2026年浙江数学中考预测专项突破专题02 方程（组）与不等式（组）【三轮冲刺】（浙江专用）

**基本信息** 聚焦浙江中考方程与不等式专项，以真题分析为基础，按“概念理解-解题过程-实际应用”逻辑分层，提炼高频题型解题步骤，强化数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次方程|3题型|新定义转化、步骤纠错、古代问题建模|从概念到应用，结合数学文化| |二元一次方程组|4题型|整体代换、等量关系提取|方程概念拓展，解法到建模| |一元二次方程|5题型|根的性质应用、降次思想|从解法到根的性质，深化代数推理| |分式方程|1题型|去分母整式化、验根流程|分式运算与方程结合| |不等式（组）|3题型|性质应用、解集口诀、数轴表示|从性质到解集，强化逻辑判断| |综合应用|2题型|方程与不等式工具整合、综合建模|知识横向联系，提升应用能力|

2026年浙江数学中考预测专项突破 专题02 方程（组）与不等式（组）（浙江专用） 2025年浙江中考数学真题方程（组）与不等式（组）分析（注意：题型只总结浙江中考常考题型） ❆选择题第7题：本题主要考查二元一次方程组的实际应用，具体为结合生活实际情境提取等量关系列方程组，涉及实际问题数学建模、方程组概念理解基础考点，分值3分，难度：容易。 ❆填空题第12题：本题主要考查一元一次不等式组的求解，具体为确定不等式组的公共解集，涵盖不等式性质运用、解集口诀判定核心步骤，分值3分，难度：容易。 ❆解答题第18题：本题主要考查分式方程的完整求解，具体为可化为一元一次方程的分式方程运算，涵盖去分母整式化、整式方程求解、结果验根全流程解题步骤，分值8分，难度：中等。 1．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 2．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 3．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 考点一 一元一次方程 题型一：一元一次方程中新定义类问题（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 2．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则． 根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 故选C． 3．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）先表示出，，，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； 因为， 所以． （2）解：若， 则，，． 由得， 所以， 所以， 所以． 题型二：一元一次方程判断解题过程（高频考题） 1．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 2．（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母。去括号、移项合并、系数化1求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 3．（2025·浙江杭州·一模）圆圆解方程的过程如图．请指出她解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ 【答案】错误步骤的序号为①、②；正确解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法和步骤，解决本题的关键是去分母时根据等式性质每一项都要乘以分母的最小公倍数．去括号时注意符号的变化和括号内每一项都要乘以括号外的因数．根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答即可得解． 【详解】解：错误步骤的序号为①、②． 正确解答过程如下：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型三：一元一次方程的实际应用（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 2．（2026·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，问一共有几人，每个人分得多少两银子”．设每人分到的银子为两，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每人分到银子x两，每人分到银子数的两倍比总人数多12，可得总人数为，再结合总银两为两列出方程，即可得到正确选项． 【详解】解：∵设每人分到的银子为两，由题意得： ∴． 3．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可． 【详解】解：设共有x人， 由题意得，． 故选：C． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，根据两种情况找出等量关系列出方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意； B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意； C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意； D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·浙江杭州·一模）某班级共有位学生，现将个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个．下列四个方程： ①；②；③；④，其中符合题意的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是确定等量关系，本题中的学生数不变是一个等量关系，枇杷数不变也是一个等量关系，根据不同的等量关系所设的未知数不同，列出的方程也不同. 【详解】解：若以枇杷总数不变为等量关系，则可列方程为； 若以学生数不变为等量关系则可列方程为； 故选：C． 6．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人， 由题意得，， 故选：． 7．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 【答案】(1)选择合并计税方式纳税最少； (2)小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； (3)小陈的方式更合理． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果； （）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，分类计算不同方案的总纳税额， 从而计算满足，即小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （）根据题干给出的应纳税额计算公式，分类计算不同方案的总纳税额，通过比较大小得到最优结果． 【详解】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小， 合并计税：全年应纳税所得额（元）， ∵， ∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元）， 单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元）， 总应纳税额（元）， 因为， 所以合并计税纳税更少， 答：选择合并计税方式； （2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为， 单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，代入的范围得， 当时，， 总应纳税额满足：， 整理得，解得， 综上，小王税前年综合收入满足， 答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元； （3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额： 第一种：平摊扣除，两人各扣除元， 计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元， 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）； 第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除， 计算小陈税额： 综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小陈总税额（元）， 计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元）， 综合税额（元）， 奖金税额（元）， 小丽总税额（元）， 家庭总税额（元）， 因为， 所以小陈的方式下家庭总纳税额更少， 答：小陈的方式更合理． 考点二 二元一次方程组 题型一：二元一次方程组综合求解（高频考题） 1．（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个二元一次方程组的结构，根据原方程组的解得到新方程组中对应整体的值，即可求解x，y． 【详解】解：∵ 原二元一次方程组的解为 待求解方程组与原方程组结构一致， 将和看作整体，可得 ，解得． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 3．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 题型二：已知二元一次方程的解求值（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 2．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的概念，即解能使方程左右两边相等． 将解代入即可解得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 题型三：解二元一次方程组（高频考题） 1．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 2．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 【答案】． 【分析】根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得： 得：， 把，代入，得， 所以原方程组的解为． 3．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 利用加减消元法，即可解方程组． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解． 4．（2025·浙江杭州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 故方程组的解为：． 5．（2025·浙江绍兴·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】由题知，， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为． 6．（2025·浙江杭州·二模）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法并灵活选择是关键．①×2－②得，把代入①得即可得到答案． 【详解】解： ①×2－②得：， ∴ 把代入①得， 题型四：列二元一次方程组（高频考题） 1．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格记录，列出方程组即可. 【详解】解：设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克， 由题意，得. 2．（2026·浙江·模拟预测）古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中“每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗”是干扰信息，根据两次称量的总重量找等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤， 第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤， ∴可得方程 ， ∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤， ∴可得方程 ， ∴列方程组为， ∴选C． 3．（2025·浙江台州·三模）晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意得： ， 故选：A． 4．（2025·浙江台州·二模）中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分？已知1钱等于10分，设1尺绫值分，1尺绢值分，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，找出等量关系，是解题的关键．设1尺绫值分，1尺绢值分，根据绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，列出方程组即可． 【详解】解：设1尺绫值分，1尺绢值分，根据题意得： ， 故选：B． 5．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答． 【详解】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人， ∴， 故选：D． 考点三 一元二次方程 题型一：已知一元二次方程的解求值（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选：C． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，根据方程的解的定义得出，然后变形为，代入要求的式子计算即可，熟练掌握正确的化简技巧进行计算是解决此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ，即， ， 故选：． 4．（2025·浙江台州·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因为一元二次方程的一个根为，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程可以求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有一个实数根，则它的另一个实数根______． 【答案】6 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程方法，解题的关键是掌握以上运算法则， 首先将代入方程求出，然后得出原方程，然后解方程即可求出另一个根． 【详解】解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程， 得，即：， 解得， 即另一根． 故答案为：6 6．（2025·浙江台州·二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．设方程的一个根为，则是方程的一个根，得到①，②，利用加减消元法即可求解． 【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根， ∴①，，即②， 得， 解得或， 当时，代入①，得，不符合题意，舍去； 当时，代入①，得， 得； 综上，； 故答案为：． 题型二：一元二次方程根的判别式（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故选：． 2．（2025·浙江宁波·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故选：A． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法： ，当，，时，的最小值是，其中（    ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值为. 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ， ， ， ； 故是真命题； 一元二次方程的两根为，， ，， ，，， ，， ， 的最小值是， 故②是假命题． 故选：A． 4．（2025·浙江·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是知道：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 由于所给方程有两个不相等的实数根，可知，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 即 解得： ∴的取值可以是，不能为1或或2． 故选：A． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 6．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 【答案】 【分析】先确定数对的所有可能情况，再分和两种情况，根据方程类型及根的判别式判断方程有实数解的情况数，最后计算概率．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及简单事件概率的计算，熟练掌握根的判别式的应用和概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：数对共有种可能， 当时，方程为，是一元一次方程， ∴当时，方程有实数解，即共种情况方程有解； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 当时，得，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解． 当时，，解得或， ∴无满足条件的． 综上，方程有实数解的情况数为种． ∴方程有实数解的概率为． 故答案为：． 8．（2025·浙江温州·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 题型三：一元二次方程根与系数的关系（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先依题意得，求出，再结合一元二次方程的根与系数，得，故，因为，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为：． 4．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．熟练掌握根与系数的关系是关键． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， 所以， 故答案为：． 题型四：列一元二次方程（高频考题） 1．（2025·浙江·模拟预测）随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用现在生产1件该硬件设备的成本两年前生产1件该硬件设备的成本该硬件设备的年平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意得： 故选：B． 2．（2026·浙江宁波·模拟预测）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为步，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为步，则宽为步，利用面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 3．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为，根据两次降价后的单价原来的单价列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：B． 4．（2025·浙江·三模）如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（   ） A．由题意可列出方程 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】A．∵垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长为米，则，故A选项错误； B．， 解得：，故B选项错误； C．方程，化简得， 解得：，， ∵， ∴， 故只有一种围法，故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 5．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．根据去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨，列出方程即可． 【详解】解：∵去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨， ∴今年（第一年）的排放量为：（吨）， 第二年的排放量为：（吨）， …… 第x年的排放量为：（吨）， ∵年内的碳排放量共计2450吨， ∴， 即， 故选：B． 6．（2025·浙江杭州·二模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，再根据整个挂图的长与宽之比为列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 依题意得：或． 故答案为：或． 题型五：根与系数的关系解答题综合（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数． 当时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意． 【详解】解：若，则， 此时，满足题意； 若，即，此时方程为一个一元二次方程， 设方程的两个整数根为，，且， ， 即，由韦达定理可知，， 从而， ∴， 则，，或，， 解得，，或，， 算得对应的或，均满足判别式， 综上所述，或或． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）将代入抛物线的解析式中，结合，可得出、之间的关系式，根据等边三角形，得到倍BC的长正好是点纵坐标的绝对值，联立、的关系式可求出的值． （2）根据已知条件易知，根据抛物线经过点，可得，结合，可将、看作是一元二次方程的两实根，根据，求得，分或两种情况讨论， 求解的最小值即可． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线经过点， ，即， 抛物线顶点为， 设，， ，， ， ， 为等边三角形， ，即， ， ， ， ，即， 解得． （2）解：若，， ，， ，与矛盾， ， 抛物线经过点， ，即， 又， ，是一元二次方程的两实根， ， ，即， 故． ， 或． 若， ，与矛盾， 故此情况不符合题意； 若，则， ， ， 当，时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故的最小值为． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象的平移、根与系数的关系、不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题的关键． （1）把代入二次函数中，整理可得解； （2）由的最小值为，可得，结合（1），可得二次函数的表达式和平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可； （3）由根与系数的关系进行变形求解． 【详解】（1）解：把代入二次函数中， 得：， 整理可得：， ∴， 即对称轴为直线； （2）解：∵的最小值为， 即当时，， 又∵， ∴有， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， ∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：， 可得对称轴为：直线， 故当时，； 开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远， ∴函数最大值在处取到，即， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）解：由（1）知， ∴， 图象与轴的交点分别为，，且， ∴，， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 解得：． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、，得到一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到，，代入化简即可得出结论； （3）利用抛物线上点的坐标的特征得到，依据题意得到不等式，利用分类讨论的思想方法结合不等式的性质得到关于a的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：若抛物线的图象经过， ． ， 该抛物线的图象不经过点C． 该抛物线的图象经过，， ，解得：， 该抛物线的函数解析式为； （2）证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、， 一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、， ，， ，， ． ； （3）解： ，， ， 是抛物线上的点， ， 对于都有， ， ． ． ①当时，则， ， ， ， ． ②当时，则， ， ， ， ， ． 综上，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，一元二次方程根与系数的关系，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，作出图象，结合二次函数图象与性质，由得到、和，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据题意，由一元二次方程根与系数关系得到，从而求出新抛物线的表达式，作出图象，数形结合，可知，当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点，求出此时的值；当直线与抛物线只有一个交点，求出此时的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向上，点 和点 是该抛物线与轴的交点，，如图所示： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，的取值范围为； （2）解：令，则， 由一元二次方程根与系数关系可得， ， ，解得， ，则，即， 解得或， 抛物线与轴的交点为， 现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，如图所示： 抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折后得到的抛物线表达式为， 根据抛物线关于轴对称时，，则此时抛物线的表达式为， 当直线过点时，直线与新抛物线恰好有3个交点， 将代入，解得； 联立方程组 ，消去得， 将直线向上平移，根据直线与新抛物线恰好有3个交点， 直线与抛物线只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，解得，则， ， 综上所述，当直线与新得到的函数图象至少有三个交点时，的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线的图象与性质、由函数图象确定值符号解不等式、抛物线与坐标轴交点、一元二次方程根与系数关系、直线与抛物线交点问题、一元二次方程根的情况求参数等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 考点四 分式方程 题型一：解分式方程（选填）（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练解分式方程的步骤是关键．去分母化为整式方程，解整式方程，并检验即可． 【详解】解： 去分母得到，． 解得，． 当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 3．（2025·浙江衢州·二模）分式方程的解是___________． 【答案】4 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：4． 4．（2025·浙江宁波·三模）方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键．根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 5．（2025·浙江宁波·三模）分式方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 经检验，是分式方程的解， 故原方程的解为， 故答案为：． 考点五 一元一次不等式（组） 题型一：不等式的基本性质（高频考题） 1．（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项正确，符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 3．（2025·浙江杭州·二模）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．本题主要利用若，，则，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意； C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意； D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 5．（2025·浙江台州·二模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等一一判断即可． 【详解】解：．由无法判断出和的大小，故该选项不符合题意； ． ∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．当时，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型二：不等式在数轴上的表示（高频考题） 1．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解题． 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 2．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件得，求出，从而可判断出正确答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 3．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵有意义 ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上可表示为： ． 4．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 5．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 6．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选D． 7．（2025·浙江杭州·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： ， 故选：B． 8．（2025·浙江绍兴·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式的解集为：， 在数轴上表示如下： 故选：C 题型三：不等式中相关计算（高频考题） 1．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解． 【详解】解： 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 故选：C． 2．（2025·浙江台州·一模）已知一次函数（是常数，）的图象过点与，若，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，不等式的性质，根据题意得出不等式组是解题关键． 将点与代入一次函数，得出方程组求解即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象过点与，且，， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：． 3．（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式组是解答此题的关键． 根据、可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 考点六 方程（组）与不等式（组）综合 题型一：方程（组）与不等式（组）计算题（高频考题） 1．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得； 由②得： 解得， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 2．（2026·浙江杭州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，再进行检验即可； （2）先求出一元二次方程根的判别式，然后利用求根公式进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； （2）解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 3．（2025·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，掌握解分式方程的方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为； （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为 4．（2025·浙江·模拟预测）解分式方程： 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再检验即可．本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：把代入， 原分式方程的解为 5．（2025·浙江杭州·三模）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、分式方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）先解方程，然后检验解是否有意义即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， ， ， 经检验：是分式方程的解． 6．（2025·浙江温州·三模）解不等式组：，并把不等式组的解表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 7．（2025·浙江杭州·三模）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）先计算分式减法，再把所得结果的分子和分母分解因式并约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2） ， 当时，原式． 题型二：方程（组）与不等式（组）实际应用（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 【答案】(1)每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元 (2)最多能购进26台液晶显示器 【分析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价； （2）根据题意列不等式计算即可求解． 【详解】（1）解：设每个电脑机箱的进价是元，每个液晶显示器的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元； （2）解：设购进台显示器， 根据题意得：， 解得． 答：最多能购进26台液晶显示器． 2．（2025·浙江温州·三模）实际应用：某工厂利用传送带运输产品，每个产品的质量为2千克． 素材一  如图，记电动机的输出功率为（瓦）、传送带的速度为、每个产品的质量为（千克）、产品的数量为（个），已知（为常数）． 素材二  经测试，当传送带以0.5米/秒的速度运输10个产品时，电动机的输出功率为50瓦． 素材三  电动机的最大输出功率为200瓦． (1)当传送带以1米/秒的速度运输15个产品时，求此时电动机的输出功率． (2)现将传送带的速度调整为0.8米/秒，求此时传送带最多能同时运输多少个产品？ 【答案】(1)瓦 (2)传送带最多能同时运输个产品 【分析】本题考查表达式，函数的值，熟练根据题意得出的关系式是解题的关键． （1）先得出得出关于的关系式，然后代入，，计算解题； （2）根据题意列不等式求出n的最大值即可解题． 【详解】（1）解：把，，，代入得：， 解得， ∴， 当，，时，瓦； （2）解：， 解得， ∵n为整数， ∴此时传送带最多能同时运输个产品． 3．（2025·浙江杭州·二模）初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． (1)购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ (2)学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】(1)购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元 (2)学校最多可以购买50支钢笔 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式与分式方程是解此题的关键． （1）设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设学校购买支钢笔，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元． 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解． ． 答：购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元． （2）解：设学校购买支钢笔． 由题意，得． 解得． 答：学校最多可以购买50支钢笔． 4．（2025·浙江·模拟预测）“黄金1号”玉米种子的价格为5元，如果一次性购买以上的种子，超过的部分打8折．设“黄金1号”玉米种子的一次性购买量为x（单位：），相应的付款金额为y（单位：元）． (1)①完成下表： 购买量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 付款金额y/元 2.5 5 7.5 14 … ②求y关于的函数解析式； (2)“黄金2号”玉米种子的价格为a元，且始终不打折．若两种玉米种子的一次性购买量相同，则“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，请直接写出a的最大值． 【答案】(1)①10，12；② (2)4 【分析】本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）①根据题意直接计算可填表； ②根据“一次性购买以上的种子，超过的部分打8折”列函数解析式即可； （2）分当一次性购买不超过的种子和当一次性购买以上的种子两种情况分别分析求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 故答案为：10，12； ②由题意，当时，， 当时，符合题意， ∴y关于的函数解析式为； （2）解：根据题意，当一次性购买不超过的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只需即可， 当一次性购买以上的种子，要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，只需恒成立， 则， ∵， ∴a最大值为4． 综上，满足题意的a的最大值为4． 5．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 【答案】(1)90转/分钟 (2)齿之间（包含边界值） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据公式列出分式方程是解题的关键. （1）先求出，再根据公式列出分式方程求解即可； （2）上坡的踩踏转速为转/分钟，再根据公式 【详解】（1）解：∵， 又∵，米/秒， ∴， ∴（转/分钟）， 答：小光平路骑行时的踩踏转速为90转/分钟. （2）解：∵上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟， ∴上坡的踩踏转速为转/分钟， ∵， 当时，， 解得：， ∴后链轮齿数， 当时，， 解得， ∴后链轮齿数， ∴上坡的后链轮齿数的设定范围为齿之间（包含边界值）. 6．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 【答案】(1)派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品 (2)当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可． 【详解】（1）解：设甲型货车辆，乙型货车辆， 由题意得：， 解得：， 答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆， 根据题意得：， 解得：， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低． 7．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为； (2) ；每千克应涨价元． 【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可； （）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可； 当时，得，解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 答：月份到月份的销售量月平均增长率为； （2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元， ； 由题意得：， 解得 或， 由于要尽可能的给予顾客优惠， 答：每千克应涨价元． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江数学中考预测专项突破 专题02 方程（组）与不等式（组）（浙江专用） 2025年浙江中考数学真题方程（组）与不等式（组）分析（注意：题型只总结浙江中考常考题型） ❆选择题第7题：本题主要考查二元一次方程组的实际应用，具体为结合生活实际情境提取等量关系列方程组，涉及实际问题数学建模、方程组概念理解基础考点，分值3分，难度：容易。 ❆填空题第12题：本题主要考查一元一次不等式组的求解，具体为确定不等式组的公共解集，涵盖不等式性质运用、解集口诀判定核心步骤，分值3分，难度：容易。 ❆解答题第18题：本题主要考查分式方程的完整求解，具体为可化为一元一次方程的分式方程运算，涵盖去分母整式化、整式方程求解、结果验根全流程解题步骤，分值8分，难度：中等。 1．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________． 3．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 考点一 一元一次方程 题型一：一元一次方程中新定义类问题（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 2．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 题型二：一元一次方程判断解题过程（高频考题） 1．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 2．（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 3．（2025·浙江杭州·一模）圆圆解方程的过程如图．请指出她解答过程中所有错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ 题型三：一元一次方程的实际应用（高频考题） 1．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，问一共有几人，每个人分得多少两银子”．设每人分到的银子为两，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·一模）某班级共有位学生，现将个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个．下列四个方程： ①；②；③；④，其中符合题意的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 6．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江杭州·一模）每年月日至月日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期．开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平． 材料一：全年应纳税所得额全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）元（基本减除费用）专项附加扣除．应纳税额全年应纳税所得额适用税率速算扣除数． 居民个人综合所得税率表（部分） 全年应纳税所得额 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 居民全年一次性奖金税率表（部分） 全年一次性奖金 税率（） 速算扣除数 不超过元的 超过元至元的 超过元至元的 材料二：根据财政部的政策，至年月日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税．如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额全年一次性奖金收入适用税率速算扣除数． 例如，小张全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额元；若小张选择单独计税，则应纳税额元．材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各，或者一方扣除． (1)小李全年税前综合收入为元，其中全年一次性奖金元，专项附加扣除有额度元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式． (2)应届本科毕业生小王，无专项附加扣除．经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为元．已知其全年一次性奖金不低于元但不超过元，试问小王的税前年综合收入范围是多少？ (3)小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为万元，其中小陈全年一次性奖金元，小丽全年一次性奖金元，除子女教育外均无其他专项附加扣除．小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理．从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理． 考点二 二元一次方程组 题型一：二元一次方程组综合求解（高频考题） 1．（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 题型二：已知二元一次方程的解求值（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 2．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为__________． 3．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是__________． 题型三：解二元一次方程组（高频考题） 1．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 2．（2026·浙江台州·一模）解方程组：． 3．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 4．（2025·浙江杭州·二模）解方程组：． 5．（2025·浙江绍兴·三模）解方程组：． 6．（2025·浙江杭州·二模）解方程组： 题型四：列二元一次方程组（高频考题） 1．（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江台州·三模）晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江台州·二模）中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分？已知1钱等于10分，设1尺绫值分，1尺绢值分，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 一元二次方程 题型一：已知一元二次方程的解求值（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 3．（2024·浙江宁波·二模）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2025·浙江台州·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则________． 5．（2025·浙江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有一个实数根，则它的另一个实数根______． 6．（2025·浙江台州·二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是__________． 题型二：一元二次方程根的判别式（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法： ，当，，时，的最小值是，其中（    ） A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 4．（2025·浙江·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 5．（2025·浙江·模拟预测）已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 6．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 8．（2025·浙江温州·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________． 题型三：一元二次方程根与系数的关系（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________． 2．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 4．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 题型四：列一元二次方程（高频考题） 1．（2025·浙江·模拟预测）随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江宁波·模拟预测）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为步，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·三模）如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（   ） A．由题意可列出方程 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 5．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·二模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 题型五：根与系数的关系解答题综合（高频考题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围． 5．（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 6．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线 ，点 和点 是该抛物线与轴的交点． (1)若，求的取值范围； (2)若，现将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，若直线 与新得到的函数图象至少有三个交点，求的取值范围． 考点四 分式方程 题型一：解分式方程（选填）（高频考题） 1．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为_______． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）分式方程的解为______． 3．（2025·浙江衢州·二模）分式方程的解是___________． 4．（2025·浙江宁波·三模）方程的解是______． 5．（2025·浙江宁波·三模）分式方程的解为___________． 考点五 一元一次不等式（组） 题型一：不等式的基本性质（高频考题） 1．（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·浙江杭州·二模）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江台州·二模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二：不等式在数轴上的表示（高频考题） 1．（2026·浙江金华·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江衢州·一模）使有意义的的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·浙江绍兴·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 题型三：不等式中相关计算（高频考题） 1．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·一模）已知一次函数（是常数，）的图象过点与，若，，则的取值范围是___________． 3．（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为_____． 考点六 方程（组）与不等式（组）综合 题型一：方程（组）与不等式（组）计算题（高频考题） 1．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 2．（2026·浙江杭州·一模）解方程： (1)； (2)． 3．（2025·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1)； (2) 4．（2025·浙江·模拟预测）解分式方程： 5．（2025·浙江杭州·三模）（1）计算：； （2）解分式方程：． 6．（2025·浙江温州·三模）解不等式组：，并把不等式组的解表示在数轴上． 7．（2025·浙江杭州·三模）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，其中． 题型二：方程（组）与不等式（组）实际应用（高频考题） 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 2．（2025·浙江温州·三模）实际应用：某工厂利用传送带运输产品，每个产品的质量为2千克． 素材一  如图，记电动机的输出功率为（瓦）、传送带的速度为、每个产品的质量为（千克）、产品的数量为（个），已知（为常数）． 素材二  经测试，当传送带以0.5米/秒的速度运输10个产品时，电动机的输出功率为50瓦． 素材三  电动机的最大输出功率为200瓦． (1)当传送带以1米/秒的速度运输15个产品时，求此时电动机的输出功率． (2)现将传送带的速度调整为0.8米/秒，求此时传送带最多能同时运输多少个产品？ 3．（2025·浙江杭州·二模）初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． (1)购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ (2)学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 4．（2025·浙江·模拟预测）“黄金1号”玉米种子的价格为5元，如果一次性购买以上的种子，超过的部分打8折．设“黄金1号”玉米种子的一次性购买量为x（单位：），相应的付款金额为y（单位：元）． (1)①完成下表： 购买量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 付款金额y/元 2.5 5 7.5 14 … ②求y关于的函数解析式； (2)“黄金2号”玉米种子的价格为a元，且始终不打折．若两种玉米种子的一次性购买量相同，则“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”，请直接写出a的最大值． 5．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 6．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 7．（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $