第五章 分式与分式方程单元测试 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程（解析版） （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 3、若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 4、下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 5、下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6、若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 7、已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 8、若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或0 C．或0或2 D．或或0 9、若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10、甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若分式无意义，则 ． 12、若，则 ． 13、下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 14、若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 15、浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 16、如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、(1)； (2)． 18、解分式方程 (1)； (2)． 19、先化简：，然后从2，3，4中选一个合适的数作为的值，代入求值． 20、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 21、刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 22、甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？ （2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？ 23、阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程（解析版） （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：，分母中不含字母，不是分式； ，是已知数，分母中不含字母，不是分式； ，分母中含有字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； ，分母中含有字母，是分式； ，分母中含有字母，是分式； ∴分式有3个， 2、若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：， 所以， 3、若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：分式的值为， ，且， 解得：， 4、下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、是最简分式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简分式，不符合题意； C、，则此项不是最简分式，不符合题意； D、，则此项不是最简分式，不符合题意； 5、下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 6、若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【解析】解：， 故把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的， 7、已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 8、若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或0 C．或0或2 D．或或0 【答案】D 【解析】解：原方程：， 将第二个分母变形为，方程可改写为：， 两边乘以最简公分母，得：， 展开并整理：， 则， 情况1：整式方程无解， 当（即）时，方程变为，显然无解，原分式方程也无解， 情况2：解为增根， 当（即）时，解为：， 若此解使分母为零（即或），则为增根： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为、或． 9、若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 10、甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得，即 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若分式无意义，则 ． 【答案】 【解析】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 12、若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， 把代入， 得． 13、下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【解析】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 14、若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】解： 去分母得：， 解得：， ∵原方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 15、浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【解析】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 16、如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 【答案】 【解析】解：， ； 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2） ． 18、解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【解析】（1）解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． 19、先化简：，然后从2，3，4中选一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】， 【解析】解： ∵ ∴ 则把代入， 得． 20、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【解析】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 21、刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【解析】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 22、甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？ （2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？ 【答案】（1）甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件 （2）甲至少加工了40天． 【解析】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件， 由题意得：＝+5 解得x＝40 经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义． ∴ 甲：1.5x＝60 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得 由①得y＝75﹣1.5x③ 将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800 解得x≥40， 当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天． 23、阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $