2026年浙江数学中考预测专项突破专题03 统计和概率【三轮冲刺】（浙江专用）

**基本信息** 聚焦浙江中考统计与概率高频考点，以真题为载体构建"概念理解-图表应用-数据计算-概率模型"的递进式训练体系，强化数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计图表|12题|扇形/条形图综合、频数分布|从数据收集（抽样调查）到图表转换，培养数学眼光| |数据分析|15题|平均数/众数/方差计算与决策|围绕集中趋势与波动程度，构建数据分析框架| |概率计算|18题|公式/列表/树状图求概率|从简单随机事件到复杂情境，发展随机观念|

2026年浙江数学中考预测专项突破 专题03 统计和概率（浙江专用） 2025年浙江中考数学真题统计和概率分析（注意：本专辑只总结浙江中考常考题型） ❆选择题第8道本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，分值3分，难度：中等偏下； ❆填空题第14道：本题主要考查的是概率，此类题型主要考查以下三个方向用概率公式求概率、列表法和树状图求概率、用频率估算概率，分值3分，难度：中等偏下； ❆解答题第20道：本题主要考查的是统计综合应用，数据统计量（众数、中位数）求解、样本平均数估计总体总量，分值8分，难度：中等； 1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比 【答案】D 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【详解】解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 2．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 3．（2025·浙江·中考真题）2025年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 (1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． (2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 【答案】(1)众数为，中位数为 (2)全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体的知识，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：， ∵出现了次，且次数最多， ∴众数为， 共7个数，第个数据为， ∴中位数为； （2）解：10个班级获奖人数平均数为：， ∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人）， 答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人． 考点一 数据的收集与整理 题型一：全面调查与抽样调查（高频考题） 1．（2025·浙江·二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C．调查黄河的水质情况 D．了解某市中学生课外阅读的情况 【答案】B 【分析】本题考查了普查，是否适合选择普查方式要根据所考查的对象的特征灵活选用，熟练掌握普查是解题的关键．根据普查的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A. 检测某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适合采用普查方式，本选项符合题意； C. 调查黄河的水质情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意； D. 了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·一模）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（    ） A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、不确定事件，不可能事件，如果调查对象广，耗时多，应选择抽样调查；再结合随机抽一个学生，其看过《哪吒》是随机事件，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，故该选项不符合题意； B、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，不可以只对学生统计，故该选项不符合题意； C、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，故该选项符合题意； D、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·浙江台州·三模）下列说法正确的是（    ）． A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法； B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨； C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上； D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件． 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件、概率公式．根据概率的意义、全面调查与抽样调查的定义、随机事件的定义进行解题即可． 【详解】解：A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查方法，故该项不正确，不符合题意； B、天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有的概率下雨，故该项不正确，不符合题意； C、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币不一定正面朝上，故该项不正确，不符合题意； D、“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故该项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·浙江舟山·三模）下面调查中适合用抽样调查的是 （   ） A．旅客上飞机前的安检 B．工厂生产一批灯管的质量 C．长征六号火箭发射前检查零件 D．学校招聘老师，对应聘老师们面试 【答案】B 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：对于选项A，上飞机前对旅客的安检，适合全面调查，故选项不符合题意； 对于选项B，调查一批灯管的质量，适合抽样调查，故选项符合题意； 对于选项C，长征六号火箭发射前检查零件，适合全面调查，故选项不符合题意； 对于选项D，学校招聘教师，对应聘人员的面试，适合全面调查，故选项不符合题意； 故选：B． 5．（2025·浙江温州·一模）下列调查所采用的调查方式，不合适的是（    ） A．了解黄河的水质，采用抽样调查 B．了解全省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 C．检测天问一号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查 D．了解某班学生视力，采用全面调查 【答案】C 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解黄河的水质，适合采用抽样调查，此选项不符合题意； B、了解全省中学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，此选项不符合题意； C、检测天问一号火星探测器的零部件质量，适合采用全面调查，此选项符合题意； D、了解某班学生视力，适合采用全面调查，此选项不符合题意； 故选：C． 题型二：求扇形统计图中某一项（高频考题） 1．（2026·浙江·模拟预测）政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能．某地统计了1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图． 则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为（　　） A．5家 B．4家 C．3家 D．2家 【答案】A 【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图的综合运用．利用3月份新增人工智能项目的企业数量及其占比求得1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，再减去2-5月各月新增人工智能项目的企业数量，即可求解． 【详解】解：， ， ∴该地1月份新增人工智能项目的企业数量为5家． 故选：A． 2．（2025·浙江温州·二模）对某班同学课外活动最喜欢的项目进行问卷调查（每人选一项），绘制成如图所示的统计图．已知参与问卷的总人数为60人，则选“踢毽子”的人数为（    ） A．9人 B．12人 C．15人 D．24人 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形统计图的某项数目，根据参与问卷的总人数为60人，“踢毽子”的占比为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵参与问卷的总人数为60人，“踢毽子”的占比为， ∴（人） 故选：A． 3．（2025·浙江温州·二模）某地区对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查，并绘制成如图所示统计图，已知选择游泳的有120人，那么选择篮球的有（   ） A．60人 B．120人 C．180人 D．240人 【答案】C 【分析】本题主要考查扇形图求总人数，求某项人数的知识，掌握扇形图的特点，求总人数的计算方法是解题的关键． 根据选择游泳的占，有120人，求出总调查人数，然后乘以选择篮球百分比，即可求出答案． 【详解】解：（人）， （人） 故选：C． 4．（2025·浙江衢州·一模）国际上把及以上作为正常视力，下图是某校学生的视力情况统计图，已知该校视力正常的学生有人，则未达到正常视力的学生人数为______． 【答案】 【分析】解答本题的关键是明确题意，由扇形统计图某项数目所占百分比求总量，再用总量求某项数目，利用数形结合的思想解答． 先利用500人的正常视力学生在所有学生中所占的25%的比例，从而得出所有学生有2000人，让所有学生人数减去正常视力学生人数，从而得出未达到正常视力的学生人数． 【详解】解：由题可得及以上作为正常视力名学生占所有人的， 全校共计人数为人， 故未达到正常视力的学生人数为人 ． 题型三：扇形统计图综合求解（高频考题） 1．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（   ） A．本次抽样调查的样本容量是750 B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人 【答案】D 【分析】根据条形统计图和扇形统计图中选择自驾出行的人数和所占比例，得到本次调查的样本容量，据此逐项计算即可． 【详解】解：本次抽样调查的样本容量是人，则A正确； 抽样中选择公共交通出行的人数为人，则B正确； “其他”所对应的圆心角是，则C正确； “十一”期间到杭州观光的游客选择自驾出行的人数为：万人，则D错误． 2．（2026·浙江·一模）某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（   ）    A．该校八年级学生有1200人 B．80-89分段的人数是300人 C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108° D．59分及以下的人数最少 【答案】C 【分析】本题综合考查了扇形统计图和条形统计图，属于中考常考的题型，关键是读懂统计图，并获取有用的信息，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、条形统计图中C所占的人数为300人，扇形统计图中C所占的百分比为，故该校八年级的总人数为：（人），故此选项错误； B、由扇形统计图中D所占的百分比为，D所对应的人数为（人），故此选项错误； C、，即“70-79分”部分所对应的圆心角的度数为 ，故此选项正确； D、B所占的百分比为，则E所占的百分比为：，即E所占的百分比最小，从而“90-100分”部分所占的人数最少，故此选项错误． 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·二模）对若干名青少年进行最喜爱的运动项目的问卷调查，得到如图的统计图，根据图形可知最喜爱游泳的人数占的百分比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图，熟知扇形统计图的基本知识是关键； 先求出最喜爱游泳的人数的扇形圆心角，再除以360度可得答案. 【详解】解：最喜爱游泳的人数的扇形圆心角； 所以最喜爱游泳的人数占的百分比是； 故选：C 题型四：扇形统计图与条形统计图综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）为更好地迎接体育中考，某校对九年级部分学生进行了跳跃类立定跳远项目模拟测试，成绩（单位：）分为A，B，C，D四个等级（每组数据包含前一个，不包含后一个），随机抽取若干名学生的测试成绩，绘制成如下统计图： 等次 男生 女生 A：优秀（满分） 及以上 及以上 B：良好 C：及格 D：不及格 以下 以下 (1)本次一共抽取了多少名学生的测试成绩？ (2)该校九年级共有700名学生，男生与女生人数比为，请估计该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男女生人数． 【答案】(1)本次一共抽取了100名学生的测试成绩 (2)男生75人，女生100人 【分析】（1）用男女不及格总人数除以不及格的百分比，即可解答； （2）先分别求出男、女的优秀率，再分别乘以男、女的总人数即可解答． 【详解】（1）解：（名）， 答：本次一共抽取了100名学生的测试成绩． （2）解：男生优秀人数（人） 女生优秀人数（人）． 答：该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男生75人，女生100人． 2．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 【答案】(1)50，10，22 (2)C (3)116 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台）， ∴，； （2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为， ∴这组数据的中位数落在C组； （3）解：由题意得： （台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 3．（2026·浙江台州·一模）某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试．现将测试成绩（单位：分）按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩）三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全七年级学生测试成绩条形统计图． (2)求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． (3)已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 【答案】(1)条形统计图见解析； (2)； (3)名． 【分析】（）先求出七年级级人数为人，然后补全统计图即可； （）根据八年级等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数； （）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：七年级级人数为：（人）， 补全七年级学生测试成绩条形统计图如图， （2）解：， 答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为； （3）解：由样本估计总体得，（人）， 答：估计全校七年级和八年级总共有名学生测试成绩能够达到级． 4．（2026·浙江杭州·一模）为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频），B（玩游戏），C（看课外书），D（运动），E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式． (1)本次调查的样本容量是_________，请补全条形统计图； (2)已知本校学生有1600人，请估计看视频和玩游戏为主的学生有多少人？并提出合理引导规划建议一条． 【答案】(1)200；补全图形见解析 (2)估计看视频和玩游戏为主的学生有776人；学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏时间，增加运动、阅读等有益活动． 【分析】（1）用类人数除以所占百分比，可得出本次调查的样本容量；分别求出和类的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以样本中看视频和玩游戏为主的百分比可得结论，根据得出的结论提出一条合理引导规划建议即可． 【详解】（1）解：（人）， 所以，本次调查的样本容量是200； 的人数为（人）； 类的人数为（人）； 补全条形统计图如下： （2）解：（人） 所以，估计看视频和玩游戏为主的学生有776人； 建议：学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏时间，增加运动、阅读等有益活动． 5．（2026·浙江衢州·一模）某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）．如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图． 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：82，84，65，70，85，75，73，91，85，90 九（2）班10名学生中B等级学生的竞赛成绩：80，82，83，80 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 b 69 九（2） 80 a 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ________， ________， ________． (2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． (3)九（1）班共有学生45人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)81；85；30 (2)1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好 (3)24人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：由题意可知，九（1）班10名学生成绩出现次数最多的是85，共出现2次，因此众数是85，即， 九年级（2）班成绩在“B组”的有4人，占， ∴， 九年级（2）班10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为80，82，中位数是，即； （2）解：九（1）班成绩较好，理由：1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好； （3）解：（名）， 答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有24名． 6．（2026·浙江·模拟预测）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门活动课．按照类别分为：A“围棋”、B“足球”、C“篮球”、D“书法”、E“插花”．为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查（每人限报一项），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为______；统计图中A活动课的扇形圆心角的度数为______，并通过计算补全条形统计图． (2)该校共有1600名学生，请你估计全校喜爱“书法”的学生人数． 【答案】(1)，图见解析 (2)人． 【分析】（1）由B所占的百分比及参加B类活动课的人数可求得样本容量，再由乘以A活动课的百分比即可求出A活动课的扇形圆心角度数，用总人数减去已知各项活动人数求出喜爱D“书法”的人数，补全统计图即可； （2）用该校共有学生数乘以样本中喜爱“书法”的学生人数的占比即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 喜爱D“书法”的人数为（人） 补全统计图如下： （2）解：（人） 答：估计全校喜爱“书法”的学生人数为人． 7．（2026·浙江宁波·模拟预测）某艺术学校为了解学生对所报街舞课的满意度，随机抽取街舞课的部分报课学生开展了一次问卷调查，并制成如下尚不完整的统计图： 调查问卷 你对街舞课的满意度为（    ） A．非常满意  B．满意  C．一般  D．不满意 (1)求参加问卷调查的学生数和的值． (2)据统计，满意度为“非常满意”和“满意”的报课学生的点赞率约为．已有400名学生报名参加了该艺术学校的街舞课，请结合统计信息估计对街舞课非常满意和满意并且点赞的人数． 【答案】(1)参加问卷调查的学生数为40，的值为45 (2)对街舞课非常满意和满意并且点赞的人数为176人 【分析】（1）先根据满意度为“一般”的人数除以其所占百分比可得调查人数，再求得满意度为“满意”的人数，进而可求得m值； （2）先求得样本中满意度为“非常满意”和“满意”所占百分比，再由总人数乘以所占百分比及点赞率即可求解． 【详解】（1）解：参加问卷调查的学生数为（人）， 满意度为“满意”的人数为（人）， ∴， 答：参加问卷调查的学生数为40，的值为45． （2）解：，（人）， 答：对街舞课非常满意和满意并且点赞的人数为176人． 8．（2025·浙江杭州·一模）为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． (1)求参与调查的学生中喜爱篮球的人数； (2)该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 【答案】(1)21人 (2)200人 【分析】（1）根据排球的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数乘以喜爱篮球的人数所占的百分比即可； （2）用总人数乘以喜爱足球的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：调查的总人数有（人）， 所以（人）， 答：参与调查的学生中喜爱篮球的人数为21人； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有200人． 题型五：频数与频率相关计算（高频考题） 1．（2026·浙江宁波·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【答案】D 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 2．（2025·浙江·模拟预测）甲、乙、丙三个城市的人口年龄统计频数分布直方图如下，已知三个城市的总人口数量（万人）相同，则下列推断出的关于这三个城市人口平均年龄大小的结论中，正确的是（　　） A．甲丙乙 B．甲乙丙 C．乙丙甲 D．乙甲丙 【答案】B 【分析】此题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图中的数据判断即可． 【详解】解：∵三个城市的总人口数量（万人）相同， 甲市年龄在岁的有万人， 乙市年龄在岁的有万人， 丙市年龄在岁的有万人， ∴在年龄跨度相同，且人数基本相同的情况下，可以判断，甲市的平均年龄乙市的平均年龄丙市的平均年龄． 故选：B． 3．（2025·浙江杭州·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（    ） A．20 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，知道频率频数总数是解题的关键． 根据总人数为50人，求出样本中这一分数段的频数，根据频率频数总数即可求解． 【详解】解：样本中这一分数段的频数是：， 样本中这一分数段的频率是：， 故答案为：D． 4．（2025·浙江嘉兴·一模）某班同学每周课外阅读时间的频数直方图如图所示（每组含前一个边界值不含后一个边界值）．由图可知，该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有________人． 【答案】36 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图的数据，求出该班每周阅读时间不低于4小时的学生人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有36人， 故答案为：36． 题型六：直方图解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． (1)求表中的值，的实际含义是什么？ (2)根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 【答案】(1)，，的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为 (2)优秀学生总人数约为人 【分析】（1）先计算总人数，再用总人数乘以即可求得，用除以总人数，即可求得，再说明的实际意义即可； （2）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：总人数为人， ， ， 的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为； （2）解：（人）， 答：优秀学生总人数约为人． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）“双减” 实施以来，为了解某地初中学生平均每天作业时长情况，从该地随机选取了若干名学生进行问卷调查，根据调查结果，整理得如下不完整的统计图表． 组别 平均每天作业时长x（小时） 频数（人） A 40 B 80 C 120 D 160 根据以上信息，回答下列问题： (1)“双减” 实施前平均每天作业时长的中位数落在 组，并补全“双减” 实施以来学生作业时长的直方图； (2)若该地区共有初中学生10000人，请你估计“双减” 实施以来该地区平均每天作业时长小于小时的学生数． (3)你认为该地“双减”政策的效果如何，简要说明理由． 【答案】(1)，补全图形见解析 (2)人 (3)该地“双减”政策的效果较好，理由见解析 【分析】（1）先求解总人数，再利用中位数的含义求解中位数，求解“双减” 实施后D的人数并补全图形即可； （2）由乘以对应的百分比即可． （3）比较“双减” 实施前后作业时长小于小时的人数占比即可． 【详解】（1）解：∵， ∴第个，个数据落在组， ∵“双减” 实施前平均每天作业时长的中位数落在组． ∵， 补全图形如下： （2）解：“双减” 实施以来该地区平均每天作业时长小于小时的学生数为： （人）． （3）解：∵该地“双减”以前平均每天作业时长小于小时的百分比为： ， 该地“双减”以后平均每天作业时长小于小时的百分比为： ， ∴该地“双减”政策的效果较好． 3．（2026·浙江·模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)83 (2)720人 【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组， 而， ∴第25，26个数据为，， ∴中位数为， 故答案为：； （2）解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 4．（2025·浙江·模拟预测）某年级共有600名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成六组）： ，，． A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下（单位：分）： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 A课程在这一组的成绩如下： 70，71，71，71，76，76，77 78，78.5，79，79，79，79，79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)请写出表中m的值． (2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程？请说明理由． (3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 【答案】(1)79 (2)B，该学生A课程分数低于中位数，排名在中间 位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在 中间位置之前 (3)270（人） 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系． （1）根据中位数的概念，当中位数是奇数时，最中间的数为中位数，当中位数为偶数时，最中间两个数的平均数确定中位数的值； （2）根据中位数的定义，如果一个学生的成绩低于于课程的中位数，那么他的成绩排名在中间位置之后，如果一个学生的成绩大于课程的中位数，那么他的成绩排名在中间位置之前求解． （3）要估计A课程成绩超过79分的人数，要知道超过这个分数的学生在样本中的比例求解． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可知， A课程成绩的人数， 分数有2人， 分数有6人，分数 有12人， 分数有14人， 分数有18人， 分数有8人，一共总人数有人，这样可知中位数应该处于第30人和第31人分数之和的平均数， ∴中位数在分数段， ∵A课程在这一组的成绩如下：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，79，79，79，79，79.5， ∴中位数为； （2）解：B，该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在 中间位置之前． （3）解：抽取的60名学生中，A课程成绩超过79的人数为27人， ∴估计A课程分数超过79的人数为． 5．（2025·浙江绍兴·三模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动，活动时间为2025-2026年．目前，国际上常用身体质量指数“”（）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． (1)【设计调查方式】 有下列选取样本的方式中最合理的是（   ） A．随机调查全校的名同学的身高体重 B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重 C．随机调查该校名九年级同学的身高体重 (2)【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了50名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 频率 求表中的值． (3)【数据应用】 若该校九年级共有名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 【答案】(1)C (2) (3)人 【分析】本题考查了调查方式，样本估计总体，频率与频数等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （1）根据调查方式的特征逐一判断即可； （2）根据减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以即可求解； （3）通过乘以九年级健康类型频率即可求解． 【详解】（1）解：A．随机调查全校的名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意； B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意； C．随机调查该校名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意； 故选：C； （2）解：（人）， ∴； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级健康类型为正常的人数有人． 6．（2025·浙江·模拟预测）省卫健委等15部门联合制定了《浙江省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某公司对员工的体重管理情况进行如下调查． 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康状况调查，您的回答将助力打造更健康和谐的工作环境，期待您积极参与！ 您的身高是___________m，体重是___________． 请根据公式体重身高计算您的为___________．（结果保留1位小数） 根据体重判定标准，如果您的不低于24，请您回答以下问题． 您有计划通过___________来控制体重（填写序号，可多选）． （1）加强锻炼；（2）合理饮食；（3）医疗干预；（4）其他． 并将结果绘制成如下图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围 频数 频率 过轻 14 正常 96 过重 64 肥胖 26 过重及肥胖员工控制体重方式条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； (2)试估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； (3)请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 【答案】(1)200 (2)540人 (3)见解析 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键。 （1）把表格中所有选项的频数相加即可得到答案； （2）先估计出肥胖或体重超重的人数，再求出采取合理饮食来控制体重的人数占比即可得到答案； （3）该公司很多员工的体重不标准，部分员工达到肥胖，建议部分员工健康饮食，多锻炼身体． 【详解】（1）解：（份）， ∴本次调查共选取了200份调查报告进行统计； （2）解；体重过重及肥胖的员工所占比例为， 估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工人数为（人）． 本次调查中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的占调查体重过重及肥胖的员工总人数的， 估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数为（人）； （3）解：该公司很多员工的体重不标准，部分员工达到肥胖，建议部分员工健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可）． 考点二 数据的分析 题型一：平均数、众数、中位数综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据折线统计图读出5次射击的具体成绩，再根据众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由折线统计图可知，小明5次射击的成绩分别为：8，9，8，10，8， 在这组数据中，8出现了3次， 因此，这5次成绩的众数为8． 2．（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【分析】分别根据各统计量的定义，对比加入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可. 【详解】解：原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∵第5个数据为，第6个数据为，∴原中位数为. 加入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据： 若新队员身高，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为172； 若新队员身高，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为； 因此新数据的中位数仍为，中位数一定不变； 对其他选项分析： A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误； C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误； D 原众数为和，若新队员身高为，新众数仅为，众数改变，D错误． 3．（2026·浙江湖州·模拟预测）为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（   ） A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分 C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分 【答案】C 【分析】用总人数减去4、6、8可得的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D． 【详解】解：A、，不是3，故选项A错误； B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误； C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为（分），故选项C正确； D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误． 4．（2026·浙江·模拟预测）某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 【答案】B 【分析】先确定数据的总个数，再找到排序后中间位置的两个数据，计算平均数即可得到结果． 【详解】解：∵数据总个数为，是偶数 ∴中位数为从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数， ∵从小到大排列，前3个数据为173，第个数据为174，第个数据为175 ∴第10个数据为174，第11个数据为175， ∴中位数为 ． 5．（2025·浙江·模拟预测）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 【答案】C 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数，处在最中间的数或最中间的两个数的平均数叫作这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】 解：捐款80元的有12人，人数最多， 众数是80元， 志愿者共有：（人）， 所以第17，18个数据为：80，100， 中位数：， 故选：C． 5．（2025·浙江杭州·三模）某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （    ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果． 【详解】解：由表中数据可得，人数最多的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：， 故选：A． 6．（2025·浙江宁波·一模）在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（   ） A．平均数一定是170 B．众数一定是170 C．中位数在范围内 D．方差为0 【答案】C 【分析】本题考查平均数、众数、中位数和方差的定义，需结合分组数据的特点逐一分析． 【详解】A、平均数的计算需用各组组中值乘以频数求和后除以总人数，各组组中值分别为130、150、170、200，计算得平均数为：因此平均数不是170，选项A错误； B、众数是出现次数最多的数据所在区间，人数最多的区间为（15人），但具体众数值无法确定一定是170（组中值），只能确定区间，故选项B错误； C、中位数是第20和21个数据的平均值，前两组合计15人，第三组包含第16到30个数据，因此第20和21个数据均在区间内，中位数属于该区间，选项C正确； D、方差为0要求所有数据相同，但数据分布在多个区间，显然不成立，选项D错误． 故选：C． 题型二：根据平均数、众数、中位数求值（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：该组数据共5个，按从小到大的顺序排列后，第3个数为中位数，已知中位数为4，且数据1和2均小于4，要使4排在第3位，则不能小于4，即， 故选D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）自然数7，8，8，a，b这组数据的中位数为7，且唯一的众数是8，那么，所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数，根据中位数的定义可得a，b这两个数小于或等于，再由众数的定义并结合题意可得a，b这两个数最大为和，由此即可得解，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵自然数7，8，8，a，b这组数据的中位数为7， ∴排序后第个数必须是， ∴a，b这两个数小于或等于， ∵自然数7，8，8，a，b这组数据的众数是8，且唯一， ∴a，b这两个数小于，且不相等， ∴a，b这两个数最大为和， ∴的最大值， 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知一组数据，，，，的平均数为4，则另一组数据，，，，的平均数为_______． 【答案】10 【分析】本题主要考查算术平均数．由题意知，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知，， 则新数据的平均数为 ， 故答案为：10． 题型三：已知方差进行求解（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是_____；方差是____（精确到0.1）． 【答案】 23 2.6 【分析】本题考查了中位数和方差，掌握中位数的定义和方差公式解题的关键． 根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），以及方差公式进而解答即可． 【详解】解：此组数据从小到大排列为22，23，23，23，25，25，27，由中位数的定义知中位数为23； 平均数； 方差， ∴这组数据的中位数是23；方差是2.6． 故答案为：23，2.6． 2．（2025·浙江嘉兴·三模）已知某组数据的方差计算公式为 则这组数据的平均数为_______________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了方差的公式，根据方差公式，即可求出数据的平均数． 【详解】解：由 可知，这组数据共有n个，且这组数据的平均数为5， 故答案为：5． 3．（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【答案】D 【分析】根据平均数，方差的定义求解即可． 【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则， ∴， ∴， ∴， 在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则， ∴， ∴． 方差改变． 4．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）方差计算公式：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为25，平均数为10 B．样本容量为10，平均数为25 C．样本容量为25，平均数为25 D．样本容量为10，平均数为10 【答案】B 【分析】本题考查了方差公式，解题的关键是根据方差的定义以及公式中各个字母所表示的意义进行解答． 根据方差公式中所有字母所表示的意义，表示样本容量，表示平均数，进行解答即可． 【详解】解：由方差计算公式：可得样本容量为10，平均数为25， 故选：B． 7．（2025·浙江杭州·二模）下列四组数据中方差最大的一组是（   ） A．3，3，3，3，3 B．2，3，3，3，4 C．1，2，3，4，5 D．0，0，3，6，6 【答案】D 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算方法是关键． 根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解． 【详解】解：A、平均数是，方差是； B、平均数数是，方差为； C、平均数数是，方差为； D、平均数数是，方差为； ∴方程最大的一组是D， 故选：D ． 题型四：利用方差进行决策（高频考题） 1．（2025·浙江湖州·一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是________． 【答案】甲 【分析】本题考查了利用方差做决策“方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量”，熟练掌握方差的意义是解题关键．根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得． 【详解】解：∵平均数，方差， ∴甲选手的射击成绩更稳定， ∴考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲， 故答案为：甲． 2．（2025·浙江杭州·一模）下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择_______（填“甲”“乙”“丙”中的一个）． 成绩（米） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80 乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84 丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85 【答案】乙 【分析】本题主要考查方差．根据方差的定义解答即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小． 【详解】解：∵甲的成绩在2.80至2.95之间波动，乙的成绩在2.83至2.88之间波动，丙的成绩在2.70至2.90之间波动， ∴乙的方差最小，成绩最稳定， ∴应选择乙． 故答案为：乙． 3．（2025·浙江杭州·二模）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 【答案】丁 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 4．（2025·浙江金华·二模）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），若甲、乙5次成绩的方差分别为，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了求方差，熟练掌握方差的计算方法是解题的关键．先分别求出甲、乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论． 【详解】解：甲的平均成绩为， ， 乙的平均成绩为， ， ∴． 故答案为：． 5．（2025·浙江台州·二模）甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学4次模拟考成绩更稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可 【详解】解： ，， ， 甲、乙两位同学4次模考成绩更稳定的是甲． 故答案为：甲． 6．（2025·浙江温州·二模）如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示__________的成绩．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查折线统计图，方差，解题关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．利用折线统计图可判断折线A表示的成绩波动较大，根据方差的意义可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，即可求解． 【详解】解：由图可知折线A表示的成绩波动较大， 由可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大， 所以折线A表示甲的成绩． 故答案为：甲． 题型五：数据的分析解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江温州·一模）在学校组织的知识竞赛中,成绩分为（），（），（），（）四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（）班竞赛成绩统计图如图所示． (1)求九（）班等级的百分比； (2)已知九（）班竞赛成绩的中位数为分，小温、小州本次成绩在九（）班排名（从高到低）分别是第名、第名，小温的成绩是分，求小州的成绩； (3)越越同学为了预估全校名同学中等级的总人数，随机抽取了名学生的成绩，结果等级人数比九（）班的多了人，请你估计该校等级的总人数． 【答案】(1)； (2)分； (3)该校等级的总人数为人． 【分析】（）根据九（）班等级人数除以总人数再乘以即可； （）根据中位数定义设小州的成绩为分，然后列方程并解方程即可； （）通过样本估计总体即可． 【详解】（1）解：九（）班等级的百分比：； （2）解：设小州的成绩为分， 由题意,得， 解得， ∴小州的成绩为分； （3）解：（人）， 答：该校等级的总人数为人． 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）“湖笔”是中国传统文房四宝之一．某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格，并在四个生产车间中，每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格的毛笔数量，结果如下： 车间 ① ② ③ ④ 合格数量 8 10 9 9 (1)若车间①抽取的10支毛笔的得分分别为（单位：分）：10，8，8，7，8，9，10，7，8，9，求这10支毛笔的得分的平均分． (2)已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量． 【答案】(1)8.4分 (2)360支 【分析】（1）根据平均数的求法解答即可； （2）运用样本估计总体可得答案． 【详解】（1）解：（分）， （分）． 答：这10支毛笔的得分的平均分为8.4分； （2）解：（支）， 答：估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量为360支． 3．（2026·浙江衢州·一模）某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：A．；B．；C．；D．，还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）． 【数据呈现】 九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）： 80，80，82，83． 【分析数据】 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（一）班 80 九（二）班 80 81 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由． (3)已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数． 【答案】(1)83；85；30 (2)见解析 (3)24人 【分析】（1）根据中位数、众数定义进行求解即可； （2）先求出九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和，然后根据中位数定义，进行求解即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 排在第5、第6的分别为81，85，因此中位数； 85出现次数最多，因此众数； ， 则； （2）解：九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和为： ， ∵九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩为：80，80，82，83． ∴将九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第5、第6的分别为80，82， ∴九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是：（分）； （3）解：（人）， 答：这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数为24人． 4．（2026·浙江·模拟预测）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表． 第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表 竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10 人数（人） 2 1 13 16 18 请根据以上信息，回答下列问题： (1)两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？ (2)求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分． 【答案】(1)9分；9分 (2)分 【分析】（1）分别将两组数据进行排列，再求中位数即可； （2）用总分除以总人数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一次竞赛排列为：5分：2人（累计2） 7分：1人（累计3） 8分：13人（累计16） 9分：16人（累计32） 10分：18人（累计50） 第25、26位数据均落在9分组内， ∴第一次竞赛得分的中位数为分； 第二次竞赛：8分：人， 9分：人， 10分：人， 排列为：8分：20人（累计20） 9分：25人（累计45） 10分：5人（累计50） 第25、26位数据均落在9分组内， ∴第二次竞赛得分的中位数为分； （2）解：由题意得，总分： 分， ∴平均分：分． 5．（2025·浙江·模拟预测）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 a 9 乙班 8 b (1)把甲班竞赛成绩统计图补充完整； (2)写出表中a，b的值； (3)依据数据分析表，有同学认为甲班的成绩好，也有同学认为乙班的成绩好，请写出一条支持甲班成绩更好的理由． 【答案】(1)见解析 (2)9，10 (3)甲班成绩更好，理由见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，求一组数据的中位数和众数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，条形统计图和扇形统计图的特点． 求出甲班C等级的人数，然后补全统计图即可； 根据中位数的定义求出a，根据众数的定义求出b的值即可； 根据表格中的中位数、众数、平均数和方差进行解答即可． 【详解】（1）甲班C等级的人数为：人， 补全条形统计图如图所示： （2）将甲班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数； 乙班25个同学的成绩在A等级的人数最多，因此众数； （3）根据表格中的数据可知，甲班25个同学的成绩的中位数比乙班25个同学的成绩的中位数大，且甲班25个同学的成绩的方差比乙班25个同学的成绩的方差要小，说明甲班25个同学的成绩较稳定，因此甲班成绩更好． 6．（2025·浙江·模拟预测）在某校举行的“青歌”赛中，每位选手要进行五轮比赛，汪老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的成绩单位：分，满分10分进行了收集、整理和分析．如图是甲、丙两位选手的成绩折线图；如表是甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数的部分数据． 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 n 根据以上信息，回答下列问题． (1)收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于______调查填“全面”或“抽样” (2)表中m，n的值分别为______，______． (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1)抽样 (2)， (3)甲，理由见解答 【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的定义解答即可； （2）根据平均数和中位数的定义进行求解即可； （3）根据平均数和中位数的意义即可得出答案． 本题考查的是折线统计图，算术平均数，中位数，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于抽样调查． 故答案为：抽样； （2）解：甲的平均数是：， 把这些数从小到大排列为：，，，，，位于正中间的是， 所以中位数； 故答案为：，； （3）解：应该推荐甲，理由如下： 选手甲和选手乙的平均数都高于选手丙的平均数， 所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛； 又因为选手甲比选手乙的中位数高，且选手甲的最低分高于选手乙的最低分， 所以应该推荐选手甲参加市级比赛． 考点三 概率 题型一：根据概率公式求概率（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的袋子里装有3个除标有的数字不同外，其他都相同的小球，分别标有数字1，2，3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式，用摸到偶数的结果数除以所有等可能的总结果数即可得到答案． 【详解】解：袋子中共有3个小球，随机摸出一个小球的所有等可能性的结果总数为3，其中标号为偶数的小球只有1个，即摸到偶数的结果数为1， ∴摸到偶数的概率为． 2．（2026·浙江舟山·一模）小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可． 【详解】解：在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．小普选中“塘头最美公路”的概率为． 3．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴球的总个数为 (个)，摸出红球的可能结果数为3， ∴摸出红球的概率为 ． 4．（2025·浙江杭州·一模）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、概率公式，首先利用十字相乘法解一元二次方程，可得方程的解为：，，因为个数字中只有是方程的解，所以摸出一个数字恰好是方程的解的概率是． 【详解】解：解方程， 分解因式得：， 方程的解为：，， 数字、、、、中只有是方程的解， 摸出的数字中恰好是方程的解的概率是． 故选：A． 5．（2025·浙江台州·三模）某商场在五一期间推出促销活动，活动期间内，凡是购物即可参与抽奖．不透明的盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，其中2张纸片写有奖品为“扫地机器人一台”，4张纸片写有奖品为“餐具一套”，6张纸片写有奖品为“纸巾一袋”．从盒中任意摸出1张纸片，摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是明确古典概型概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，并准确找出总纸片数和写有“扫地机器人一台”的纸片数． 确定盒子里纸片的总数量，即总情况数；找出写有奖品为“扫地机器人一台”的纸片数量，即所求情况数；根据古典概型概率公式，用所求情况数除以总情况数得到摸出该奖品的概率． 【详解】解：已知盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，即总情况数为12． 其中写有奖品为“扫地机器人一台”的纸片有2张，即所求情况数为2． 可得摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是． 故选：B． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）现有某种产品100件，其中4件是次品，从中任意抽出一件，恰好抽到次品的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式的求解，熟练掌握概率公式是解决本题的关键． 根据概率公式，所求概率等于次品数量与总产品数量的比值，再化简即可． 【详解】总共有100件产品，其中次品4件， 任意抽取1件时，抽到次品的概率为次品数除以总数，即． 故选：C． 7．（2025·浙江温州·二模）小明周末出游，在圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭四处景点中随机选取一处景点，则选中九珠潭的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件概率的计算．直接利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：共有4种等可能结果，选中九珠潭的结果有1种， ∴选中九珠潭的概率为， 故选：C． 8．（2026·浙江台州·一模）从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． 【答案】 【分析】先列举出从三人中随机选取2人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中随机选取2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共种， 其中甲被选中的结果有甲乙，甲丙，共种， 根据概率公式，可得甲被选中的概率． 题型二：列表法求概率（高频考题） 1．（2025·浙江温州·二模）如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及能让其中一个小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，同时闭合开关和时，小灯泡发光，同时闭合开关和时，小灯泡发光． 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能让其中一个小灯泡发光的结果有：，，，，共4种， ∴能让其中一个小灯泡发光的概率是． 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与2个球颜色相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 白 白 黄 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 黄 （红，黄） （红，黄） （白，黄） （白，黄） 共有20种等可能的结果，2个球都摸到颜色相同的有4种情况， 两次都摸到红球的概率为， 故选：C． 3．（2026·浙江湖州·一模）一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下：                  白 红1 红2 白 白，红1 白，红2 红1 红1，白 红1，红2 红2 红2，白 红2，红1 ∴一共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的有4种结果， ∴甲乙摸到的球颜色不同的概率为． 4．（2026·浙江衢州·一模）2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________． 【答案】 【分析】利用列表法或画树状图法求解即可． 【详解】解：把2部影片分别记为A、B， 列表如下： A B A B 共有4种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一部电影的结果有2种， ∴小明和小亮选择同一部电影的概率为． 5．（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种， ∴他们出相同手势的概率为． 故答案为：． 6．（2025·浙江宁波·三模）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出两个球，则恰好抽到一个红球和一个白球的概率是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算，利用列表法可清晰、不重复不遗漏地列出所有可能的摸球结果，熟练掌握概率公式以及列表法分析等可能结果是解题的关键，核心知识点为概率的基本概念与古典概型的计算方法 ．要计算随机摸出两个球恰好是一个红球和一个白球的概率，需先找出所有可能的摸球结果，再确定符合条件的结果数量，最后依据概率公式求解．可通过列表法清晰呈现所有结果 ． 【详解】解：设红球为，两个白球分别为、．列表如下： - - - 从表中可知，随机摸出两个球的所有可能结果有种，其中恰好抽到一个红球和一个白球的结果有种． ∴概率 ， 故答案为：． 题型三：树状图求概率（高频考题） 1．（2025·浙江舟山·三模）某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，小王、小李两人恰好选中同一门课程的结果有3个， ∴小王、小李两人恰好选中同一门课程的概率为 ， 故答案为：． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率．根据题意，画出树状图，得到所有等可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有2种， ∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为， 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的盒子里放置了2个白球和2个黑球，每个球除颜色外都相同，若同时从盒子中摸出两个球，则两个球都是白球的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，两个白球分别表示为，2个黑球分别表示为，画出树状图，利用符合题意的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】解：两个白球分别表示为，2个黑球分别表示为，画树状图如下： 共有12种等可能情况，两个球都是白球的有2种， ∴两个球都是白球的概率是 故答案为：． 4．（2025·浙江·模拟预测）思思和想想参加“飞向太空模拟活动”，随机选择“飞向月球”“飞向火星”其中一项，那么两人同时选择“飞向火星”的概率是______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“飞向月球”“飞向火星”分别记为A、B， 画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两人同时选择“飞向火星”的结果有1种， 两人同时选择“飞向火星”的概率是， 故答案为： 5．（2026·浙江衢州·一模）2026年春节期间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种， ∴小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的概率为， 6．（2026·浙江·模拟预测）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，掌握根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于8的结果有3种， 两张卡片上的数字和大于8的概率是． 故答案为：． 7．（2025·浙江·模拟预测）掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法与画树状图法求概率，以及根的判别式，通过列表法或画树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率为．先画树状图展示所有种等可能的结果数，然后根据判别式的意义找出满足的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中满足的结果数有，，，，，，，，，，，，，，，，，共有种情况， 关于的方程有两个不等实数根的概率为． 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况， ∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是， 故答案为：． 9．（2025·浙江杭州·一模）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键在于理解概率等于所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种， ∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为． 故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·一模）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动．已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率，理解题意是正确解答此题的关键． 明确剩余可选活动的组合方式，并确定符合条件的情况数占总情况数的比例即可求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，再次选到B的有4种， 他再选择B活动的概率是， 故答案为：． 题型四：概率解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江舟山·一模）读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据： ，，，，，，，，，，，，，，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的______，______； (2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； (3)该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可得答案； （2）用乘以等级的人数所占的百分比，即可求出组对应扇形的圆心角的度数；求出等级的人数所占的百分比即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“男女”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由家庭成年人阅读时间在小时内的数据可知，，． 故答案为：；； （2）解：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为． ， ． 故答案为：；； （3）解：设名男生记为，名女生记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中“男女”的结果有：，，，，共种， 恰好选中“男女”的概率为． 2．（2025·浙江杭州·二模）为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级，请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键． （1）由扇形统计图可知“优秀”的人数为36，用“优秀”人数除以对应的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可； （2）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵被调查总人数为（人）， ∴“良好”的人数为（人）， 补全条形统计图如图： 扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； （2）解：画出树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为． 所以抽取的两人恰好都是女生的概率为． 3．（2025·浙江丽水·二模）端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； (3)甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法． （1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数减去各部分人数得到C类活动的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以类活动所占的百分比即可； （3）先画树状图，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：解：总人数为：（人）， 类活动的人数：（人）， 补全图形如下： （2）解：， （人）， 答：选择D类活动的人数大约有人； （3）解：依题意，树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 5．（2025·浙江杭州·二模）某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： (1)________，________； (2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】(1)30，24 (2)150人 (3)，列表见解析 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 故答案为：； （2）解：（人）； （3）解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴概率为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计和概率（浙江专用） 2025年浙江中考数学真题统计和概率分析（注意：本专辑只总结浙江中考常考题型） ❆选择题第8道本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，分值3分，难度：中等偏下； ❆填空题第14道：本题主要考查的是概率，此类题型主要考查以下三个方向用概率公式求概率、列表法和树状图求概率、用频率估算概率，分值3分，难度：中等偏下； ❆解答题第20道：本题主要考查的是统计综合应用，数据统计量（众数、中位数）求解、样本平均数估计总体总量，分值8分，难度：中等； 1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比 2．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 3．（2025·浙江·中考真题）2025年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表． 班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5 (1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数． (2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数． 题型一：全面调查与抽样调查（高频考题） 1．（2025·浙江·二模）以下调查中，最适宜采用普查方式的是（   ） A．检测某批次汽车的抗撞击能力 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C．调查黄河的水质情况 D．了解某市中学生课外阅读的情况 2．（2025·浙江杭州·一模）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（    ） A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 3．（2025·浙江台州·三模）下列说法正确的是（    ）． A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法； B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨； C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上； D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件． 4．（2025·浙江舟山·三模）下面调查中适合用抽样调查的是 （   ） A．旅客上飞机前的安检 B．工厂生产一批灯管的质量 C．长征六号火箭发射前检查零件 D．学校招聘老师，对应聘老师们面试 5．（2025·浙江温州·一模）下列调查所采用的调查方式，不合适的是（    ） A．了解黄河的水质，采用抽样调查 B．了解全省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 C．检测天问一号火星探测器的零部件质量，采用抽样调查 D．了解某班学生视力，采用全面调查 题型二：求扇形统计图中某一项（高频考题） 1．（2026·浙江·模拟预测）政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能．某地统计了1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图． 则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为（　　） A．5家 B．4家 C．3家 D．2家 2．（2025·浙江温州·二模）对某班同学课外活动最喜欢的项目进行问卷调查（每人选一项），绘制成如图所示的统计图．已知参与问卷的总人数为60人，则选“踢毽子”的人数为（    ） A．9人 B．12人 C．15人 D．24人 3．（2025·浙江温州·二模）某地区对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查，并绘制成如图所示统计图，已知选择游泳的有120人，那么选择篮球的有（   ） A．60人 B．120人 C．180人 D．240人 4．（2025·浙江衢州·一模）国际上把及以上作为正常视力，下图是某校学生的视力情况统计图，已知该校视力正常的学生有人，则未达到正常视力的学生人数为______． 题型三：扇形统计图综合求解（高频考题） 1．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（   ） A．本次抽样调查的样本容量是750 B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人 2．（2026·浙江·一模）某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60-69分；C：70-79分；D：80-89分；E：90-100分）根据图中提供的信息，以下说法正确的是（   ）    A．该校八年级学生有1200人 B．80-89分段的人数是300人 C．在扇形统计图中，“70-79分”部分所对应的圆心角的度数是108° D．59分及以下的人数最少 3．（2025·浙江杭州·二模）对若干名青少年进行最喜爱的运动项目的问卷调查，得到如图的统计图，根据图形可知最喜爱游泳的人数占的百分比是（   ） A． B． C． D． 题型四：扇形统计图与条形统计图综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）为更好地迎接体育中考，某校对九年级部分学生进行了跳跃类立定跳远项目模拟测试，成绩（单位：）分为A，B，C，D四个等级（每组数据包含前一个，不包含后一个），随机抽取若干名学生的测试成绩，绘制成如下统计图： 等次 男生 女生 A：优秀（满分） 及以上 及以上 B：良好 C：及格 D：不及格 以下 以下 (1)本次一共抽取了多少名学生的测试成绩？ (2)该校九年级共有700名学生，男生与女生人数比为，请估计该校九年级立定跳远测试达到“优秀”的男女生人数． 2．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 3．（2026·浙江台州·一模）某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试．现将测试成绩（单位：分）按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩）三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全七年级学生测试成绩条形统计图． (2)求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． (3)已知该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 4．（2026·浙江杭州·一模）为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频），B（玩游戏），C（看课外书），D（运动），E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式． (1)本次调查的样本容量是_________，请补全条形统计图； (2)已知本校学生有1600人，请估计看视频和玩游戏为主的学生有多少人？并提出合理引导规划建议一条． 5．（2026·浙江衢州·一模）某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）．如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图． 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：82，84，65，70，85，75，73，91，85，90 九（2）班10名学生中B等级学生的竞赛成绩：80，82，83，80 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 b 69 九（2） 80 a 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ________， ________， ________． (2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． (3)九（1）班共有学生45人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 6．（2026·浙江·模拟预测）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门活动课．按照类别分为：A“围棋”、B“足球”、C“篮球”、D“书法”、E“插花”．为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查（每人限报一项），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为______；统计图中A活动课的扇形圆心角的度数为______，并通过计算补全条形统计图． (2)该校共有1600名学生，请你估计全校喜爱“书法”的学生人数． 7．（2026·浙江宁波·模拟预测）某艺术学校为了解学生对所报街舞课的满意度，随机抽取街舞课的部分报课学生开展了一次问卷调查，并制成如下尚不完整的统计图： 调查问卷 你对街舞课的满意度为（    ） A．非常满意  B．满意  C．一般  D．不满意 (1)求参加问卷调查的学生数和的值． (2)据统计，满意度为“非常满意”和“满意”的报课学生的点赞率约为．已有400名学生报名参加了该艺术学校的街舞课，请结合统计信息估计对街舞课非常满意和满意并且点赞的人数． 8．（2025·浙江杭州·一模）为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题． (1)求参与调查的学生中喜爱篮球的人数； (2)该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 题型五：频数与频率相关计算（高频考题） 1．（2026·浙江宁波·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 2．（2025·浙江·模拟预测）甲、乙、丙三个城市的人口年龄统计频数分布直方图如下，已知三个城市的总人口数量（万人）相同，则下列推断出的关于这三个城市人口平均年龄大小的结论中，正确的是（　　） A．甲丙乙 B．甲乙丙 C．乙丙甲 D．乙甲丙 3．（2025·浙江杭州·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（    ） A．20 B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·一模）某班同学每周课外阅读时间的频数直方图如图所示（每组含前一个边界值不含后一个边界值）．由图可知，该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有________人． 题型六：直方图解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． (1)求表中的值，的实际含义是什么？ (2)根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）“双减” 实施以来，为了解某地初中学生平均每天作业时长情况，从该地随机选取了若干名学生进行问卷调查，根据调查结果，整理得如下不完整的统计图表． 组别 平均每天作业时长x（小时） 频数（人） A 40 B 80 C 120 D 160 根据以上信息，回答下列问题： (1)“双减” 实施前平均每天作业时长的中位数落在 组，并补全“双减” 实施以来学生作业时长的直方图； (2)若该地区共有初中学生10000人，请你估计“双减” 实施以来该地区平均每天作业时长小于小时的学生数． (3)你认为该地“双减”政策的效果如何，简要说明理由． 3．（2026·浙江·模拟预测）某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 4．（2025·浙江·模拟预测）某年级共有600名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成六组）： ，，． A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下（单位：分）： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 A课程在这一组的成绩如下： 70，71，71，71，76，76，77 78，78.5，79，79，79，79，79.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)请写出表中m的值． (2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程？请说明理由． (3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 5．（2025·浙江绍兴·三模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动，活动时间为2025-2026年．目前，国际上常用身体质量指数“”（）作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动． (1)【设计调查方式】 有下列选取样本的方式中最合理的是（   ） A．随机调查全校的名同学的身高体重 B．随机调查该校名九年级女同学的身高体重 C．随机调查该校名九年级同学的身高体重 (2)【数据收集与整理】 该小组同学计算并整理了50名同学的值，制作了相应的频率表如下： 的范围 人数 频率 求表中的值． (3)【数据应用】 若该校九年级共有名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数． 6．（2025·浙江·模拟预测）省卫健委等15部门联合制定了《浙江省“体重管理年”活动实施方案》，进一步倡导和推进文明健康生活方式，预防和控制超重肥胖．某公司对员工的体重管理情况进行如下调查． 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康状况调查，您的回答将助力打造更健康和谐的工作环境，期待您积极参与！ 您的身高是___________m，体重是___________． 请根据公式体重身高计算您的为___________．（结果保留1位小数） 根据体重判定标准，如果您的不低于24，请您回答以下问题． 您有计划通过___________来控制体重（填写序号，可多选）． （1）加强锻炼；（2）合理饮食；（3）医疗干预；（4）其他． 并将结果绘制成如下图所示的统计图（表）． 员工体重指数频数分布表 类别 体重指数（）范围 频数 频率 过轻 14 正常 96 过重 64 肥胖 26 过重及肥胖员工控制体重方式条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共选取了___________份调查报告进行统计； (2)试估计该公司1800名员工中，体重过重及肥胖的员工采取合理饮食来控制体重的人数； (3)请对该公司员工体重情况作出评价，并提出合理化建议． 题型一：平均数、众数、中位数综合（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 3．（2026·浙江湖州·模拟预测）为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（   ） A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分 C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分 4．（2026·浙江·模拟预测）某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 5．（2025·浙江·模拟预测）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计： 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　） A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元 5．（2025·浙江杭州·三模）某校开展以“书香润校园，好书助成长”为主题的读书节活动，为了解某班学生五月份的读书册数，从该班随机抽取20名学生调查其读书册数，结果如表所示：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 （    ） 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 A．3，3 B．3，4 C．7，3 D．7，4 6．（2025·浙江宁波·一模）在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（   ） A．平均数一定是170 B．众数一定是170 C．中位数在范围内 D．方差为0 题型二：根据平均数、众数、中位数求值（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）自然数7，8，8，a，b这组数据的中位数为7，且唯一的众数是8，那么，所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（2025·浙江杭州·三模）已知一组数据，，，，的平均数为4，则另一组数据，，，，的平均数为_______． 题型三：已知方差进行求解（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·二模）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是_____；方差是____（精确到0.1）． 2．（2025·浙江嘉兴·三模）已知某组数据的方差计算公式为 则这组数据的平均数为_______________． 3．（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 4．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）方差计算公式：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为25，平均数为10 B．样本容量为10，平均数为25 C．样本容量为25，平均数为25 D．样本容量为10，平均数为10 7．（2025·浙江杭州·二模）下列四组数据中方差最大的一组是（   ） A．3，3，3，3，3 B．2，3，3，3，4 C．1，2，3，4，5 D．0，0，3，6，6 题型四：利用方差进行决策（高频考题） 1．（2025·浙江湖州·一模）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是________． 2．（2025·浙江杭州·一模）下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择_______（填“甲”“乙”“丙”中的一个）． 成绩（米） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80 乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84 丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85 3．（2025·浙江杭州·二模）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 4．（2025·浙江金华·二模）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），若甲、乙5次成绩的方差分别为，则___________（填“”“”或“”）． 5．（2025·浙江台州·二模）甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学4次模拟考成绩更稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 6．（2025·浙江温州·二模）如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示__________的成绩．（填“甲”或“乙”） 题型五：数据的分析解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江温州·一模）在学校组织的知识竞赛中,成绩分为（），（），（），（）四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（）班竞赛成绩统计图如图所示． (1)求九（）班等级的百分比； (2)已知九（）班竞赛成绩的中位数为分，小温、小州本次成绩在九（）班排名（从高到低）分别是第名、第名，小温的成绩是分，求小州的成绩； (3)越越同学为了预估全校名同学中等级的总人数，随机抽取了名学生的成绩，结果等级人数比九（）班的多了人，请你估计该校等级的总人数． 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）“湖笔”是中国传统文房四宝之一．某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格，并在四个生产车间中，每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格的毛笔数量，结果如下： 车间 ① ② ③ ④ 合格数量 8 10 9 9 (1)若车间①抽取的10支毛笔的得分分别为（单位：分）：10，8，8，7，8，9，10，7，8，9，求这10支毛笔的得分的平均分． (2)已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量． 3．（2026·浙江衢州·一模）某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：A．；B．；C．；D．，还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）． 【数据呈现】 九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）： 65，70，73，75，81，85，85，85，90，91． 九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）： 80，80，82，83． 【分析数据】 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 九（一）班 80 九（二）班 80 81 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由． (3)已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数． 4．（2026·浙江·模拟预测）2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表． 第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表 竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10 人数（人） 2 1 13 16 18 请根据以上信息，回答下列问题： (1)两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？ (2)求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分． 5．（2025·浙江·模拟预测）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．根据提供的信息解答下列问题： 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 a 9 乙班 8 b (1)把甲班竞赛成绩统计图补充完整； (2)写出表中a，b的值； (3)依据数据分析表，有同学认为甲班的成绩好，也有同学认为乙班的成绩好，请写出一条支持甲班成绩更好的理由． 6．（2025·浙江·模拟预测）在某校举行的“青歌”赛中，每位选手要进行五轮比赛，汪老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的成绩单位：分，满分10分进行了收集、整理和分析．如图是甲、丙两位选手的成绩折线图；如表是甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数的部分数据． 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 n 根据以上信息，回答下列问题． (1)收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于______调查填“全面”或“抽样” (2)表中m，n的值分别为______，______． (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 题型一：根据概率公式求概率（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的袋子里装有3个除标有的数字不同外，其他都相同的小球，分别标有数字1，2，3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）小普计划周末在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅．他选中“塘头最美公路”的概率为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、．现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江台州·三模）某商场在五一期间推出促销活动，活动期间内，凡是购物即可参与抽奖．不透明的盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，其中2张纸片写有奖品为“扫地机器人一台”，4张纸片写有奖品为“餐具一套”，6张纸片写有奖品为“纸巾一袋”．从盒中任意摸出1张纸片，摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）现有某种产品100件，其中4件是次品，从中任意抽出一件，恰好抽到次品的概率（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江温州·二模）小明周末出游，在圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭四处景点中随机选取一处景点，则选中九珠潭的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江台州·一模）从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． 题型二：列表法求概率（高频考题） 1．（2025·浙江温州·二模）如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·浙江·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 红 红 白 白 黄 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （黄，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （黄，白） 黄 （红，黄） （红，黄） （白，黄） （白，黄） 3．（2026·浙江湖州·一模）一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________．                  白 红1 红2 白 白，红1 白，红2 红1 红1，白 红1，红2 红2 红2，白 红2，红1 4．（2026·浙江衢州·一模）2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________． A B A B 5．（2025·浙江衢州·二模）“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为___________． 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 6．（2025·浙江宁波·三模）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出两个球，则恰好抽到一个红球和一个白球的概率是___________． - - - 题型三：树状图求概率（高频考题） 1．（2025·浙江舟山·三模）某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为______． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是__________． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的盒子里放置了2个白球和2个黑球，每个球除颜色外都相同，若同时从盒子中摸出两个球，则两个球都是白球的概率是______． 4．（2025·浙江·模拟预测）思思和想想参加“飞向太空模拟活动”，随机选择“飞向月球”“飞向火星”其中一项，那么两人同时选择“飞向火星”的概率是______． 5．（2026·浙江衢州·一模）2026年春节期间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是________． 6．（2026·浙江·模拟预测）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于8的概率是_____． 7．（2025·浙江·模拟预测）掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为___________． 8．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是______． 9．（2025·浙江杭州·一模）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是______． 10．（2025·浙江杭州·一模）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动．已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率_____． 题型四：概率解答题综合（高频考题） 1．（2026·浙江舟山·一模）读书是文化建设的基础，为充分发挥读书启智润心的正能量，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：A、B、C、D， 整理如下：下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据： ，，，，，，，，，，，，，，． 家庭成年人阅读时间统计表： 等级 阅读时间（小时） 频数 A B C D 合计 请结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的______，______； (2)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度，______； (3)该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率． 2．（2025·浙江杭州·二模）为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级，请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 3．（2025·浙江丽水·二模）端午节前，学校准备举行“龙腾端午·竞舟校园”文化节活动，计划开展A-包粽子，B-划旱船，C-创美文，-拔河四个项目，要求人人参加，每人限选一项，为了解同学们参加活动的意愿，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数； (3)甲、乙、丙三位同学都是包粽子的能手，现从他们3人中选2人参加才艺展示，请用画树林图或列表的方法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 5．（2025·浙江杭州·二模）某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： (1)________，________； (2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $