的时间少 (2)见解析 【分析】（1）①根据大船比小船每天多运10吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答； ②通过作差法求解即可； （2）通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）①∵小船每天运吨货物， ∴大船每天运吨货物， ∴大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：；； ②根据题意得， ， ∵， ∴， ∴小轮船完成任务所用的时间少； （2） ， 当且时，更大，当时，更大，当时，无解． 【点睛】本题考查了作差法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式的加减（知识详解+06典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的加减 1.同分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 示例1 同分母分式的加法运算 2.异分母分式加减运算的法则： 法则 式子表示 异分母的分式相加减，先通分，再加减. 示例2 异分母分式的减法运算 【知识点02】分式的符号法则 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三处的正负号同时改变两处，分式的值不变. 用式子表示：,. 说明： 在分式的加减运算中，常利用分式的符号法则将异分母分式转化为同分母分式或便于通分的形式. 【题型一】同分母分式加减法 例1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 例2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）化简的结果为_____． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．1 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算：______． 变式3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【题型二】异分母分式加减法 例3．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A． B． C． D． 例4．（23-24八年级下·江苏常州·期中）计算：_______． 例5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，是正数，则（   ） A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）已知，则______． 变式3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）化简计算： (1) (2) (3) (4) 【题型三】整式与分式相加减 例6．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 例7．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 变式2．（23-24八年级下·江苏镇江·月考）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是_______．（填序号） 变式3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 【题型四】已知分式恒等式，确定分子或分母 例8．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 变式1．（25-26八年级·江苏南通·月考）若，对任意自然数都成立，则________，可以将一个分式裂项为几项分式的和的形式，利用类似的方法，试求________． 变式2．课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 【题型五】分式加减混合运算 例9．（22-23八年级下·江苏苏州·月考）计算：___________． 变式1．（22-23八年级下·江苏徐州·月考）在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x＋2＝t，则x＝t－2． 原式，所以． 这样，分式就拆分成一个整式（x－5）与一个分式的和的形式． (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为_________． (2)已知分式的值为整数，求整数x的值． 变式2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【题型六】分式加减的实际应用 例10．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 例11．（22-23八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需______小时. 例12．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 3．化简，的结果是（   ） A． B． C． D． 4．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为y元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/千克（平均价）．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由10元A种糖和10元B种糖混合而成．你认为（   ）的单价较高． A．甲种什锦糖 B．乙种什锦糖 C．甲、乙两种一样高 D．无法确定 5．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 7．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 8．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 10．已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 11．计算：___________． 12．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 13．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 14．已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则____． 15．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 16．规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 17．已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 18．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论： ①第3次操作后得到的分式可化为． ②第4次操作后的分式可化为． ③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个． ④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且． 以上四个结论中正确的有______．（只填写序号） 三、解答题 19．根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 20．计算： （1）；（2）． 21．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 22．甲、乙两个家庭同去一家粮店购买大米两次．两次大米的售价有变化，但两个家庭的购买方式不同，其中甲家庭每次总是买20千克大米，而乙家庭每次用去20元，商店也按价计算卖给乙家庭．设前后两次的米价分别是每千克元和元（，，），请问谁的购买方式合算？ 23．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 探索规律，解答下列问题： (1)请直接写出第6个等式： ． (2)用含的式子表示第个式，并证明你的结论． 24．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低． 25．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $