专题09 平行四边形及其性质（5知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

本初中数学讲义聚焦平行四边形及其性质核心知识点，从定义切入，系统梳理四边形不稳定性、边/角/对角线性质、平行线间距离及拓展结论，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 该资料通过10类题型分类解读，结合典例与跟随训练，融入伸缩衣架、物流机器人等生活实例，培养学生应用意识与推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，精准查漏补缺。

专题09 平行四边形及其性质 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 平行四边形的性质】 2 【题型2 利用平行四边形性质求角度值】 3 【题型3 利用平行四边形性质求长度值】 4 【题型4 利用平行四边形性质证明】 5 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 6 【题型6 平行四边形中折叠问题】 7 【题型7 数图形中平行四边形的个数】 7 【题型8 四边形的不稳定性】 8 【题型9 平行线间的距离】 9 【题型10 利用平行线间距离解决问题】 11 · 夯实核心概念：理解平行四边形的定义、表示方法与读法，掌握四边形不稳定性的原理及实际应用，明确平行四边形各部分名称，能准确识别平行四边形，区分其与普通四边形、特殊四边形的差异。 · 吃透核心性质：熟练掌握平行四边形边、角、对角线的三大核心性质，理解性质的推导过程，能灵活运用性质快速求解角度、线段长度，规范完成几何证明题，做到推理有据、步骤完整。 · 掌握特殊概念：理解平行线间距离的定义，牢记平行线间距离处处相等的核心性质，能准确计算平行线间距离，并用该性质解决面积、线段相等相关问题。 · 突破特色题型：学会有序数平行四边形个数，掌握平行四边形折叠题型的解题技巧，能处理性质综合应用、四边形不稳定性等特色题型，全面提升几何识图、计算与推理能力。 03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的定义 1. 定义 在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，若四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”，顶点字母需按顺时针或逆时针顺序书写。 3. 定义双重性 · 判定：两组对边分别平行的四边形→平行四边形； · 性质：平行四边形→两组对边分别平行。 知识点2：四边形的不稳定性 三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，即四边形的边长固定时，形状和内角可以发生改变，这一特性在生活中应用广泛，比如伸缩衣架、电动伸缩门、升降机、折叠座椅等。 平行四边形属于特殊的四边形，同样具备不稳定性，拉伸或挤压平行四边形，边长不变，但内角和形状会发生变化。 知识点3：平行四边形的核心性质 性质口诀：对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行，且两组对边分别相等。 数学语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，相邻的两个角（邻角）互补，即和为180°；平行四边形内角和为360°。 数学语言：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 3. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（重点提醒：对角线不一定相等，也不一定互相垂直）。 数学语言：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，不是轴对称图形。 5. 周长与面积：周长=2×（一组邻边长度之和）；面积=底×对应底边上的高（S=ah），等底等高的平行四边形面积相等。 知识点4：平行线间的距离 1. 定义 两条互相平行的直线中，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，这点与垂足之间的垂线段长度，叫做这两条平行线间的距离。 2. 核心性质 · 平行线间的距离处处相等，与垂线段的位置无关； · 夹在两条平行线之间的平行线段，长度一定相等； · 平行线间距离是垂线段长度，不是斜线段长度，计算时务必区分。 知识点5：平行四边形性质拓展结论 · 平行四边形的对角线将其分成4个三角形，这4个三角形的面积相等； · 过平行四边形对角线交点的任意一条直线，都能平分平行四边形的周长和面积； · 平行四边形被对角线分成的两个三角形，互为全等三角形。 04 题型•汇总 【题型1 平行四边形的性质】 解题思路： 基础概念辨析题，紧扣平行四边形边、角、对角线的核心性质，以及中心对称、不稳定性等特性，判断说法正误、填写性质相关内容，重点区分“对角线互相平分”和“对角线相等”，避免概念混淆。 解题口诀：辨性质，抓核心，对边等对角平，对角线只平分不相等 【典例1】．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 跟随训练1．如图，在中，下列性质一定正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形： ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是______． 【题型2 利用平行四边形性质求角度值】 解题思路： 核心利用“对角相等、邻角互补、内角和360°”三大角度性质，结合平行线性质、角平分线、三角形内角和等知识，已知一个角的度数，可快速求出其余三个角；涉及多个角的计算，优先找邻角互补关系，简化计算。 解题口诀：求角度，记互补，对角相等直接用，邻角和为一百八 【典例2】．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 跟随训练2．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【题型3 利用平行四边形性质求长度值】 解题思路： 高频计算题，核心利用“对边相等、对角线互相平分”的性质，结合周长公式、三角形三边关系求解边长、对角线长、线段长，常结合方程思想，已知周长和一边长，求另一边长；已知对角线一半长度，求对角线总长。 解题口诀：算长度，对边等，对角线平分各一半，周长两倍邻边和 【典例3】．如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，且，E、F分别是、的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C．8 D． 跟随训练2．如图，在中，，连接，点、分别在、上，连接、交于点，，．若，，则的长为______． 【题型4 利用平行四边形性质证明】 解题思路： 几何证明题，先根据平行四边形性质得出对边平行且相等、对角相等、对角线平分，再结合平行线性质、三角形全等、对顶角相等，推导线段相等、角相等、三角形全等，推理过程严谨，每一步标注依据，规范书写格式。 解题口诀：证相等，先找平四性质，再用全等推结论，步骤依据不能少 【典例4】．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 跟随训练1．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 跟随训练2．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 解题思路： 综合应用型题型，涵盖实际生活问题、周长面积综合、线段和差最值、角平分线结合平行四边形性质等，灵活转化问题，将实际场景转化为平行四边形模型，结合性质和方程思想求解，注意分类讨论特殊情况。 解题口诀：综合题，转模型，平四性质加方程，分类讨论不漏解 【典例5】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 跟随训练1．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 跟随训练2．进入世纪后，我国科技技术高速发展，很多行业领先于全球其他国家，物流快递行业就是其中之一，随着快递数量的暴增，某大型物流企业为提高效率，启用机器人分拣快递，在仓储中心有机器人的环形轨道，环形轨道是一个直角梯形（图①），且轨道和轨道在东西方向上，如图所示，，，，，，若机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人从点出发，搬运小件快递到点，然后返回点，运动速度是，假设两个机器人同时出发，机器人的运动时间是秒． (1)在机器人从点到点的运动过程中，若用字母t表示下列线段长，则________，________； (2)在机器人从点到点的运动过程中，当四边形是平行四边形时，求时间； (3)从运动开始到机器人回到点的过程中，是否会出现机器P刚好在机器人的正北方向的时候，若存在，请算出机器人的运动时间，若不存在，请说明理由． 【题型6 平行四边形中折叠问题】 解题思路： 折叠核心是折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，结合平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质，找到相等线段和相等角，构造直角三角形或方程，求解边长、角度、折痕长度，注意折叠后重合部分的边角关系。 解题口诀：折叠题，抓全等，对应边角都相等，结合平四找等腰 【典例6】．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 跟随训练1．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 跟随训练2．如图，图1共有5个平行四边形，图2共有11个平行四边形，图3共有19个平行四边形，照这样，图5共有________个平行四边形，图_______共有155个平行四边形． 【题型7 数图形中平行四边形的个数】 解题思路： 有序计数题型，避免重复或遗漏，按“单个小平行四边形→由2个小平行四边形组成的大平行四边形→由多个小平行四边形组成的大平行四边形”的顺序，分层计数，最后相加；横向和纵向分别计数，再相乘求和。 解题口诀：数个数，按顺序，先单后组分层数，不重复不遗漏 【典例7】．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 跟随训练1．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 跟随训练2．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 【题型8 四边形的不稳定性】 解题思路： 区分三角形稳定性和四边形不稳定性，稳定性是边长固定则形状固定，不稳定性是边长固定但形状可变，判断生活实例是否利用不稳定性，抓住“可伸缩、可变形、边长不变形状变”的特点，结合平行四边形不稳定性分析。 解题口诀：稳不稳，看形状，三角固定四边变，伸缩变形靠不稳 【典例8】．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 跟随训练1．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 跟随训练2．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【题型9 平行线间的距离】 解题思路： 紧扣定义，平行线间距离是垂线段长度，处处相等，结合平行四边形面积公式求解，面积=底×高，高即为平行线间距离，已知面积和底，可反推距离；已知距离和底，可求面积，区分垂线段和斜线段。 解题口诀：求距离，找垂线，处处相等记心间，面积反推最简便 【典例9】．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 跟随训练2．如图（1）点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、． (1)图（1）中面积相等的三角形有______对； (2)利用（1）中的结论解决下面两个问题： ①将图（1）中的、进行以下操作： 第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、 第二步，先将图（2）中的、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图（3）所示位置．若直线与相交于点，连接．求证：平分． ②如图（4），折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）． 【题型10 利用平行线间距离解决问题】 解题思路： 核心利用“平行线间距离处处相等，等底等高的平行四边形面积相等”，解决面积比较、线段相等、路径最短、不规则图形面积转化等问题，将不规则图形转化为等面积的规则平行四边形，简化计算。 解题口诀：用距离，比面积，等底等高面积等，转化化繁为最简 【典例10】．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 05 过关•检测 1．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 2．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 3．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【答案】 5．如图，在中，，，D为的中点，P是边上的一个动点，连接、，将沿直线折叠，得到，当以、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为_______． 6．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 7．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 8．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 9．如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 10．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 11．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 12．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 13．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 14．如图，E，F分别是的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点G，则的周长为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 15．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为__________． 16．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平行四边形及其性质 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 平行四边形的性质】 2 【题型2 利用平行四边形性质求角度值】 4 【题型3 利用平行四边形性质求长度值】 6 【题型4 利用平行四边形性质证明】 9 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 13 【题型6 平行四边形中折叠问题】 15 【题型7 数图形中平行四边形的个数】 17 【题型8 四边形的不稳定性】 18 【题型9 平行线间的距离】 20 【题型10 利用平行线间距离解决问题】 24 · 夯实核心概念：理解平行四边形的定义、表示方法与读法，掌握四边形不稳定性的原理及实际应用，明确平行四边形各部分名称，能准确识别平行四边形，区分其与普通四边形、特殊四边形的差异。 · 吃透核心性质：熟练掌握平行四边形边、角、对角线的三大核心性质，理解性质的推导过程，能灵活运用性质快速求解角度、线段长度，规范完成几何证明题，做到推理有据、步骤完整。 · 掌握特殊概念：理解平行线间距离的定义，牢记平行线间距离处处相等的核心性质，能准确计算平行线间距离，并用该性质解决面积、线段相等相关问题。 · 突破特色题型：学会有序数平行四边形个数，掌握平行四边形折叠题型的解题技巧，能处理性质综合应用、四边形不稳定性等特色题型，全面提升几何识图、计算与推理能力。 03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的定义 1. 定义 在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，若四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”，顶点字母需按顺时针或逆时针顺序书写。 3. 定义双重性 · 判定：两组对边分别平行的四边形→平行四边形； · 性质：平行四边形→两组对边分别平行。 知识点2：四边形的不稳定性 三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，即四边形的边长固定时，形状和内角可以发生改变，这一特性在生活中应用广泛，比如伸缩衣架、电动伸缩门、升降机、折叠座椅等。 平行四边形属于特殊的四边形，同样具备不稳定性，拉伸或挤压平行四边形，边长不变，但内角和形状会发生变化。 知识点3：平行四边形的核心性质 性质口诀：对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行，且两组对边分别相等。 数学语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，相邻的两个角（邻角）互补，即和为180°；平行四边形内角和为360°。 数学语言：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 3. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（重点提醒：对角线不一定相等，也不一定互相垂直）。 数学语言：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，不是轴对称图形。 5. 周长与面积：周长=2×（一组邻边长度之和）；面积=底×对应底边上的高（S=ah），等底等高的平行四边形面积相等。 知识点4：平行线间的距离 1. 定义 两条互相平行的直线中，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，这点与垂足之间的垂线段长度，叫做这两条平行线间的距离。 2. 核心性质 · 平行线间的距离处处相等，与垂线段的位置无关； · 夹在两条平行线之间的平行线段，长度一定相等； · 平行线间距离是垂线段长度，不是斜线段长度，计算时务必区分。 知识点5：平行四边形性质拓展结论 · 平行四边形的对角线将其分成4个三角形，这4个三角形的面积相等； · 过平行四边形对角线交点的任意一条直线，都能平分平行四边形的周长和面积； · 平行四边形被对角线分成的两个三角形，互为全等三角形。 04 题型•汇总 【题型1 平行四边形的性质】 解题思路： 基础概念辨析题，紧扣平行四边形边、角、对角线的核心性质，以及中心对称、不稳定性等特性，判断说法正误、填写性质相关内容，重点区分“对角线互相平分”和“对角线相等”，避免概念混淆。 解题口诀：辨性质，抓核心，对边等对角平，对角线只平分不相等 【典例1】．关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． 跟随训练1．如图，在中，下列性质一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平行四边形的性质解决问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．即平行四边形的平行且对边相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补． 首先根据平行四边形的性质得出相应结论，再逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴， ∴D正确，A，B，C错误． 故选：D． 跟随训练2．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形： ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】①平行四边形具有四边形的所有性质，正确； ②平行四边形不是轴对称图形，故原说法错误； ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，正确； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成个面积相等的小三角形，正确； 综上可知，说法正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【题型2 利用平行四边形性质求角度值】 解题思路： 核心利用“对角相等、邻角互补、内角和360°”三大角度性质，结合平行线性质、角平分线、三角形内角和等知识，已知一个角的度数，可快速求出其余三个角；涉及多个角的计算，优先找邻角互补关系，简化计算。 解题口诀：求角度，记互补，对角相等直接用，邻角和为一百八 【典例2】．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 跟随训练1．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】连接，根据平行四边形的性质可知经过点，且，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可知，，从而可知，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 经过点，且， ，， ， ，， ，， ， 在四边形中，， ． 跟随训练2．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，然后利用平行四边形对边平行的性质求出，从而求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 【题型3 利用平行四边形性质求长度值】 解题思路： 高频计算题，核心利用“对边相等、对角线互相平分”的性质，结合周长公式、三角形三边关系求解边长、对角线长、线段长，常结合方程思想，已知周长和一边长，求另一边长；已知对角线一半长度，求对角线总长。 解题口诀：算长度，对边等，对角线平分各一半，周长两倍邻边和 【典例3】．如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 跟随训练1．如图，在中，且，E、F分别是、的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，同理， ∵E、F分别是、的中点， ∴， ∴四边形的周长． 故选：A． 跟随训练2．如图，在中，，连接，点、分别在、上，连接、交于点，，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】在线段上截取，连接，作，垂足为，容易证明是等边三角形，则，．通过等量代换可得，从而证明，则，．结合题干容易计算出，再利用含的直角三角形的性质和勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在线段上截取，连接，作，垂足为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，解得， ∵， 又∵是等边三角形， ∴，， 在直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 在直角中，， ∵， ∴． 【题型4 利用平行四边形性质证明】 解题思路： 几何证明题，先根据平行四边形性质得出对边平行且相等、对角相等、对角线平分，再结合平行线性质、三角形全等、对顶角相等，推导线段相等、角相等、三角形全等，推理过程严谨，每一步标注依据，规范书写格式。 解题口诀：证相等，先找平四性质，再用全等推结论，步骤依据不能少 【典例4】．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 跟随训练1．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 跟随训练2．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 解题思路： 综合应用型题型，涵盖实际生活问题、周长面积综合、线段和差最值、角平分线结合平行四边形性质等，灵活转化问题，将实际场景转化为平行四边形模型，结合性质和方程思想求解，注意分类讨论特殊情况。 解题口诀：综合题，转模型，平四性质加方程，分类讨论不漏解 【典例5】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 跟随训练1．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 跟随训练2．进入世纪后，我国科技技术高速发展，很多行业领先于全球其他国家，物流快递行业就是其中之一，随着快递数量的暴增，某大型物流企业为提高效率，启用机器人分拣快递，在仓储中心有机器人的环形轨道，环形轨道是一个直角梯形（图①），且轨道和轨道在东西方向上，如图所示，，，，，，若机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人从点出发，搬运小件快递到点，然后返回点，运动速度是，假设两个机器人同时出发，机器人的运动时间是秒． (1)在机器人从点到点的运动过程中，若用字母t表示下列线段长，则________，________； (2)在机器人从点到点的运动过程中，当四边形是平行四边形时，求时间； (3)从运动开始到机器人回到点的过程中，是否会出现机器P刚好在机器人的正北方向的时候，若存在，请算出机器人的运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，机器刚好在机器人的正北方向的时候，的值为或 【分析】（）根据路程、速度、时间之间的数量关系即可解答； （）根据平行四边形的性质列方程即可解答； （）根据矩形的性质分①当点由到时；②当点返回到时即可解答． 【详解】（1）解：∵机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人的运动时间是秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当四边形是平行四边形时，， ∵，， ∴， 解得； （3）解：存在，理由如下， 当点在点的正北方向时，四边形是矩形， ①当点由到时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点返回到时，， ∵， ∴， 解得， 综上，机器刚好在机器人的正北方向的时候，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握矩形的性质及平行四边形的性质是解题的关键． 【题型6 平行四边形中折叠问题】 解题思路： 折叠核心是折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，结合平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质，找到相等线段和相等角，构造直角三角形或方程，求解边长、角度、折痕长度，注意折叠后重合部分的边角关系。 解题口诀：折叠题，抓全等，对应边角都相等，结合平四找等腰 【典例6】．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 跟随训练1．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 跟随训练2．如图，图1共有5个平行四边形，图2共有11个平行四边形，图3共有19个平行四边形，照这样，图5共有________个平行四边形，图_______共有155个平行四边形． 【答案】 41 11 【分析】本题考查图形类的规律探究，数形结合是解决本题的关键． 根据题意可推断出图n有个平行四边形，问题随之得解． 【详解】解：由题意得：图n有个平行四边形， 所以图5有个平行四边形． 设图n共有155个平行四边形, 则， ， （舍去）， 所以图11共有155个平行四边形． 故答案为：41；11． 【题型7 数图形中平行四边形的个数】 解题思路： 有序计数题型，避免重复或遗漏，按“单个小平行四边形→由2个小平行四边形组成的大平行四边形→由多个小平行四边形组成的大平行四边形”的顺序，分层计数，最后相加；横向和纵向分别计数，再相乘求和。 解题口诀：数个数，按顺序，先单后组分层数，不重复不遗漏 【典例7】．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的不稳定性． 平行四边形具有不稳定性，形状改变时，内角的大小发生变化，但外角和、边长和周长均不变． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为， ∴外角和不变； ∵变形时边长不变， ∴周长不变； ∵平行四边形的不稳定性源于角度的变化， ∴某些角的大小发生变化． 故选：D． 跟随训练1．2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 跟随训练2．妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 【题型8 四边形的不稳定性】 解题思路： 区分三角形稳定性和四边形不稳定性，稳定性是边长固定则形状固定，不稳定性是边长固定但形状可变，判断生活实例是否利用不稳定性，抓住“可伸缩、可变形、边长不变形状变”的特点，结合平行四边形不稳定性分析。 解题口诀：稳不稳，看形状，三角固定四边变，伸缩变形靠不稳 【典例8】．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 跟随训练1．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 跟随训练2．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 【题型9 平行线间的距离】 解题思路： 紧扣定义，平行线间距离是垂线段长度，处处相等，结合平行四边形面积公式求解，面积=底×高，高即为平行线间距离，已知面积和底，可反推距离；已知距离和底，可求面积，区分垂线段和斜线段。 解题口诀：求距离，找垂线，处处相等记心间，面积反推最简便 【典例9】．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 跟随训练1．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 【答案】 8 4 【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关键． 由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 跟随训练2．如图（1）点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、． (1)图（1）中面积相等的三角形有______对； (2)利用（1）中的结论解决下面两个问题： ①将图（1）中的、进行以下操作： 第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、 第二步，先将图（2）中的、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图（3）所示位置．若直线与相交于点，连接．求证：平分． ②如图（4），折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）． 【答案】(1)3 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可得出答案； （2）①过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论； ②连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴、间的距离相等， 设、间的距离为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故面积相等的三角形有和，和，和，共3对． （2）①证明：过点分别作于，于，如图：    根据题意可知，的面积的面积， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； ②解：步骤：连接，过点作的平行线交于点，则为所求的直路． 如图：    证明：∵， ∴， ∴，， ∴甲、乙的面积前后不发生改变． 【题型10 利用平行线间距离解决问题】 解题思路： 核心利用“平行线间距离处处相等，等底等高的平行四边形面积相等”，解决面积比较、线段相等、路径最短、不规则图形面积转化等问题，将不规则图形转化为等面积的规则平行四边形，简化计算。 解题口诀：用距离，比面积，等底等高面积等，转化化繁为最简 【典例10】．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 跟随训练1．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 跟随训练2．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 05 过关•检测 1．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 3．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 4．如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再结合平行线的性质以及角平分线的定义可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，D为的中点，P是边上的一个动点，连接、，将沿直线折叠，得到，当以、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，进而得到，再根据平行四边形性质，以及轴对称性质，分两种情况，当为边时，当为对角线时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， D为的中点， ， 沿直线折叠，得到， ， P是边上的一个动点，以、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形， 当为边时，； 当为对角线时， 由平行四边形对边相等得到， 由对称性质可知， ， ； 综上所述，线段的长为或． 6．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 【答案】6 【分析】运用翻折的性质可得，，，结合已知条件的周长为5，的周长为17，求得平行四边形的周长，从而得到，最后结合的周长为17，求得的长． 【详解】解：由折叠可得，，． ∵的周长为5，的周长为17， ∴， ∴，． ∴平行四边形的周长， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴． 7．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 8．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 【答案】7 【分析】连接、两点，过点作于点．根据平行四边形的性质得出，进而减去公共的的面积可得，同理，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、两点，过点作于点． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理， ∴． ∵，， ∴， 故阴影部分的面积． 故答案为：7． 9．如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 10．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 11．【问题发展】某数学兴趣小组查阅资料发现平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和，该性质被称为阿波罗尼奥斯定理． 【任务一】如图①，已知，求证：．下面是部分证明过程： 证明：如图①，分别过点作于点，交的延长线于点，易得，， 则，， 即 ． …… 请将证明过程补充完整； 【任务二】如图②，在中，是边上的中线，请你利用【任务一】的结论证明． 【答案】【任务一】：见解析；【任务二】：见解析 【分析】任务一：作适当辅助线，利用勾股定理补充证明即可； 任务二：延长至点，使得，连接，，构造平行四边形，由（1）的结论代入求值即可． 【详解】任务一： 解：补充证明过程如下： 原式 ， ． 任务二： 证明：如答图，延长至点，使得，连接，． 是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． 由（1），得， ， ， ． 12．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 13．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 14．如图，E，F分别是的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到四边形，交于点G，则的周长为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】先证明是等边三角形，再根据等边三角形的定义以及，得到三角形的周长． 【详解】解：∵，将四边形沿翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的周长为：． 15．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】延长交于，由平行四边形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质和勾股定理得，由折叠的性质，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质等；掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 16．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用折叠性质得角相等，结合平行四边形对边平行的性质，推出等腰三角形，从而证得线段相等； （2）利用平行四边形对角线平分、折叠的角度与边长不变性，推导出等腰直角三角形，进而求边长． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 根据折叠的性质，得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握利用折叠和平行四边形的性质推导角与边的关系，结合等腰直角三角形的性质计算边长是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $