专题11一次函数压轴专项训练(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题11一次函数压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 . 题型01.一次函数最大利润问题 题型02.一次函数分配方案问题 题型03.一次函数行程问题 题型04.一次函数梯度计价问题 题型05.一次函数几何动点问题 题型06.一次函数面积问题 题型07.一次函数几何存在性问题 题型08.一次函数勾股定理综合 题型09.一次函数将军饮马问题 题型10.一次函数折叠旋转问题 题型11.一次函数图象解读问题 题型12.一次函数参数问题 题型13.一次函数与方程不等式综合 题型14.一次函数与几何图形变换综合 题型15.一次函数规律探究 知识点01:核心定义：认准 "y=kx+b" 这个万能公式 一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0)的函数，x是自变量，y是因变量 ✅关键要求：k不能为 0（否则 y 变成常数，不是函数）、x的次数只能是1 正比例函数：b=0 时，y=kx（k≠0），是一次函数的"特殊款"图象必过坐标原点 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 知识点02:图象秘籍：一条直线，两点定形 基本形状：所有一次函数的图象都是一条直线， 因此画图象只需两步：① 取两点：优先取与 x 轴、y 轴的交点（x=0 求 y，y=0 求 x）② 连线：过两点画直线，就是一次函数的完整图象 正比例函数特殊点：图象是过原点 (0,0) 的直线，取(0,0)和(1,k) 两点最快画出 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:性质核心：k 和 b 的 "分工合作"，决定直线走向 一次函数的图象怎么动、过哪些象限，全由 k 和 b 决定，记准分工，一眼判断！ k>0：直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k<0：直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 b>0：直线与 y 轴交于正半轴（x=0 时，y=b>0） b<0：直线与 y 轴交于负半轴（x=0 时，y=b<0） b=0：直线过原点（就是正比例函数） 知识点04:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点05:必杀技：待定系数法求解析式（中考必考题） 设：设解析式为 y=kx+b 代：把已知点坐标代入，得到关于 k,b 的方程 / 方程组 解：解方程组，求出 k,b 写：回代，写出函数解析式 知识点06:二元一次方程组与一次函数图象的关系 知识点07:方程组解的情况与直线位置关系（必记） 方程组解的情况 两直线位置关系 斜率 k 与截距 b 关系 唯一解 相交 k1k2​ 无解 平行 k1=k2且 b1b2​ 无数组解 重合 k1=k2且 b1=b2​ 知识点08:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 . 题型01.一次函数最大利润问题 【典例】超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 【跟踪专练1】某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【跟踪专练2】当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． (1)求A，B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【跟踪专练3】某服装店经销两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利______元． (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件（两种都买），且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍，设此次购进A种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式，并求出的取值范围； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 题型02.一次函数分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【跟踪专练2】活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【跟踪专练3】综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： . A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 题型03.一次函数行程问题 【典例】如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【跟踪专练2】随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 【跟踪专练3】甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 题型04.一次函数梯度计价问题 【典例】某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪专练1】为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【跟踪专练2】某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【跟踪专练3】某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 题型05.一次函数几何动点问题 【典例】一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C、D分别是、的中点，P是上一动点．当周长最小时，点P的坐标为_____． 【跟踪专练1】如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到中点时，的面积为____． 【跟踪专练2】数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【跟踪专练3】如图，在中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动时间为x秒（点P不与端点A、B重合），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与y的图象有两个不同的交点，请直接写出m的取值范围． 题型06.一次函数面积问题 【典例】如图，矩形，，，，相交于点，以为坐标原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，分别与y轴、x轴交于点、，存在一动点，则的面积为______． 【跟踪专练1】如图，是直线上一动点，若点、的坐标分别为、，则的面积为______． 【跟踪专练2】如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 题型07.一次函数几何存在性问题 【典例】如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【跟踪专练1】我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是______． 【跟踪专练2】模型的建立与应用． (1)【建立模型】如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． (2)【模型应用】如图2，直线：与轴、轴分别交于，两点，经过点作．点在第二象限且在直线上，满足，求直线的函数表达式． (3)【模型拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、． (1)点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 题型08.一次函数勾股定理综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为___________． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型09.一次函数将军饮马问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为__________． 【跟踪专练1】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为____________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，O是原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且a，b满足． (1)直接写出B点坐标为_____； (2)如图1，若点M沿线段从C向B以每秒2个单位长度的速度运动至B，同时动点N沿线段从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接．当t为何值时，四边形是菱形？ (3)如图2，将矩形沿着折叠，点O的对应点D恰好落在边上，连接，求的值； (4)如图3，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，直接写出的最小值为_____． 【跟踪专练3】.如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． (1)顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； (2)如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； (3)如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 题型10.一次函数折叠旋转问题 【典例】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【跟踪专练1】如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【跟踪专练3】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 题型11.一次函数图象解读问题 【典例】如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【跟踪专练1】如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______； (2)求． (3)将绕点B顺时针旋转得到，求的面积． 题型12.一次函数参数问题 【典例】一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【跟踪专练1】已知点在直线（a，b为常数，且）上，则的值为__________． 【跟踪专练2】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【跟踪专练4】一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 题型13.一次函数与方程不等式综合 【典例】已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【跟踪专练1】一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【跟踪专练3】如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 题型14.一次函数与几何图形变换综合 【典例】如图，是直线上的动点，且点在第一象限，过点作轴，垂足为．若点在轴上，且为等腰直角三角形，则点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 题型15.一次函数规律探究 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【跟踪专练1】如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 . 题型01.一次函数最大利润问题 题型02.一次函数分配方案问题 题型03.一次函数行程问题 题型04.一次函数梯度计价问题 题型05.一次函数几何动点问题 题型06.一次函数面积问题 题型07.一次函数几何存在性问题 题型08.一次函数勾股定理综合 题型09.一次函数将军饮马问题 题型10.一次函数折叠旋转问题 题型11.一次函数图象解读问题 题型12.一次函数参数问题 题型13.一次函数与方程不等式综合 题型14.一次函数与几何图形变换综合 题型15.一次函数规律探究 知识点01:核心定义：认准 "y=kx+b" 这个万能公式 一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0)的函数，x是自变量，y是因变量 ✅关键要求：k不能为 0（否则 y 变成常数，不是函数）、x的次数只能是1 正比例函数：b=0 时，y=kx（k≠0），是一次函数的"特殊款"图象必过坐标原点 一句话区分：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:图象秘籍：一条直线，两点定形 基本形状：所有一次函数的图象都是一条直线， 因此画图象只需两步：① 取两点：优先取与 x 轴、y 轴的交点（x=0 求 y，y=0 求 x）② 连线：过两点画直线，就是一次函数的完整图象 正比例函数特殊点：图象是过原点 (0,0) 的直线，取(0,0)和(1,k) 两点最快画出 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:性质核心：k 和 b 的 "分工合作"，决定直线走向 一次函数的图象怎么动、过哪些象限，全由 k 和 b 决定，记准分工，一眼判断！ k 管增减，定倾斜 k>0：直线从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k<0：直线从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 b 管位置，定截距 b>0：直线与 y 轴交于正半轴（x=0 时，y=b>0） b<0：直线与 y 轴交于负半轴（x=0 时，y=b<0） b=0：直线过原点（就是正比例函数） 知识点04:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点05:必杀技：待定系数法求解析式（中考必考题） 设：设解析式为 y=kx+b 代：把已知点坐标代入，得到关于 k,b 的方程 / 方程组 解：解方程组，求出 k,b 写：回代，写出函数解析式 知识点06:二元一次方程组与一次函数图象的关系 知识点07:方程组解的情况与直线位置关系（必记） 方程组解的情况 两直线位置关系 斜率 k 与截距 b 关系 唯一解 相交 k1k2​ 无解 平行 k1=k2且 b1b2​ 无数组解 重合 k1=k2且 b1=b2​ 知识点08:实际应用（核心建模） 1. 常见类型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，分段函数处理变速 / 不同路段 工程问题：工作量 = 效率 × 时间，结合完成进度建模 利润问题：利润 =（售价−成本）× 销量，分析单价与销量的函数关系 方案选择：对比不同函数解析式，通过交点或取值范围选择最优方案 2. 解题步骤 (1)审题：明确变量（自变量 x、因变量 y），找出等量关系，确定实际意义。 (2)建模：设函数解析式为 y=kx+b(k0)，用待定系数法求 k、b（代入已知点坐标，解方程组）。 (3)求解：代入自变量求函数值，或已知函数值求自变量；注意自变量取值范围。 (4)检验：结果是否符合实际意义（如时间、路程非负）。 . 题型01.一次函数最大利润问题 【典例】超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式和一次函数在实际问题中的应用，关键在于根据促销活动分情况讨论总费用的表达式，同时结合玻璃罐数量为正整数的条件确定变量的取值范围． 【详解】解：对于选项A：根据总容量为千克，得购买乙罐的数量为，且为正整数，A选项成立，不符合题意； 对于选项B：当时，，B选项成立，不符合题意； 对于选项C：分两种情况讨论总费用： ①当时，甲罐无优惠，总费用； ②当时，甲罐享受立减元优惠，总费用； 因此C选项错误，符合题意； 对于选项D：由且为正整数，为非负整数，可得的可能取值为0、4、8： 当时，元； 当时，元； 当时，元； 故购买玻璃罐的最少费用为元，D选项成立，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 【跟踪专练2】当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． (1)求A，B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 (2)购进A配件100件，B配件200件，能让本次销售的利润达到最大，且最大利润为11000元 【分析】（1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进40件配件和100件配件需支出成本16000元；购进30件配件和30件配件需支出成本9300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的2倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【详解】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； （2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件200件． 【跟踪专练3】某服装店经销两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利______元． (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件（两种都买），且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍，设此次购进A种T恤衫件，两种T恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式，并求出的取值范围； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880 (2)①②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）设购进A种T恤x件，B种T恤y件，根据两种T恤的数量和总购进费用列出方程组，解得两种T的数量，再计算出利润即可； （2）①此次购进A种T恤m件，则购进B种T恤件，根据题意可知，再根据每种T恤现在的进件列出利润的关系式即可； ②根据①的结论，结合一次函数的性质，求得第二次的获利，再和第一次的获利比较即可解答． 【详解】（1）解：设购进A种T恤x件，B种T恤y件，由题意列二元一次方程得， ， 解得， ∴（元）， 所以，全部售完获利2880元； （2）解：①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫件， 根据题意得， 解得， ∴， ②由①可知，， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，（元）， 又， 所以，服装店第二次获利不能超过第一次获利． 题型02.一次函数分配方案问题 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【跟踪专练1】春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【跟踪专练2】活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 【跟踪专练3】综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： . A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【答案】(1)图见解析 (2)，选择公司最省钱；，选择公司一样省钱，，选择公司最省钱； (3)见解析 【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象，进行说明即可； （3）分2种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 画图如下： （2）解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； （3）解：由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 题型03.一次函数行程问题 【典例】如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【详解】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【详解】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题： (1)小智提速后的速度为___________； (2)___________； (3)求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？ 【答案】(1) (2) (3)，秒 【分析】（1）先确定小智出发时间和提速前的路程、时间，计算提速前速度，再得提速后速度； （2）结合小智提速后的路程计算到达时间； （3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，计算时间差． 【详解】（1）解：小智从开始出发，到时走了， 此阶段时间为，则提速前速度为， 提速后速度是原来的倍， 所以提速后速度为； （2）小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即， 提速后速度为， 所以提速后行驶时间为；   小智从出发，先花走，再花走， 总时间为，即小智到达时间为， 此时； （3）由上述计算，小聪速度为， 且从开始行走， 所以与的函数表达式为； 小聪要走到， 令，即，小聪到达时间为， 解得， 小智到达时间为， 所以小智比小聪提前的时间为． 【跟踪专练3】甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 题型04.一次函数梯度计价问题 【典例】某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【详解】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 【跟踪专练1】为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 【跟踪专练2】某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 【跟踪专练3】某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【答案】(1) (2)外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可； （2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 即函数关系式为（）； （2）解：当时，（元） 答：外卖小哥5月份工资总额为6500元． 题型05.一次函数几何动点问题 【典例】一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C、D分别是、的中点，P是上一动点．当周长最小时，点P的坐标为_____． 【答案】 【分析】连接，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当点在点位置时，周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出其与轴的交点即可． 【详解】解：如图，连接，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ， 当点在点位置时，周长最小， 点，，点C、D分别是、的中点， ，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点P的坐标为． 【跟踪专练1】如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到中点时，的面积为____． 【答案】7 【分析】首先结合图形和函数图象判断出和，进而可得的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入t的值计算出S即可． 【详解】解：根据题意得：四边形是梯形， 由，可知, 当点P从C运动到D处需要2秒，则，面积为4，即, 则， 根据图象可得当点P运动到B点时，面积为，即, 则，则运动时间为5秒， ∴， 设当时，函数解析式为， ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 当P运动到中点时时间， 则． 【跟踪专练2】数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 【跟踪专练3】如图，在中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动时间为x秒（点P不与端点A、B重合），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与y的图象有两个不同的交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求出，再根据等积法求出，再分当点在上运动时，当点在上运动时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，并写出对应的函数性质即可； （3）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 当点在上，即时，， ， 即； 当点在上，即时，， ， ，即； 综上所述，； （2）解：如图，即为所求， 该函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当时，， ∴由图象可知，直线与y的图象有两个不同的交点，m的取值范围为． 题型06.一次函数面积问题 【典例】如图，矩形，，，，相交于点，以为坐标原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，分别与y轴、x轴交于点、，存在一动点，则的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查的一次函数与几何综合，矩形的性质，平行线之间的距离相等．由，可得点一定在直线上，由，，可得，，则直线的解析式为，所以点所在的直线与直线平行，由平行线之间的距离处处相等，可得点到直线的距离为定值，则的面积也为定值，不妨设点，即可求出的面积． 【详解】解：，， 点一定在直线上，即点一定在直线上． 矩形，，，，相交于点， 点为的中点，点为的中点． ，． 直线的解析式为． 点所在的直线与直线平行． 平行线之间的距离处处相等， 点到直线的距离为定值． 的面积为定值． 不妨设点， ． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，是直线上一动点，若点、的坐标分别为、，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等，掌握转化思想是解题的关键，由可得直线，所以，进而可得． 【详解】解：设直线， 将代入得： ， ， ， ， ， 连接， ． 【跟踪专练2】如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①D②5 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）①A、假设点P是原点，则，求得，得到点P不可能是原点；故不符合题意；B、根据勾股定理得到，根据二次函数的性质得到有最小值，故不符合题意；C、根据题意列不等式得到点P不可能出现在第三象限，故不符合题意；D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②由可得点在直线上，因此点P所在的直线与直线平行，根据平行线间距离处处线段可得，的面积不变．设直线与x轴的交点为C，求出的面积即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当在轴上时， ∴， ∴， ∴P点坐标为； （2）解：①A、假设点是原点，则， ∴ ∴点P不可能是原点；故不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴有最小值， ∴有最小值，故不符合题意； C、假设点P可能出现在第三象限，则， ∴ ∴， ∴点P不可能出现在第三象限，故不符合题意； D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②的面积不变，为5， ∵， ∴点在直线上， ∵直线的解析式为， ∴直线与直线平行， 根据平行线间距离处处相等可得，的面积不变． 设直线与x轴的交点为C，则 令，则，解得， ∴． 对于函数，令，则， ∴， 令，则，解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴的面积不变，为5； （3）解：∵， ∴点C在直线上运动， 过点O作于点H，则， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的另一个解析式为， 联立方程组得或， 解得，， ∴点C的坐标为或． 题型07.一次函数几何存在性问题 【典例】如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 【跟踪专练1】我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据题意分如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点，如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点，分别通过勾股定理，求解析式，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为“和谐四边形”， ∴，， 如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴此时点横坐标为， 如图，当在上时， 过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点， 由上可得：，，，， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， ，解得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴此时点横坐标为， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练2】模型的建立与应用． (1)【建立模型】如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． (2)【模型应用】如图2，直线：与轴、轴分别交于，两点，经过点作．点在第二象限且在直线上，满足，求直线的函数表达式． (3)【模型拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用证明即可； （2）求出点，，可得，，过点作轴于点．同理可得，可得点，再利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ； （2）解：对于， 当时，， 当时，， ∴， 点，， ，， 如图1，过点作轴于点． ，， 由（1），同理可得， ，， 点， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ， 直线的函数表达式为． （3）解：如图2，当时，过点作轴于点，过点作交的延长线于点 点， ，， ，，，， 由（1），同理可得， ，， 点的坐标为； 如图2，当时． ，， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【跟踪专练3】如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、． (1)点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能，P点坐标分别为或或 【分析】（1）设点C的坐标为，代入中，得，即求出点C的坐标；设点B的坐标为，同法求得，得出点B坐标； （2）过点D作轴于点，由轴及轴对称可推出，从而，运用勾股定理求得长度，进一步求得，于是得点M的坐标，运用待定系数求得直线l的解析式； （3）可以形成平行四边形．可求点，待定系数法确定直线的解析式为，设点， ，分情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时，当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分、四个顶点坐标建立方程组求解． 【详解】（1）解：如图，设点C的坐标为， 代入中， 解得， ∴ 设点B的坐标为，代入中， 解得， ∴； （2）解：如图，过点D作轴于点， 在中，， ∴，    ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线l的解析式为，则 ， 解得， ∴直线l的解析式为． （3）解：可以形成平行四边形． 如图，， ∴点， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为 设点， ，分情况讨论： ①当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴点．    ②当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：,   ， ∴．    ③，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴．      综上，点P的坐标为或或． 题型08.一次函数勾股定理综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理以及逆定理，垂线段最短等知识点． 先确定直线经过定点，记为点，过点作，垂足为点，由垂线段最短可得当点重合时，点B到直线的距离最大，可得此时，然后求出直线的函数表达式，即可求解点的坐标． 【详解】解：对于直线，当，， ∴， ， 当时，， ∴直线经过定点，记为点， 过点作，垂足为点， ∵， ∴当点重合时，点B到直线的距离最大，如图： 记直线与轴交点，连接， 对于直线，当，， 解得， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴设直线为， 代入，则， 解得， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴此时， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理．以为边作等腰直角三角形，证明，得到，证明为直角三角形，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，以为边作等腰直角三角形， 则，，，， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，则，令，则， 即，，即， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，分当点P在线段上时，当点P在点B左侧时，当点P在点C右侧，分别进行讨论，利用面积关系列式求解； （3）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答； 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：设， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点B左侧时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点C右侧时，不存在； 综上，或； （3）解：如图，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，直线的解析式为 (2)点的坐标为，，， 【分析】（1）先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，把点坐标代入直线的函数解析式求出的值； （2）根据题意分析出以，，为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论；利用勾股定理得出对应方程，求出点的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点的坐标． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解． 题型09.一次函数将军饮马问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、勾股定理，三角形面积的求法和三点共线及最值，掌握相关知识是解题的关键． 根据直线先确定和的长，证明四边形是矩形，得 再证明四边形是平行四边形，则在 中，是定值，所以只要的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点， 当时，，当时，，则，， ∵C是的中点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 要使的值最小，只需C、H、Q三点共线即可， ∵点在的延长线上，且， 又∵点， 根据勾股定理可得 此时，， 即的最小值为 故答案为：． 【跟踪专练1】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 【详解】解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，O是原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且a，b满足． (1)直接写出B点坐标为_____； (2)如图1，若点M沿线段从C向B以每秒2个单位长度的速度运动至B，同时动点N沿线段从A向O以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒，连接．当t为何值时，四边形是菱形？ (3)如图2，将矩形沿着折叠，点O的对应点D恰好落在边上，连接，求的值； (4)如图3，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，直接写出的最小值为_____． 【答案】(1) (2)时，四边形是菱形 (3) (4)的最小值为 【分析】（1）利用非负数的性质得出，的值，即可得出B点的坐标； （2）四边形是菱形，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （3）在中利用勾股定理即可求出、的长度，设，则，求得，求出四边形的面积，由于四边形的对角线相互垂直，故其面积又可表示为对角线乘积的一半，可得答案； （4）作点关于的对称点，作交于，交于，根据垂线段最短，此时，有最小值，最小值为，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形，点B的坐标为， ∴，， ∴ 四边形是菱形， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 当时，四边形是菱形； （3）解：如图，设与相交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得.， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， ∴， ∴． （4）解：作点关于的对称点，作交于，交于，根据垂线段最短，此时，有最小值，最小值为的长， ，， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ， ； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，即点D为的中点， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】.如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． (1)顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； (2)如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； (3)如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 【答案】(1)； (2)直线解析式为：或． (3)的最小值为． 【分析】（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出点的坐标，根据平行四边形的性质，求出点的坐标，即可； （2）根据点在直线上，求得；根据点在轴上，设点，求出点；根据点在直线上，设点，求出点，根据题意，求出，，，根据直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形，分类讨论：当，，解出，即可； （3）将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，得到，推出，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，根据中点坐标公式，求出点的坐标，过点作的延长线于点，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴点， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴点的横坐标为： ∴点； 故答案为：； （2）解：∵点在直线 ∴， ∴直线解析式为：； ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∴， ∴，； ∵点在直线上， ∴设点， ∴， ∴； ∵点，点，， ∴，，， 直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形， ∴，， ∴当， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； 当，， 解得：， ∴直线解析式为：； 综上所述：直线解析式为：或． （3）解：将点向右平移两个单位长度，得到点，连接， ∴点，， ∵，点，在轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵点，点， ∴点， 过点作的延长线于点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、分式方程、一次函数的解析式、梯形的面积公式、平移的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 题型10.一次函数折叠旋转问题 【典例】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 【跟踪专练2】如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【跟踪专练3】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 题型11.一次函数图象解读问题 【典例】如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【分析】由题意得到的中点为平行四边形的对角线的交点，求出交点坐标，再根据直线将的面积分成相等的两部分，得到直线经过点，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴的中点为平行四边形的对角线的交点， ∵， ∴平行四边形的对角线的交点坐标为， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形定义，由直线可得，当时，；当时，；所以，，由勾股定理得，然后分如图，当时，如图，当或时进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【跟踪专练2】1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出三条中线的交点点的坐标，再根据线段垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出三角形三边的垂直平分线的交点，再运用待定系数法即可求解； 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点的坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：， 则该三角形的欧拉线方程为， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点和点W． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为；若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______； (2)求． (3)将绕点B顺时针旋转得到，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由平移的性质可求点B坐标，由题意可得直线l的解析式，即可求点C，点D坐标； （2）由三角形面积公式可求解； （3）求出，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：∵点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B， ∴点， ∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． ∴直线l的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴点，点； （2）解：如图，连接，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴绕点B顺时针旋转得到，则，， 连接，过点作于点，则， 所以，的面积． 题型12.一次函数参数问题 【典例】一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【答案】或 【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可． 【详解】解：当时，一次函数中随的增大而增大， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为； 当时，一次函数中随的增大而减小， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为． 【跟踪专练1】已知点在直线（a，b为常数，且）上，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和求代数式的值，能求出是解此题的关键． 将点坐标代入直线方程得到与的关系式，然后代入所求表达式进行化简计算． 【详解】解：∵点在直线 上， ，即． 代入得： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解本题的关键在掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 首先计算出当点在直线上时m的值，再计算出当点在直线上时m的值，点M在两条平行直线之间，即点M的纵坐标介于两条直线在相同横坐标处的纵坐标之间，即可得答案． 【详解】解：点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 当点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 又∵点在两条直线之间，且两条直线平行， ∴， 故选：B． 【跟踪专练4】一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 题型13.一次函数与方程不等式综合 【典例】已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【分析】两个一次函数图象交点的横纵坐标就是对应二元一次方程组的解，根据交点横坐标求出纵坐标即可得到方程组的解． 【详解】解：已知交点横坐标为， 将代入，得， 两条直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为． 【跟踪专练1】一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与方程组的关系、一次函数的增减性、绝对值方程的求解，掌握函数交点与方程组解的对应关系、一次函数增减性对函数值的影响是解题的关键． 根据交点坐标可求的值，判断函数单调性；通过方程组解和函数差值分析结论． 【详解】解：∵两图象交于点 ∴代入，得， ∴ ∴． ①方程组等价于，解为交点， ∴，正确； ②∵，斜率， ∴y随x增大而减小， ∴对于任意两点，若则， ∴，正确； ③， 若且， 则， ∴， 即或， ∴或（）， ∴不一定为，错误； ④∵且，代入点到，得， ∴， ∵， ∴， ， 当时，， ∵， ∴当时，，即，正确． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 【跟踪专练3】如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________； (2)结合图形直接写出的解集为_________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型14.一次函数与几何图形变换综合 【典例】如图，是直线上的动点，且点在第一象限，过点作轴，垂足为．若点在轴上，且为等腰直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】根据等腰直角三角形的直角顶点位置进行分类讨论，结合点在直线上且在第一象限的条件，分情况求解． 【详解】解：设点的坐标为． ①当或为直角时，点的横、纵坐标相等，即解得此时点的纵坐标等于点的纵坐标或点的纵坐标，即点的坐标为或； ②当为直角时，点的横坐标等于纵坐标的一半，即解得此时点的纵坐标为点的纵坐标的一半，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了知识点一次函数、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想，解题关键是根据等腰直角三角形直角顶点的不同位置进行分类，避免漏解． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)此时点A不在直线l上，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合正方形的性质可得点B、A坐标； （2）把点A的横坐标代入解析式得出y的值，即可求解； （3）设直线l的解析式为，分别求出直线l经过点D时，直线l经过点A时，t的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵点O为中点， ∴， ∴点； （2）解：此时点A不在直线l上，理由如下： 当时，， ∴此时点A不在直线l上； （3）解：∵点， ∴可设直线l的解析式为， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， ∴当直线l与边有公共点时，t的取值范围是． 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出，，由题意求出，求出直线的解析式为，设，分点在延长线上，点在线段上和点在延长线上三种情况讨论，利用三角形面积差建立方程求解即可； （3）设，，分以为对角线的四边形是菱形，以为对角线的四边形是菱形，以为对角线的四边形是菱形，三种情况，利用菱形的性质建立方程（组）求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ， ∵， ， ∵，即， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设， 当点在延长线上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在线段上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在延长线上时，如图， 则，即， 故，不存在此种情况； 综上，点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 设，， 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或， 当时，则，即； 当时，则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且， 则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或（与点A重合，舍去）， 则，即； 综上，点的坐标为或或或． 题型15.一次函数规律探究 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 【跟踪专练2】正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $