第4章 平行四边形 章节（19知识详解+43典例分析） 2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第4章 平行四边形 章节（19知识详解+43典例分析） 【知识点01】多边形的定义及相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.多边形的命名 多边形的命名以边数来区分，如边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3) 。 3.多边形的相关概念 概念 图示 边 组成多边形的各条线段。 内角 多边形相邻两边组成的角。 外角 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。 顶点 多边形每一个内角的顶点。 对角线 连结多边形不相邻两个顶点的线段。 4.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 【知识点02】四边形的内角和 问题提出 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合)。你发现了什么？请把你的发现概括成一个命题。 问题探究： 如图，可以发现四边形四个角拼在一起形成一个周角，即四边形的内角和等于360°。你知道怎么证明这个命题吗？ 证明方法如下： 方法一 方法二 方法三 图示 辅助线 连结𝐵𝐷 。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 内任取一点𝑂，连结𝐴𝑂 ,𝐵𝑂,𝐶𝑂,𝐷𝑂 。 在边𝐵𝐶 上任取一点𝑂，连结𝐴𝑂,𝐷𝑂 。 四边形的内角和 180°×2=360° 180°×4−360°=360°  180°×3−180°=360°  问题结论： 四边形的内角和等于360°。四边形内角和定理 【知识点03】多边形的内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180° (n≥3) 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 证明方法如下表(同样需要将多边形的内角转化为三角形的内角)： 推导过程 图示 方法 一 如图所示，从𝑛 边形的一个顶点引出(𝑛−3)条对角线，这(𝑛−3)条对角线把𝑛 边形分成(𝑛−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180∘ ，所以𝑛 边形的内角和为(𝑛−2)×180∘  。 方法 二 如图所示，在𝑛边形内任取一点𝑃 ，连结𝑃𝐴，𝑃𝐴，⋯ ，𝑃𝐴，把𝑛边形分成𝑛 个三角形，这𝑛 个三角形的内角和为 𝑛×180°，再减去一个周角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 𝑛×180°−360°=(𝑛−2)×180°。 方法 三 如图所示，在𝑛边形的一边上任取一点𝑃 ，将点𝑃与各顶点相连，得(𝑛−1) 个三角形，𝑛边形内角和等于这(𝑛−1) 个三角形的内角和减去在点𝑃 处的一个平角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 (𝑛−1)×180°−180°=(𝑛−2)×180°。  【知识点04】多边形的外角和 公式 推导过程 图示 任何多边形的外角和为360°  由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以𝑛 边形的外角和（每一个顶点只取一个外角（不是所有外角的和））为 𝑛×180°−(𝑛−2)×180°=360°。  注意：正边形的各外角都相等，都等于 。 【知识点05】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 图示 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 可记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”。 注意事项 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写表示各顶点的字母； 2.“▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2.平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 基本元素 主要内容 图示 边 邻边  𝐴𝐷和𝐴𝐵，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶 和𝐴𝐵 ，共有四组。 对边 𝐴𝐵和𝐷𝐶，𝐴𝐷和𝐵𝐶 ，共有两组。 角 邻角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐷𝐶𝐵 和∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐴𝐷 ，共有四组。 对角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐵𝐶 ，共有两组。 对角线 𝐴𝐶和𝐵𝐷 ，共有两条。 【知识点06】平行四边形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 角 平行四边形的对角相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷 , ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶 。 对角 线 平行四边形的对角线互相平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶 ,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 。 教材延伸 由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；（3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的<m>1/4</m>，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值；（4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 【知识点07】四边形的不稳定性 四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 说明：各边边长都确定的平行四边形的形状改变时，其周长、内角和及外角和均不变，对边的平行性不变。 【知识点08】平行线的性质定理及推论 1.平行线的性质定理及推论 文字叙述 符号语言 图示 平行线的性质定理 夹在两条平行线间的平行线段相等。 因为直线//，𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，所以𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 推论 夹在两条平行线间的垂线段相等。 因为直线// ，𝐸𝐹⊥，𝐺𝐻⊥ ， 所以𝐸𝐹=𝐺𝐻 。 说明：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 三种距离之间的区别 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连结两点的线段的长度。 点到直线的垂线段的长度。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度。 【知识点09】旋转及其相关概念 旋转的定义 一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点， 按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的三要素 ①旋转中心：如点𝑂 ；②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠𝐴𝑂𝐷 ,∠𝐵𝑂𝐸或∠𝐶𝑂𝐹 。 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 按顺时针方向旋转一定角度得△𝐷𝐸𝐹 旋转中的 对应元素 对应点 点𝐴与点𝐷,点𝐵与点𝐸，点𝐶 与点𝐹 。 对应线段 𝐴𝐵与𝐷𝐸,𝐴𝐶与𝐷𝐹,𝐵𝐶 与𝐸𝐹 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐷𝐸𝐹,∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐹𝐸 。 注意：旋转的范围是在平面内，否则有可能旋转成立体图形。 【知识点10】旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 【知识点11】旋转的性质 示意图 性质 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 逆时针旋转𝑛°得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，点𝑃，𝑃′ 是一对对应点。 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′。  𝑂𝐴=𝑂𝐴′ ，𝑂𝐵=𝑂𝐵′ ，𝑂𝐶=𝑂𝐶′ ，𝑂𝑃=𝑂𝑃′ 。 ∠𝐴𝑂𝐴′=∠𝐵𝑂𝐵′=∠𝐶𝑂𝐶′=∠𝑃𝑂𝑃′=𝑛° 。 辨析：轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 【知识点12】中心对称和中心对称图形 1.中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 注意：（1）中心对称图形指的是一个图形； （2） 中心对称图形只有一个对称中心。 2.中心对称：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称。这个点叫作对称中心。这两个图形中的对应点叫作对称点。 示例 中心对称 _________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是他们的对称中心。 注意：（1）中心对称是两个图形之间的关系； （2）中心对称只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部、内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合。 辨析： 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的。 （2）是指两个图形的（位置）关系。 （3）对称点在两个图形上。 （4）对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。 （1）是针对一个图形而言的。 （2）是指具有某种性质的一个图形。 （3）对称点在一个图形上。 （4）对称中心在图形上或图形内部。 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，则这两个图形成中心对称。 中心对称图形与轴对称图形的对比 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称。 关于某一条直线对称。 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。 沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合。 举例 线段、平行四边形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形。 线段、角、等腰三角形、长方形、正多边形等都是轴对称图形。 规律：边数为偶数的正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形； 边数为奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 【知识点13】中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 可根据性质确定对称中心的位置： ①将中心对称图形的一对对称点相连得到一条线段，其中点即对称中心； ②将中心对称图形的两对对称点分别相连得到两条不共线的线段，它们的交点即对称中心 教材延伸 成中心对称的两个图形的性质 （1）成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.根据中心对称的性质作已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤 【知识点14】关于原点对称的点的坐标特征 在直角坐标系中，点与点 关于原点成中心对称。 教材延伸 中点坐标公式 若点，关于点对称，则 ，，点是线段 的中点。 【知识点15】平行四边形的判定 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行,具体如下表所示： 判定方法 符号语言 图示 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶，𝐵𝐷 相交于点𝑂 。_____ 定理：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。 因为 或( ),所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 对角线 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 因为𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示的四边形ABCD，满足AD//BC，AB=CD ， 但四边形ABCD 不是平行四边形。 【知识点16】三角形中位线的定义及定理 1.了解三角形的中位线的概念。 2.探索并证明三角形的中位线定理，并能运用三角形的中位线定理进行相关计算或证明。 三角形中位线的定义 内容 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 点D，E 分别是AB，AC 的中点。 符号语言 如图所示，因为点𝐷,𝐸 分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,所以𝐷𝐸 就是△𝐴𝐵𝐶 的一条中位线。 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言 如图所示，因为𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶 的中位线,所以𝐷𝐸 𝐵𝐶 。 应用 （1）位置关系：证明两直线平行。 （2）数量关系：证明线段的相等或倍分关系。 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 三角形的中位线 三角形的中线 图示 区别 连结三角形两边中点的线段。如线段𝐷𝐸 。 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段。如线段𝐴𝐹 。 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分。如△𝐴𝐵𝐶的中位线𝐷𝐸与其中线𝐴𝐹 互相平分。 【知识点17】反证法的概念 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 示例 反证法 【知识点18】用反证法证明命题的一般步骤 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立;如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 【知识点19】平行线的传递性 平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a ,c//a,那么b//c （如图）。 【题型一】多边形的概念与分类 1．（2023八年级·浙江·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据多边形的定义，即可求解． 【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意； B、不属于多边形，故本选项不符合题意； C、属于多边形，故本选项符合题意； D、不属于多边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 【题型二】多边形的周长 2．（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【知识点】多边形的周长、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 【题型三】多边形对角线的条数问题 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（  ） A．条 B．条 C．3条 D．条 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可． 【详解】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线， 故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键． 【题型四】对角线分成的三角形个数问题 4．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF． 【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 【题型五】多边形内角和问题 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【题型六】多（少）算一个角问题 6．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【题型七】多边形截角后的内角和问题 7．（2024八年级下·浙江·月考）一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；然后分别求出每一种情况下的多边形的内角和． 【详解】解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变； ①四边形的内角和为：360°； ②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°； ③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°； 故选D． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况． 【题型八】多边形外角和的实际应用 8．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 【题型九】多边形内角和与外角和综合 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 【答案】1080 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再利用多边形内角和定理计算内角和即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都等于， ∴多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为． 10．（23-24八年级·浙江台州·期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．    (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60°　   　 　   　 　   　 　   　 …… (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不存在，理由见解析． 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的； （2）根据正n边形中的，可得答案． 【详解】（1）解：观察上面每个正多边形中的，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 的度数 故答案为：，，，； （2）解：不存在，理由如下： ∵设存在正边形使得， ∴． 解得：，n不为正整数，不合题意，舍去， ∴不存在正边形使得． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等． 【题型十】利用平行四边形的性质求解 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】利用平行四边形面积公式求出高和，再由勾股定理计算出和的长度，最后分别计算两种情况的即可得到结果． 【详解】解：四边形是面积为的平行四边形，，， ，，平行四边形面积， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 分两种情况计算： 情况：当在延长线，在延长线时， ，， ， 情况：当在延长线，在线段上时， ，， ， 综上，的值为或． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长，的周长， ∴，即， ∴； （2）解：，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【题型十一】利用平行四边形的性质证明 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：；；；．其中正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证，得 ，，，则，得，故正确，不一定等于，故不正确，不一定成立，故不正确，即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故正确， ∴， ∴，故正确， ∴四边形是平行四边形， ∴，而不一定成立，故不正确， ∵不一定等于， ∴不正确，故不正确， 故选：． 【题型十二】平行四边形性质的其他应用 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）先计算出，根据平行四边形的性质取格点使，然后利用网格特点，平移到，使点与点重合，点的对应点为，则四边形满足条件； （2）把点向右平移格，点向左平移格，则四边形为满足条件的四边形． 【详解】（1）解：如图甲，四边形即为所求； （2）解：如图乙，四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类的关键是熟悉平行四边形的性质，利用网格求出已知边和所求边的长度，根据几何图形的特性进行作图． 【题型十三】求平行线间的距离 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求平行线间的距离 【分析】作，在中根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作，则， 又∵， ， ， ， ， ， ， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键． 【题型十四】利用平行线间距离解决问题 16．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形中，若，，，则的面积为______．    【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行线间距离解决问题 【分析】过点A作交于点，由已知条件可判定，，再由可判定是等腰三角形，则，利用勾股定理可求得，从而可求面积． 【详解】解：过点A作交于点，如图， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由平行线的之间的距离处处相等得到． 【题型十五】根据旋转的性质求解 17．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，可得以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到， ，，，， 为等边三角形， ， 以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ， ， ， ． 故选：B． 18．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，， ，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．    【答案】(1)是 (2)4或2 (3)；见解析 (4) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理求得；当时，由勾股定理求得； （3）结合等腰直角三角形的性质，且利用证明，得； （4）构造等腰直角三角形，将逆时针旋转，得，与重合，连接，再运用勾股定理列式计算，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴，是等腰三角形， ∵， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形， 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ∴是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得： ， 当时，由勾股定理得：， 综上：或2； 故答案为：4或2； （3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴； （4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且， ∴是等腰直角三角形， 如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接    则 ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性． 【题型十六】画旋转图形 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，． (1)按照题意补全图形． (2)求证：． (3)连结，若，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)线段的最小值为 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）证明，得出； （3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，．证明，得出．得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所求图形． （2）证明：四边形是正方形， ，． 又， ． ， ． ． （3）连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，，． ， ． 又，， ． ． 点是边的中点， ，． 在中，， ． 即线段的最小值为． 【题型十七】求绕原点旋转90度的点的坐标 20．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3） 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 21．（23-24八年级下·浙江衢州）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，求其对应点Q的坐标． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】根据点P绕原点顺时针旋转，得到，首先求出，利用证明，即可得到，进而求出Q点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵P点坐标为， ∴， ∴， ∴Q点坐标为． 【题型十八】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 【题型十九】坐标与旋转规律问题 23．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】根据旋转角度为，可知每旋转次点的位置重复出现，由此可知第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上，再由，即可求解． 【详解】解：， ， 每次旋转角度为， 次旋转， ， 第次旋转后，点与点的位置相同，都在轴的负半轴上， 第一次旋转后，， 第二次旋转后，， 第三次旋转后，， 第次旋转后，， 点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，，，，， ， 点与同在一个象限内， 点，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键． 【题型二十】线段问题(旋转综合题) 25．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）有如下一道作业题： 如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，． 求证：． （1）请你完成这道题的证明． （2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结． ①求证：． ②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定即可求解； （2）①以点为顶点作交于点，由条件可证，根据全等三角形的性质可得，由，可得,继而可得，由全等性质可得，由等腰三角形和三角形内角和定理即可求解； ②在上截取，可证，，继而求得，，由绕点顺时针旋转120°得到，继而可得是顶角为120°的等腰三角形,进一步可得，且,继而求得，因此可得四边形是平行四边形，故而可得,由， 可得． 【详解】证明：（1）∵四边形为菱形，， ∴，， ∵是顶角为120°的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①如图2（1），以点为顶点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即, ∴, ∴， ∵， ∴. ②如图3，在上截取，连接CE， ∵，，， ∴， ∴， ∵BE=DF， ，BC=CD， ∴， ∴∠BCE=∠DCF， ∴， ∴，， ∵绕点顺时针旋转120°得到， ∴是顶角为120°的等腰三角形, ∴，且, ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质. 【题型二十一】面积问题(旋转综合题) 26．（2024八年级下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点绕点B顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．    (1)如图①，，边上的一点M旋转后的对应点为N，当时，点N的坐标为_____； (2)在（1）的条件下，当取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标； (3)如图③，P为上一点，且，连接，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)存在，最大值，最小值 【知识点】根据旋转的性质求解、最短路径问题、面积问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用旋转变换的性质求解即可． （2）由题意，，作点关于的对称点，连接交于，连接，的值最小．求出直线的解析式，可得点的坐标，求出，可得结论． （3）如图③中，当点落在的延长线上时，△的面积最大，如图③中，当点落在上时，△的面积最小，分别求解即可． 【详解】（1）解： 点，点， ，， 由旋转的性质可知，，，， ． 故答案为：． （2）如图②中，   ， ， 作点关于的对称点，连接交于，连接，的值最小． ，， 直线的解析式为， ，， ， ． （3）存在． 理由：如图中，当点落在的延长线上时，△的面积最大．    由题意，，， ， ， ， ， △的面积的最大值． 如图中，当点落在上时，△的面积最小，最小值为．    【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【题型二十二】角度问题(旋转综合题) 27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，．将菱形绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到菱形，与，分别交于点I，J，与交于点H，与交于点K，连接．      (1)用含的代数式表示； (2)求证：平分； (3)在从到的变化过程中， ①的周长是否变化？若不变，请求出的周长；若变化，请说明理由． ②直接写出点K的运动路径长． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①不变，的周长为，② 【知识点】角度问题(旋转综合题)、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）设与交于点H，由旋转可知，再根据三角形的外角定理即可； （2）过点A作于点M，于点N，证明，由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）①旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线，得到再证明，得到即可；，②当时有最大值，当时有最小值， 即可得出结果． 【详解】（1）      解：设与交于点H， 由旋转可知， 再根据三角形的外角定理得：， ； （2）解：过点A作于点M，于点N，        ， 由旋转可知，， ， ， 平分； （3）解：①不变，的周长为，理由如下： 连接，      根据菱形为轴对称图形，菱形对角线所在的直线为菱形的对称轴， 旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线， 由第（2）问中平分， ， 在菱形中，，， 和均为等边三角形， ， ， ， 的周长为； ②当时有最大值，； 当时有最小值，； ． 故点K的运动路径长为． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，综合运用旋转图形的性质、全等三角形的性质和判定是本题的关键． 【题型二十三】坐标系中的旋转 28．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标系中的旋转 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 【题型二十四】中心对称图形的识别 29．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【知识点】中心对称图形的识别、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 【题型二十五】判断中心对称图形的对称中心 31．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 32．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【答案】(1)点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)；． 【知识点】中点坐标、判断中心对称图形的对称中心、坐标系中的动点问题（不含函数）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）根据平行四边形性质可得，由点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； （）由题意得，，由上可知，，，然后通过即可求解； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合，根据动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，即； （2）解：根据题意得：当时，点坐标为，， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴为中点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为，即， ∵， ∴； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合， ∵动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动， ∴， ∴， ∵一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束， ∴． 【题型二十六】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 33．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，已知A，B，P三个格点，请按要求画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个中心对称图形，使为其一边，点P在图形的内部（不在边界上） (2)在图2中画一个平行四边形，使为其一条对角线，且另一条对角线经过点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查中心对称图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）以为边作出平行四边形即可； （2）取的中点，过该中点与点P作线段，且线段被平分，则得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，四边形为平行四边形，是中心对称图形，为所求． （2）解：如图，为所求． 【题型二十七】成中心对称 34．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，， ，，正确， 故选：D． 35．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】成中心对称、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用数形结合的思想，求出平行四边形为的面积为10，只要作出高为2的平行四边形即可． 【详解】（1）如图甲中，即为所求；    （2）在图乙中，平行四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，学会用数形结合的解决问题． 【题型二十八】画已知图形关于某点对称的图形 36．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． (2)以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）根据题意可得和关于原点对称，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此确定点的坐标，描出点，并顺次连接点、O即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点、O即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求． 【题型二十九】画两个图形的对称中心 37．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 【题型三十】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 38．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 39．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【答案】， 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】∵与成中心对称，点O是它们的对称中心， ∴，． 【题型三十一】求关于原点对称的点的坐标 40．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 41．（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是， 故选：D． 【题型三十二】已知两点关于原点对称求参数 42．（22-23八年级下·浙江衢州·期中）已知点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点对称的性质得到，，求出a、b，问题得解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键． 43．（23-24八年级下·浙江·期末）若点与关于坐标原点对称，则为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算． 【详解】解：根据题意，得a=1，b=-2． ∴a+b=-1． 故选A． 【点睛】本题考查了点的坐标变化-中心对称，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【题型三十三】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 44．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 【题型三十四】证明四边形是平行四边形 45．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，，，可得四边形为平行四边形，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，，， 四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故选：C． 46．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连接，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 【题型三十五】判断能否构成平行四边形 47．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 48．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【答案】③ 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【题型三十六】添一个条件成为平行四边形 49．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 【题型三十七】利用平行四边形的判定与性质求解 50．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过G作交于H，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，证明，根据，即可得出． 【详解】解：过G作交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B符合题意； 当F向上运动时，变小，反之变大，故A不符合题意； 当D向上运动时，变小，反之变大，故C不符合题意； 当D向上运动，F向下运动时，变大，反之变小，故D不符合题意． 故选：B． 51．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)当点D为中点时，线段________． (2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，=________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，垂直平分，再由，可得，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再结合旋转的性质可得，从而得到，再由，可得到，从而得到，即可求证； （3）①设，则，可得，再结合旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据，可得，即可求解；②连接交于点M， 根据平行四边形的性质可得，，从而得到，设，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①设，则， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； ②连接交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， 设，，则，． ∴． 故答案为：．时，=_ 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质与判定，平行线之间的距离相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型三十八】利用平行四边形性质和判定证明 52．（23-24八年级下·浙江绍兴·月考）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是关键． （1）根据四边形是平行四边形，得出，，结合，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据四边形是平行四边形，得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【题型三十九】与三角形中位线有关的求解问题 54．（25-26八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 55．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________． 【答案】3 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，先根据证明，即可得到，，然后根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 【题型四十】与三角形中位线有关的证明 56．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（　　） A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质、三角形三边的关系以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴PE，FP分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PE=BC，PF=AD， ∵AD=BC， ∴PF=PE，故选项A正确； 则△EPF是等腰三角形． ∴∠PEF=∠PFE=30°， ∴∠EPF=180°-2∠PEF=120°，故选项B正确； ∵PF+PE>EF， ∴AD+BC>EF，即AD+BC＞2EF，故选项C正确； 无法判断AB+DC＞2DB，故选项D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形三边关系及等腰三角形的性质，根据三角形中位线定理求出PF=PE是解题的关键． 57．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2）∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 【题型四十一】三角形中位线的实际应用 58．（2024八年级下·浙江温州·期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距 （    ） A．9米 B．10米 C．11米 D．12米 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC． 【详解】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∴BC＝2DE＝2×6＝12（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 59．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，分别取的中点，若测得，则两点间的距离是_____．    【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【题型四十二】反证法证明中的假设 60．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 61．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 【答案】/ 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的定义，反证法需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原结论的否定形式即可． 【详解】解：原命题的结论为，的否定为，因此用反证法证明该命题时，应假设． 【题型四十三】用反证法证明命题 62．（2023八年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【详解】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 章节（19知识详解+43典例分析） 【知识点01】多边形的定义及相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.多边形的命名 多边形的命名以边数来区分，如边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3) 。 3.多边形的相关概念 概念 图示 边 组成多边形的各条线段。 内角 多边形相邻两边组成的角。 外角 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。 顶点 多边形每一个内角的顶点。 对角线 连结多边形不相邻两个顶点的线段。 4.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 【知识点02】四边形的内角和 问题提出 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合)。你发现了什么？请把你的发现概括成一个命题。 问题探究： 如图，可以发现四边形四个角拼在一起形成一个周角，即四边形的内角和等于360°。你知道怎么证明这个命题吗？ 证明方法如下： 方法一 方法二 方法三 图示 辅助线 连结𝐵𝐷 。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 内任取一点𝑂，连结𝐴𝑂 ,𝐵𝑂,𝐶𝑂,𝐷𝑂 。 在边𝐵𝐶 上任取一点𝑂，连结𝐴𝑂,𝐷𝑂 。 四边形的内角和 180°×2=360° 180°×4−360°=360°  180°×3−180°=360°  问题结论： 四边形的内角和等于360°。四边形内角和定理 【知识点03】多边形的内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180° (n≥3) 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 证明方法如下表(同样需要将多边形的内角转化为三角形的内角)： 推导过程 图示 方法 一 如图所示，从𝑛 边形的一个顶点引出(𝑛−3)条对角线，这(𝑛−3)条对角线把𝑛 边形分成(𝑛−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180∘ ，所以𝑛 边形的内角和为(𝑛−2)×180∘  。 方法 二 如图所示，在𝑛边形内任取一点𝑃 ，连结𝑃𝐴，𝑃𝐴，⋯ ，𝑃𝐴，把𝑛边形分成𝑛 个三角形，这𝑛 个三角形的内角和为 𝑛×180°，再减去一个周角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 𝑛×180°−360°=(𝑛−2)×180°。 方法 三 如图所示，在𝑛边形的一边上任取一点𝑃 ，将点𝑃与各顶点相连，得(𝑛−1) 个三角形，𝑛边形内角和等于这(𝑛−1) 个三角形的内角和减去在点𝑃 处的一个平角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 (𝑛−1)×180°−180°=(𝑛−2)×180°。  【知识点04】多边形的外角和 公式 推导过程 图示 任何多边形的外角和为360°  由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以𝑛 边形的外角和（每一个顶点只取一个外角（不是所有外角的和））为 𝑛×180°−(𝑛−2)×180°=360°。  注意：正边形的各外角都相等，都等于 。 【知识点05】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 图示 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 可记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”。 注意事项 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写表示各顶点的字母； 2.“▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2.平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 基本元素 主要内容 图示 边 邻边  𝐴𝐷和𝐴𝐵，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶 和𝐴𝐵 ，共有四组。 对边 𝐴𝐵和𝐷𝐶，𝐴𝐷和𝐵𝐶 ，共有两组。 角 邻角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐷𝐶𝐵 和∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐴𝐷 ，共有四组。 对角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐵𝐶 ，共有两组。 对角线 𝐴𝐶和𝐵𝐷 ，共有两条。 【知识点06】平行四边形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 角 平行四边形的对角相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷 , ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶 。 对角 线 平行四边形的对角线互相平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶 ,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 。 教材延伸 由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；（3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的<m>1/4</m>，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值；（4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 【知识点07】四边形的不稳定性 四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 说明：各边边长都确定的平行四边形的形状改变时，其周长、内角和及外角和均不变，对边的平行性不变。 【知识点08】平行线的性质定理及推论 1.平行线的性质定理及推论 文字叙述 符号语言 图示 平行线的性质定理 夹在两条平行线间的平行线段相等。 因为直线//，𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，所以𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 推论 夹在两条平行线间的垂线段相等。 因为直线// ，𝐸𝐹⊥，𝐺𝐻⊥ ， 所以𝐸𝐹=𝐺𝐻 。 说明：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 三种距离之间的区别 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连结两点的线段的长度。 点到直线的垂线段的长度。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度。 【知识点09】旋转及其相关概念 旋转的定义 一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点， 按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的三要素 ①旋转中心：如点𝑂 ；②旋转方向：如顺时针方向； ③旋转角：如∠𝐴𝑂𝐷 ,∠𝐵𝑂𝐸或∠𝐶𝑂𝐹 。 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 按顺时针方向旋转一定角度得△𝐷𝐸𝐹 旋转中的 对应元素 对应点 点𝐴与点𝐷,点𝐵与点𝐸，点𝐶 与点𝐹 。 对应线段 𝐴𝐵与𝐷𝐸,𝐴𝐶与𝐷𝐹,𝐵𝐶 与𝐸𝐹 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐸𝐷𝐹，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐷𝐸𝐹,∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐷𝐹𝐸 。 注意：旋转的范围是在平面内，否则有可能旋转成立体图形。 【知识点10】旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 【知识点11】旋转的性质 示意图 性质 △𝐴𝐵𝐶绕点𝑂 逆时针旋转𝑛°得到△𝐴′𝐵′𝐶′ ，点𝑃，𝑃′ 是一对对应点。 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′。  𝑂𝐴=𝑂𝐴′ ，𝑂𝐵=𝑂𝐵′ ，𝑂𝐶=𝑂𝐶′ ，𝑂𝑃=𝑂𝑃′ 。 ∠𝐴𝑂𝐴′=∠𝐵𝑂𝐵′=∠𝐶𝑂𝐶′=∠𝑃𝑂𝑃′=𝑛° 。 辨析：轴对称、平移、旋转的区别与联系 变换 关系 轴对称 平移 旋转 区别 运动方式 沿一条直线对折。 沿某一直线移动。 绕某一定点转动。 对应点情况 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 对应点与旋转中心所连线段相等。 要素 平移的方向和平移的距离。 旋转中心、旋转方向和旋转角。 联系 都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应边相等，对应角相等。 【知识点12】中心对称和中心对称图形 1.中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 注意：（1）中心对称图形指的是一个图形； （2） 中心对称图形只有一个对称中心。 2.中心对称：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称。这个点叫作对称中心。这两个图形中的对应点叫作对称点。 示例 中心对称 _________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是他们的对称中心。 注意：（1）中心对称是两个图形之间的关系； （2）中心对称只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部、内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合。 辨析： 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的。 （2）是指两个图形的（位置）关系。 （3）对称点在两个图形上。 （4）对称中心在两个图形的外部、内部或图形上。 （1）是针对一个图形而言的。 （2）是指具有某种性质的一个图形。 （3）对称点在一个图形上。 （4）对称中心在图形上或图形内部。 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，则这两个图形成中心对称。 中心对称图形与轴对称图形的对比 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称。 关于某一条直线对称。 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。 沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合。 举例 线段、平行四边形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形。 线段、角、等腰三角形、长方形、正多边形等都是轴对称图形。 规律：边数为偶数的正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形； 边数为奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 【知识点13】中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 可根据性质确定对称中心的位置： ①将中心对称图形的一对对称点相连得到一条线段，其中点即对称中心； ②将中心对称图形的两对对称点分别相连得到两条不共线的线段，它们的交点即对称中心 教材延伸 成中心对称的两个图形的性质 （1）成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.根据中心对称的性质作已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤 【知识点14】关于原点对称的点的坐标特征 在直角坐标系中，点与点 关于原点成中心对称。 教材延伸 中点坐标公式 若点，关于点对称，则 ，，点是线段 的中点。 【知识点15】平行四边形的判定 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行,具体如下表所示： 判定方法 符号语言 图示 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶，𝐵𝐷 相交于点𝑂 。_____ 定理：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。 因为 或( ),所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 对角线 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 因为𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示的四边形ABCD，满足AD//BC，AB=CD ， 但四边形ABCD 不是平行四边形。 【知识点16】三角形中位线的定义及定理 1.了解三角形的中位线的概念。 2.探索并证明三角形的中位线定理，并能运用三角形的中位线定理进行相关计算或证明。 三角形中位线的定义 内容 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 点D，E 分别是AB，AC 的中点。 符号语言 如图所示，因为点𝐷,𝐸 分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,所以𝐷𝐸 就是△𝐴𝐵𝐶 的一条中位线。 三角形的中位线定理 内容 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言 如图所示，因为𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶 的中位线,所以𝐷𝐸 𝐵𝐶 。 应用 （1）位置关系：证明两直线平行。 （2）数量关系：证明线段的相等或倍分关系。 辨析：三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 三角形的中位线 三角形的中线 图示 区别 连结三角形两边中点的线段。如线段𝐷𝐸 。 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段。如线段𝐴𝐹 。 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分。如△𝐴𝐵𝐶的中位线𝐷𝐸与其中线𝐴𝐹 互相平分。 【知识点17】反证法的概念 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 示例 反证法 【知识点18】用反证法证明命题的一般步骤 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立;如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 【知识点19】平行线的传递性 平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a ,c//a,那么b//c （如图）。 【题型一】多边形的概念与分类 1．（2023八年级·浙江·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【题型二】多边形的周长 2．（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【题型三】多边形对角线的条数问题 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（  ） A．条 B．条 C．3条 D．条 【题型四】对角线分成的三角形个数问题 4．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【题型五】多边形内角和问题 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【题型六】多（少）算一个角问题 6．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【题型七】多边形截角后的内角和问题 7．（2024八年级下·浙江·月考）一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（    ） A． B． C． D．或或 【题型八】多边形外角和的实际应用 8．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【题型九】多边形内角和与外角和综合 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 10．（23-24八年级·浙江台州·期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．    (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60°　   　 　   　 　   　 　   　 …… (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 【题型十】利用平行四边形的性质求解 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 12．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， (1)求的长． (2)若，求的长． 【题型十一】利用平行四边形的性质证明 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：；；；．其中正确的为（　　） A． B． C． D． 【题型十二】平行四边形性质的其他应用 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 【题型十三】求平行线间的距离 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 【题型十四】利用平行线间距离解决问题 16．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形中，若，，，则的面积为______．    【题型十五】根据旋转的性质求解 17．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，， ，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．    【题型十六】画旋转图形 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是正方形内的一个动点，连结，，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结，． (1)按照题意补全图形． (2)求证：． (3)连结，若，求线段的最小值． 【题型十七】求绕原点旋转90度的点的坐标 20．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3） 21．（23-24八年级下·浙江衢州）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，求其对应点Q的坐标． 【题型十八】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【题型十九】坐标与旋转规律问题 23．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【题型二十】线段问题(旋转综合题) 25．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）有如下一道作业题： 如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，． 求证：． （1）请你完成这道题的证明． （2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结． ①求证：． ②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：． 【题型二十一】面积问题(旋转综合题) 26．（2024八年级下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点绕点B顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．    (1)如图①，，边上的一点M旋转后的对应点为N，当时，点N的坐标为_____； (2)在（1）的条件下，当取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标； (3)如图③，P为上一点，且，连接，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【题型二十二】角度问题(旋转综合题) 27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，．将菱形绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到菱形，与，分别交于点I，J，与交于点H，与交于点K，连接．      (1)用含的代数式表示； (2)求证：平分； (3)在从到的变化过程中， ①的周长是否变化？若不变，请求出的周长；若变化，请说明理由． ②直接写出点K的运动路径长． 【题型二十三】坐标系中的旋转 28．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型二十四】中心对称图形的识别 29．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【题型二十五】判断中心对称图形的对称中心 31．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 32．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【题型二十六】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 33．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，已知A，B，P三个格点，请按要求画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个中心对称图形，使为其一边，点P在图形的内部（不在边界上） (2)在图2中画一个平行四边形，使为其一条对角线，且另一条对角线经过点P． 【题型二十七】成中心对称 34．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 35．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 【题型二十八】画已知图形关于某点对称的图形 36．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． (2)以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 【题型二十九】画两个图形的对称中心 37．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【题型三十】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 38．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 39．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【题型三十一】求关于原点对称的点的坐标 40．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型三十二】已知两点关于原点对称求参数 42．（22-23八年级下·浙江衢州·期中）已知点与点关于原点成中心对称，则________． 43．（23-24八年级下·浙江·期末）若点与关于坐标原点对称，则为（    ） A． B．1 C．2 D． 【题型三十三】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 44．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【题型三十四】证明四边形是平行四边形 45．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 46．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【题型三十五】判断能否构成平行四边形 47．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 48．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【题型三十六】添一个条件成为平行四边形 49．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【题型三十七】利用平行四边形的判定与性质求解 50．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 51．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)当点D为中点时，线段________． (2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，=________． 【题型三十八】利用平行四边形性质和判定证明 52．（23-24八年级下·浙江绍兴·月考）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是 53．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【题型三十九】与三角形中位线有关的求解问题 54．（25-26八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 55．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________． 【题型四十】与三角形中位线有关的证明 56．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（　　） A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB 57．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【题型四十一】三角形中位线的实际应用 58．（2024八年级下·浙江温州·期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距 （    ） A．9米 B．10米 C．11米 D．12米 59．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，分别取的中点，若测得，则两点间的距离是_____．    【题型四十二】反证法证明中的假设 60．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 61．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________． 【题型四十三】用反证法证明命题 62．（2023八年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $