专题05 圆（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆”专题，覆盖中考核心考点，包括圆的基本性质、切线综合及新定义问题，构建“考情分析-知识框架-重难突破”体系，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生系统掌握垂径定理、圆周角定理等知识，突破切线证明、角度计算等难点。 亮点在于“模型化”和“分层递进”教学策略，如总结垂径直角、切线垂直等几何模型，通过“遇弦作弦心距”辅助线训练培养几何直观，结合北京名校真题设计分层练习。注重逻辑推理与创新意识培养，帮助学生高效掌握解题方法，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题05 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 圆（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：圆的基本性质 题型二：圆切线综合 题型三：圆新定义 必备知识 知识1 圆的基本性质与定理 知识2 直线与圆的位置关系 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新背景、新模型、新设问” 特点，以几何图形、动态变换、综合探究为载体，突出对几何直观、逻辑推理、转化运算的考查，渗透数形结合思想与几何应用意识。 命题内容： 圆：侧重几何基础与综合应用，常与相似、解直角三角形、三角函数结合，切线判定与性质、圆内角度推导为核心考点，动态圆、圆与几何图形综合探究为创新考法。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆基本性质 T14：切线性质；三角形内角和 T14：垂径定理；圆周角定理 T15：垂径定理；切线性质；等腰三角形的性质和判定 T13：切线长定理 圆切线综合 T24：圆周角定理；切线长定理；解直角三角形；相似三角形的判定与性质 T24：解直角三角形；切线性质；相似三角形的判定与性质 T24：圆周角定理的推论；等边三角形的判定和性质；含30°角的直角三角形 T24：全等三角形综合；圆周角定理；切线判定 T24：垂径定理；相似三角形的性质与判定；圆周角定理 圆新定义 T28：解直角三角形；切线性质；勾股定理 T28：点与圆的位置关系；圆周角定理；解直角三角形 T28：坐标与图形相似三角形的判定与性质；圆切线性质 T28：平移；圆与三角形综合 T28：圆的综合问题；旋转综合；等边三角形的判定与性质 命题预测 1. 考情预测 · 圆： · 题型稳定：以选择、填空基础题 + 解答综合题分层考查，难度梯度明显，基础题立足定理识记与简单计算，中档题聚焦圆与几何综合，压轴小问结合动态、探究设问。 · 核心考点：垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、圆内角度换算为必考主干；持续结合相似、解直角三角形、勾股定理综合设问。 · 创新趋势：结合图形变换、动点情境、阴影面积割补计算，弱化繁杂计算，强化几何直观、逻辑推理与转化思想。 · 融合考察：渗透数形结合、模型思想，少量结合数学文化、实际情境，注重几何语言规范书写与定理依据表达。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟记圆核心定理、公式与几何模型，熟练掌握弧长、扇形面积、阴影面积常规计算，杜绝概念性、公式性失分。 · 强化模型：专项训练垂径直角模型、直径直角模型、切线垂直模型、圆内接四边形导角模型，熟练常规辅助线作法。 · 专项突破：针对性练习切线证明、线段长度计算、角度推导综合题，规范几何证明步骤，明确推理依据。 · 综合巩固：加强圆与相似、锐角三角函数、四边形的交叉题型训练，提升条件转化、多知识点联动解题能力。 考点一 圆 题型一 圆的基本性质 1 弧相等可推角相等，标出线段垂直、相等的条件，以便于识别垂径定理； 2 遇到弦作弦心距出垂径定理； 3 连接直径所对的弦出90°圆周角； 4 利用勾股定理列方程求边长、半径、弦长。 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，点C，D在上，且．若，则的大小为_________． 【答案】22 【详解】解：∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．(25-26九下·北京一零一教育集团·零模)如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 【答案】2 【分析】如图所示，连接，，由圆周角定理得到，由等腰三角形三线合一的性质得到，，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 3．(25-26九下·北京德胜中学·月考)如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为__________ 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 4．(25-26九上·北京大兴区人大附中北京经济技术开发区学校·月考)如图，是的切线，A，B为切点，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，及三角形的内角和、四边形内角和的知识．根据四边形的内角和为，根据切线的性质可知，求出的度数，可将的度数求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴在四边形中，． 故答案为：． 题型二 圆切线综合 1 见（证）切线，连半径； 2 遇直径，构直角（90°的圆周角）； 3 遇弦，构垂直--出垂径定理/矩形； 4 圆+相似+三角函数+勾股定理求长度。 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交的延长线于点F． (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，则可得到，推出，进而可证明，根据切线的判定定理得到结论； （2）设，则，，根据勾股定理得到，证明，根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，   ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2）解：由（1）得，，即， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， （已检验）， ． 2．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，、为的弦，与交于点，的延长线于点，． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由角度关系可证得，结合进行等量代换，可求得，即，即可得证； （2）证明，可得，，，再证明，可得，，，，再证明，由线段比例关系即可求出的长． 【详解】（1）解：连接、，如下图所示： ∵，． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)如图，为的直径，点在上，的平分线交于点于点． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点，连接交于点．若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证，由已知，得出，即可得出结论； （2）根据题意得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定，得出，继续利用相似三角形的判定和性质确定，，设，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． 又∵点D在上， ∴直线是的切线． （2）∵是的切线， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 题型三 圆新定义 1．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点S和线段，给出如下定义：若将线段关于点S中心对称，可以得到的一条弦，且线段的中点M到点O的距离，则称线段是的“附属线段”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的“附属线段”是_________，其中_________． (2)已知点，若存在长度为的线段是的“附属线段”，直接写出t的取值范围； (3)已知，若在线段上存在不同的两点，使得线段既是的“附属线段”，又是的“附属线段”，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别画出线段绕旋转后的线段为，线段绕旋转后的线段为，线段绕旋转后的线段为，再结合新定义与勾股定理可得答案； （2）弦绕旋转得到线段，弦的中点Q的对应点为的中点M，连接，作点关于点的对称点，连接，可证明，，取得最小值时，有最小值；取得最大值时，有最大值，接着可通过勾股定理求得，在以点为圆心，半径为的圆上运动，那么当点落在轴的正半轴时，取得最小值；当点落在轴的负半轴时，取得最大值，然后进一步求解即可； （3）绕点旋转后得到的弦，绕点旋转后得到的弦，其中，弦的中点为，弦的中点为，的中点为，连接，设交于点，可证，，，是的中位线，接着利用三角形相似，可得，，那么当取最小值时，取得最小值；当取最大值时，取得最大值，结合图形，可知当时，取最小值，当与重合时，取最大值，然后进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，线段绕S旋转后的线段为，线段绕S旋转后的线段为，线段绕S旋转后的线段为， ∴的“附属线段”是， ∵， ∴线段的中点， ∴； （2）解：如图，弦绕旋转得到线段，弦的中点Q的对应点为的中点M，连接，作点关于点的对称点，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，有最小值；取得最大值时，有最大值； ∵存在长度为的线段是的“附属线段”， ∴，， ∴M在以O为圆心，半径为2的圆上运动， 如图所示： ∵是的中点，不是直径，， ∴， ∴， ∴在直线与直线之间运动， ∵和关于中心对称， ∴M也在直线与直线之间运动， ∵， ∴在以点为圆心，半径为的圆上运动， 如图所示： ∴当点落在轴的正半轴时，取得最小值，最小值，此时取得最小值；当点落在轴的负半轴时，取得最大值，最大值，此时取得最小值，如图所示： 综上，若存在长度为的线段AB是的“附属线段”，t的取值范围； （3）解：如图：绕点旋转后得到的弦，绕点旋转后得到的弦，其中，弦的中点为，弦的中点为，的中点为，连接，设交于点， ∴， ∵是的中点，是的中点，都不是直径， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可求得， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴当取最小值时，取得最小值；当取最大值时，取得最大值， ∵，线段上存在不同的两点， ∴当时，取最小值，当与重合时，取最大值， 如图，， ∵，， ∴， ， ∴的最小值为，即的最小值为； 如图，与重合时，记与轴的交点为，过点作交线段于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为，即的最大值为； 综上，． 2．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，的半径为1．对于外一点和给出如下定义：过点作的两条切线，切点为，若上或其内部存在一点，使四边形是菱形，则称点是的“切菱点”．特别地，当四边形是矩形时，称点是的“切矩点”． (1)如图，在点，，中，的“切菱点”是___________，的“切矩点”是___________； (2)已知点是直线上一点，且点是的“切菱点”，则点的纵坐标的最小值为___________； (3)已知直线上存在两个不同点，使为含有内角的直角三角形，且的斜边上（含端点）存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，切线的性质，点与圆的位置关系； （1）根据定义进行判断即可； （2）点的纵坐标取最小值时，点在第四象限，点在上，据此可求出轴，即可求出此时点的纵坐标； （3）分类讨论：当中，，或，即斜边为时，或；当中，，，即斜边为时，；当中，，，即斜边为时，． 【详解】（1）解：如图所示，为的切线，四边形、、为菱形，且四边形为矩形， ∵点在外，点、在内， ∴点不是的“切菱点”，点，是的“切菱点”， ∵四边形为矩形， ∴点是的“切矩点”． （2）解：如图所示，为的切线，四边形为菱形， ∵点是直线上一点， 要使点是的“切菱点”，且点的纵坐标取得最小值， ∴点在第四象限，点在上， 连接，与交于点，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， 又∵点在上， ∴经过圆心，即为的直径， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，令，得；令，得， ∴点坐标为，即，点坐标为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，即轴， ∵， ∴点的纵坐标的最小值为． （3）解：当中，，或，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示： ∴当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当S是的“切矩点”时，所成的四边形是矩形， 又∵， ∴所成的四边形是正方形，即四边形是正方形，如图所示： ∴， 当时，线段在以为圆心，以为半径的圆的内部， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当线段与以为圆心，以为半径的圆相切时，如图所示， ∴，， ∴， ∴当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， ④当线段上的点为的“切菱点”，且点在上时，如图所示： 由（2）得此时，点到线段的最短距离即为时，即时， ∴此时， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ⑤当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， 综上：当中，，或，即斜边为时，或时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示，即当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，如图所示，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即当时，线段上总存在的“切矩点”，如图所示，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当点在上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段在的内部或圆上，不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当点在以为圆心，以为半径的圆上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，如图所示，即当时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”． 综上所述：或或． 3．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线与相切，则称点Q是关于的“近切点”．已知，，，． (1)若的半径为2， ①在点，，，中，关于的“近切点”是_________； ②直线l经过点，且与x轴垂直，点C在上．若直线l上存在关于的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围； (2)若存在半径为3的，使得对于上任意一点S，都存在的长为t的弦，满足点S是关于的“近切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①取点，连接，根据题意可得线段与劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”，据此结合图形可得答案；②设分别是的切线，由（1）①可知线段和劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”，故当直线l上存在关于的“近切点”时，线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l有交点；据此求出当点R恰好在直线l上时，m的值即可得到答案； （2）设是（半径为3）的切线，可推出关于的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界），则当（半径为3）移动时，能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部，求出当恰好与（半径为3）相切，切点为的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴， ∴都是的切线， 由“近切点”的定义可知，线段与劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴由图可知，只有点是关于的“近切点”； ②设分别是的切线， 由切线的性质可得， ∴点R在过点B且垂直于y轴的直线上； 由（1）①可知线段和劣弧组成的区域（不包括边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴当直线l上存在关于的“近切点”时，线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l有交点； 如图2-1所示，当点R恰好在直线l上时， ∵直线l经过点，且与x轴垂直， ∴点R的横坐标为4， ∴ ∵， ∴点R的纵坐标为2， ∴， 由切线长定理可得； 设， ∵， ∴， 解得或， ∴； 如图2-2所示，当点R在直线l右侧时，此时线段和劣弧组成的区域（不包括边界）与直线l一定有交点， ∴此时满足题意，即时满足题意， 又∵“近切点”在劣弧上， ∴， ∴； （2）解：如图3-1所示，设是（半径为3）的切线， 则由（1）可知，线段与劣弧组成的区域（不包含边界）内的点都是关于的“近切点”， ∴随着弦在上运动时，线段与劣弧组成的区域（不包含边界）也随着运动， ∴关于的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）， ∵对于上任意一点S，都存在的长为t的弦，满足点S是关于的“近切点”， ∴当（半径为3）移动时，能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部， 如图3-2所示，当恰好与（半径为3）相切，切点为的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时， 由切线的性质可得，由三线合一定理可得， ∴T、L、D三点共线； ∵，，． ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， 由切线长定理可得， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 设与交于点S，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵是（半径为3）内的一条弦， ∴， ∴，即． 知识1 圆的基本性质与定理 1.垂径定理  垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 辅助线：遇弦作弦心距，构造直角三角形（半径、弦心距、半弦长）。 注意：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。. 2.圆心角、弧、弦、弦心距关系  同圆或等圆中： 圆心角相等 ⟺ 弧相等 ⟺ 弦相等 ⟺ 弦心距相等 3.圆周角定理  ①同弧或等弧所对的圆周角相等。  ②圆周角等于它所对圆心角的一半。  ③直径所对的圆周角是90∘； ④90∘的圆周角所对的弦是直径。  ⑤圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角。 知识2 直线与圆的位置关系 切线性质与判定 ①切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 ②切线判定： 经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等； 这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 1．(25-26九上·北京第八十中学·月考)如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 2．(25-26九下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 【答案】56 【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．(24-25九上·北京第四中学·月考)如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 4．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，是的直径，与相切于点A，过点A作的垂线，交于B，连． (1)求证：是切线； (2)连接，交AB于E，若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据已知条件利用垂径定理得出，再由等腰三角形三线合一的性质推出，利用等腰三角形的性质，角度的和差关系结合已知条件即可证明结论； （2）结合已知条件和直角三角形两锐角互余得出，利用正切的定义求得相关线段的长度，再证明和，得到相关线段的长度，最后利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵于点D， ∴， 在中，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，， 在中，． 5．(25-26九下·北京三帆中学·零模)如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长为，的长为 【分析】（1）连接并延长，交于点，易得垂直平分，结合切线的性质可证，故可得，即可证出结果； （2）连接，令，则，得表达式，证明，得，，，再证，得，可解出的值，得半径的长，再证明，求得 ，进而证明，，即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，如下图所示： ∵， 由垂径定理得垂直平分，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，作图如下： ∵为的直径， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ，， ∵， ， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 6．(25-26九下·北京大兴区第七中学·月考)如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等，得出，再根据直角三角形两锐角互余，推出，从而得出，最后根据度的圆周角所对的弦是直径得出是直径，即可证明结论； （2）利用角的正切值，得出，利用等角对等边得出，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴​， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴​， ∴， ∴． 7．(25-26九下·北京师达中学·零模)如图，的边为的直径，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．， (1)求证：为的切线； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据三线合一得出，利用三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）连接，根据平行线得出，，令，利用勾股定理表示出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例求出的值，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴根据三角形内角和定理得，， 又∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， 令，则，， 由勾股定理得， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得． 8．(25-26九下·北京十一学校龙樾实验中学·月考)在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点，给出如下定义：若上存在点使得线段的垂直平分线与相切于点，则称点是点的“垂切点”．线段的长度称为点关于点的垂切系数． (1)如图1，点，在，，中，点______是点的“垂切点”，垂切系数______． (2)点在轴上，点是点的“垂切点”，则点的纵坐标的取值范围为______． (3)已知点、，若线段上存在点，使得点是上某点的“垂切点”，且点关于点的垂切系数满足，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，4 (2) (3)或 【分析】（1）根据题中的定义可知，过点的切线为，通过作图可判断出只有的垂直平分线可以是，从而求得垂切系数a； （2）由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点，利用解直角三角形求出，进而求出，利用勾股定理可求得此时点的纵坐标，同理求出的纵坐标，从而得到点C在y轴右侧时纵坐标的取值范围，同理利用轴对称的性质可得到点C在y轴左侧时纵坐标的取值范围； （3）由于点P关于点C的垂切系数a满足，作出相关图象，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D，利用勾股定理求得，，的值，从而得出的取值范围，由点M和点N的坐标可知点M在直线上，为一条水平长度为4的线段，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与6为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可，分情况讨论与与6为半径的圆环区域的交点情况，即可求得t值，并最终得到t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，过点的切线为， 如图，在，，三个点中，只有的垂直平分线可以是， ∴点是点C的“垂切点”，此时， ∴垂切系数； （2）解：由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线， 要使点A在x轴上，且点A是点C的“垂切点”， 如图，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴点C在上 ∴的取值范围是， 同理，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴点C在上 ∴的取值范围是， 综上所述，点C纵坐标取值范围是． （3）解：由题意知，点P关于点C的垂切系数a满足， 如图，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D， ∴，， 在中，， 在中，， ， ∴当在以O为圆心，4为半径的上运动时，始终保持点P关于点C的垂切系数a满足， ∴的取值范围是， ∵，， ∴点M在直线上，为一条水平长度为4的线段， 如图，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与6为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可， 当与半径为6的相切时，即，解得， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为6的上时，则有，解得，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 9．(25-26九下·北京一零一教育集团·零模)对于定点与，为上的动点，若存在点，使得，则称点是点对于定点关于的“关联点”，在平面直角坐标系中，已知的半径为，点的坐标为． (1)已知点为上的动点． ①在三个点，，中，___________（填“”、“”或“”）为点对于定点关于的“关联点”； ②试判断在直线上是否存在点对于定点关于的“关联点”，并说明理由； (2)若为上的动点，点是点对于定点关于的“关联点”，直接写出点纵坐标的最大值． 【答案】(1)①和；②不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）①对于，取点，经过计算可得，符合题意；对于，取点，同理可得符合题意；对于，过点作的两条切线，切点分别为，，结合三角函数和切线的性质可得，由于点在内部，因此圆上不存在点满足； ②设点为直线任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，利用三角函数可得随的增大而减小，因此当与直线垂直时，即最大，计算可得此时，而点在内部，即恒成立，故不存在； （2）设的中点为，点的坐标为，由可得，点在以为直径的圆上，因此当轴时，点的纵坐标最大，经过计算此时，结合可得，则．设，则，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：①对于，如图，取点， 由勾股定理可得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，符合题意， ∴点是点对于定点关于的“关联点”； 对于，如图，过点作的两条切线，切点分别为，， 由勾股定理可得， ∵与相切， ∴， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∵点在内部， ∴，， ∴上不存在点满足， ∴点不是点对于定点关于的“关联点”； 对于，如图，取点， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，符合题意， ∴点是点对于定点关于的“关联点”； 综上所述，答案为和； ②如图，点为直线任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，， ∵、与相切， ∴， 由切线的定义可知，上的点都在边上或者内部， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴随的增大而减小， 又∵垂线段最短， ∴当与直线互相垂直时，最大，即最大， 如图，设直线交轴于点，交轴于点，且， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴对于直线上任意一点都有，当且仅当时，取得最大值， 又∵当时，点在内部， ∴恒成立，即上不存在点满足， ∴直线上不存在点对于定点关于的“关联点”； （2）解：如图，设的中点为，点的坐标为， ∵点是点对于定点关于的“关联点”， ∴， ∴点在以为直径，圆心为的圆上， ∴当轴时，点的纵坐标最大， ∵，， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得， ∴， ∴点的纵坐标最大为， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，符合题意， ∴点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题考查圆与新定义，涉及切线的性质定理，三角函数的应用，二次函数的最值，利用勾股定理计算两点距离等知识点，运用逆向思维是解题的关键． 10．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，结合“中称点”的定义可知，弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再进一步分析即可；②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再分析的两种极端位置，进而求出点D的纵坐标，再结合图形即可得出的取值范围； （2）将分别绕点，旋转得到，，连接，，，此时点在上，点在上，且，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，，根据弦为的“中称弦”可得，推出是等边三角形，则与的位置关系为外切，设与外切于点，连接交于点，进一步分析可知弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界），再结合线段上存在弦的“中称点”，利用一次函数的性质即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∵，， ∴点在内，点在上， ∴点，是弦的“中称点”； 延长交轴于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 又∵，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴点不是弦的“中称点”； 综上，点，是弦的“中称点”； ②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 则， ∵， ∴， ∵是和的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点D的纵坐标为； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 同理可得，点D的纵坐标为； ∵弦为的“中称弦”，且， ∴， 又∵， ∴点D的纵坐标的取值范围是； （2）解：将分别绕点，旋转得到，，连接，，， 此时点在上，点在上，且， 如图，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，， 同理（1）的方法可得， ∵弦为的“中称弦”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵与的半径都为2，且， ∴与的位置关系为外切， 设与外切于点，连接交于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是和的外公切线， ∴， ∴， ∴弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界）； 对于，当时，；当，； ∴，， 若， 当直线恰好与以点为圆心，6为半径的圆相切时，有最大值， 记此时点为，点为， 设切点为，连接，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点恰好在以点为圆心，为半径的圆上时，有最小值， 记此时点为，则， ∴b的取值范围为； 若，由对称性可知，，， ∴b的取值范围为； 综上，b的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 圆（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：圆的基本性质 题型二：圆切线综合 题型三：圆新定义 必备知识 知识1 圆的基本性质与定理 知识2 直线与圆的位置关系 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新背景、新模型、新设问” 特点，以几何图形、动态变换、综合探究为载体，突出对几何直观、逻辑推理、转化运算的考查，渗透数形结合思想与几何应用意识。 命题内容： 圆：侧重几何基础与综合应用，常与相似、解直角三角形、三角函数结合，切线判定与性质、圆内角度推导为核心考点，动态圆、圆与几何图形综合探究为创新考法。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 圆基本性质 T14：切线性质；三角形内角和 T14：垂径定理；圆周角定理 T15：垂径定理；切线性质；等腰三角形的性质和判定 T13：切线长定理 圆切线综合 T24：圆周角定理；切线长定理；解直角三角形；相似三角形的判定与性质 T24：解直角三角形；切线性质；相似三角形的判定与性质 T24：圆周角定理的推论；等边三角形的判定和性质；含30°角的直角三角形 T24：全等三角形综合；圆周角定理；切线判定 T24：垂径定理；相似三角形的性质与判定；圆周角定理 圆新定义 T28：解直角三角形；切线性质；勾股定理 T28：点与圆的位置关系；圆周角定理；解直角三角形 T28：坐标与图形相似三角形的判定与性质；圆切线性质 T28：平移；圆与三角形综合 T28：圆的综合问题；旋转综合；等边三角形的判定与性质 命题预测 1. 考情预测 · 圆： · 题型稳定：以选择、填空基础题 + 解答综合题分层考查，难度梯度明显，基础题立足定理识记与简单计算，中档题聚焦圆与几何综合，压轴小问结合动态、探究设问。 · 核心考点：垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、圆内角度换算为必考主干；持续结合相似、解直角三角形、勾股定理综合设问。 · 创新趋势：结合图形变换、动点情境、阴影面积割补计算，弱化繁杂计算，强化几何直观、逻辑推理与转化思想。 · 融合考察：渗透数形结合、模型思想，少量结合数学文化、实际情境，注重几何语言规范书写与定理依据表达。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟记圆核心定理、公式与几何模型，熟练掌握弧长、扇形面积、阴影面积常规计算，杜绝概念性、公式性失分。 · 强化模型：专项训练垂径直角模型、直径直角模型、切线垂直模型、圆内接四边形导角模型，熟练常规辅助线作法。 · 专项突破：针对性练习切线证明、线段长度计算、角度推导综合题，规范几何证明步骤，明确推理依据。 · 综合巩固：加强圆与相似、锐角三角函数、四边形的交叉题型训练，提升条件转化、多知识点联动解题能力。 考点一 圆 题型一 圆的基本性质 1 弧相等可推角相等，标出线段垂直、相等的条件，以便于识别垂径定理； 2 遇到弦作弦心距出垂径定理； 3 连接直径所对的弦出90°圆周角； 4 利用勾股定理列方程求边长、半径、弦长。 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，点C，D在上，且．若，则的大小为_________． 2．(25-26九下·北京一零一教育集团·零模)如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 3．(25-26九下·北京德胜中学·月考)如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为__________ 4．(25-26九上·北京大兴区人大附中北京经济技术开发区学校·月考)如图，是的切线，A，B为切点，，则_______ ． 题型二 圆切线综合 1 见（证）切线，连半径； 2 遇直径，构直角（90°的圆周角）； 3 遇弦，构垂直--出垂径定理/矩形； 4 圆+相似+三角函数+勾股定理求长度。 1．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交的延长线于点F． (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 2．(25-26九下·北京十一学校·月考)如图，为的直径，、为的弦，与交于点，的延长线于点，． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 3．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)如图，为的直径，点在上，的平分线交于点于点． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点，连接交于点．若，求长． 题型三 圆新定义 1．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点S和线段，给出如下定义：若将线段关于点S中心对称，可以得到的一条弦，且线段的中点M到点O的距离，则称线段是的“附属线段”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的“附属线段”是_________，其中_________． (2)已知点，若存在长度为的线段是的“附属线段”，直接写出t的取值范围； (3)已知，若在线段上存在不同的两点，使得线段既是的“附属线段”，又是的“附属线段”，直接写出d的取值范围． 2．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，的半径为1．对于外一点和给出如下定义：过点作的两条切线，切点为，若上或其内部存在一点，使四边形是菱形，则称点是的“切菱点”．特别地，当四边形是矩形时，称点是的“切矩点”． (1)如图，在点，，中，的“切菱点”是___________，的“切矩点”是___________； (2)已知点是直线上一点，且点是的“切菱点”，则点的纵坐标的最小值为___________； (3)已知直线上存在两个不同点，使为含有内角的直角三角形，且的斜边上（含端点）存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，直接写出的取值范围． 3．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线与相切，则称点Q是关于的“近切点”．已知，，，． (1)若的半径为2， ①在点，，，中，关于的“近切点”是_________； ②直线l经过点，且与x轴垂直，点C在上．若直线l上存在关于的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围； (2)若存在半径为3的，使得对于上任意一点S，都存在的长为t的弦，满足点S是关于的“近切点”，直接写出t的取值范围． 知识1 圆的基本性质与定理 1.垂径定理  垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 辅助线：遇弦作弦心距，构造直角三角形（半径、弦心距、半弦长）。 注意：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。. 2.圆心角、弧、弦、弦心距关系  同圆或等圆中： 圆心角相等 ⟺ 弧相等 ⟺ 弦相等 ⟺ 弦心距相等 3.圆周角定理  ①同弧或等弧所对的圆周角相等。  ②圆周角等于它所对圆心角的一半。  ③直径所对的圆周角是90∘； ④90∘的圆周角所对的弦是直径。  ⑤圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角。 知识2 直线与圆的位置关系 切线性质与判定 ①切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 ②切线判定： 经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等； 这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 1．(25-26九上·北京第八十中学·月考)如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为________． 2．(25-26九下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 3．(24-25九上·北京第四中学·月考)如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ________ ． 4．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，是的直径，与相切于点A，过点A作的垂线，交于B，连． (1)求证：是切线； (2)连接，交AB于E，若，，求的长． 5．(25-26九下·北京三帆中学·零模)如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 6．(25-26九下·北京大兴区第七中学·月考)如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 7．(25-26九下·北京师达中学·零模)如图，的边为的直径，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．， (1)求证：为的切线； (2)连接交于点，若，，求的长． 8．(25-26九下·北京十一学校龙樾实验中学·月考)在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点，给出如下定义：若上存在点使得线段的垂直平分线与相切于点，则称点是点的“垂切点”．线段的长度称为点关于点的垂切系数． (1)如图1，点，在，，中，点______是点的“垂切点”，垂切系数______． (2)点在轴上，点是点的“垂切点”，则点的纵坐标的取值范围为______． (3)已知点、，若线段上存在点，使得点是上某点的“垂切点”，且点关于点的垂切系数满足，直接写出的取值范围______． 9．(25-26九下·北京一零一教育集团·零模)对于定点与，为上的动点，若存在点，使得，则称点是点对于定点关于的“关联点”，在平面直角坐标系中，已知的半径为，点的坐标为． (1)已知点为上的动点． ①在三个点，，中，___________（填“”、“”或“”）为点对于定点关于的“关联点”； ②试判断在直线上是否存在点对于定点关于的“关联点”，并说明理由； (2)若为上的动点，点是点对于定点关于的“关联点”，直接写出点纵坐标的最大值． 10．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $