第五章 分式与分式方程 单元测试-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 单元测试 姓名：________　　班级：________　　分数：________ 一、单项选择题(每小题4分，共40分) 1．下列各式中是分式的是( A ) A. B. C．2y D. 2．下列各分式中，属于最简分式的是( C ) A. B. C. D. 3．如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值( B ) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 4．化简··的结果为C A. B．xy4z3 C．xy4z2 D．y5z 5．下列说法中错误的是( C ) A．当x＝2时，分式无意义 B．当x>5时，分式的值为正数 C．当分式＝0时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 6．解分式方程－2＝，去分母得( A ) A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3 7．下列式子中，错误的是( D ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝－ 8．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为（ A ） A. B. C. D．－ 9．关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为（ B ） A．5 B．4 C．3 D．1 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽。”大意：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7 200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7 200文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ A ） A．4(x－1)＝ B.＝4 C．4x－1＝ D.＝4 二、填空题(每小题4分，共20分) 11．分式＝变形成立的条件是x≠3且x≠0。 12．在一块b公顷的稻田上插秧。如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成。一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍。 13．若＝－，其中m，n为常数，则mn＝1。 14．如果a－b＝5，那么代数式·的值是5。 15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是2或1。 三、解答题(共90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8分)化简： (1)＋； 解：原式＝＋ ＝＋ ＝1。 (2)·。 解：原式＝· ＝· ＝－2(a＋3) ＝－2a－6。 17．(8分)解下列方程： (1)＋1＝； 解：方程两边都乘(x＋5)，得3＋x＋5＝1， 解这个方程，得x＝－7。 经检验，x＝－7是原方程的根。 (2)＋＝。 解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)＋3(x＋1)＝6。 解这个方程，得x＝1。 经检验，x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解。 18．(6分)先化简·，然后选择一个你喜欢的x值计算该代数式的值。 解：原式＝·＝， ∵x≠±1 且x≠2， ∴取x＝0 时，原式＝－1。(答案不唯一) 19．(8分)老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算！如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算。规则是每人只能看到前一人传过来的式子。 (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请写出正确的解答过程。 解：(1)小明，小红。 (2)正确的解答过程如下： －a＋1＝－(a－1) ＝－ ＝＝。 20．(8分)有一道题“先化简，再求值：÷，其中x＝－3”，小玲做题时把“x＝－3”错抄成了“x＝3”，但她的计算结果也是正确的，请解释这是怎么回事？ 解：原式＝·(x＋2)(x－2) ＝(x－2)2＋4x＝x2＋4。 当x＝±3时，x2＋4的值相同，她的计算结果也是正确的。 21．(10分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”。如：＝＝＋＝1＋，则是“和谐分式”。 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是①③④(选填序号)； ①；②；③；④。 (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝a－1＋； (3)应用：先化简－÷，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 解：(3)原式＝＝＝2＋。 当x＋1＝±1或x＋1＝±2时，分式的值为整数， ∴x＝0，－2，－3或1， ∵分式有意义时，∴x≠0，x≠－1，x≠1，x≠－2， ∴x＝－3，∴x＝－3时，该式的值为整数。 22．(10分)倒数法是一种数学解题方法，通常用于解决涉及分式或分数的问题，其基本思路：对于一个分数或分式，先求出它的倒数，通过对倒数进行运算和处理，得出倒数的结果，然后再求该结果的倒数，从而得到原分数或分式的值。 例如：已知＝，求的值。 解：由＝可知x≠0，∴＝2，即x＋＝2， ∴＝x2＋＝－2＝22－2＝2，∴＝。 请仿照上述方法，解决下面问题： (1)若＝2 026，求的值； (2)已知＝，求的值。 解：(1)由＝2 026，可知a＋2 026＝， 则a＋2 027＝a＋2 026＋1＝＋1＝， ∴＝。 (2)由＝可知x≠0， ∴＝5，∴x－1＋＝5, 即x＋＝6， ∴＝x2＋＋1＝－2＋1＝62－2＋1＝35， ∴＝。 23．(8分)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵。由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵。实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是 ①＝－1；②＝(1＋20%)·。 (1)x表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，y表示的实际意义是实际种树的天数； (2)选择其中一个方程解答此题。 解：(2)(答案不唯一)选择方程①＝－1，解得x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的根，且符合题意。 (1＋20%)×40＝48(棵)。 答：实际每天种48棵树。 24．(12分)阅读下面材料，解答后面的问题。 解方程：－＝0。 解：设y＝，则原方程化为y－＝0。 方程两边同乘y，得y2－4＝0，解得y＝±2。 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解。 ∴当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝。 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝。 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________； (2)模仿上述换元法解方程：－－1＝0。 解：(1)y－＝0。 (2)原方程化为－＝0，设y＝，则原方程化为y－＝0。 方程两边同乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1。 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解。 当y＝1时，＝1，该方程无解； 当y＝－1时，＝－1，解得x＝－。 经检验，x＝－是原分式方程的解。 ∴原分式方程的解为x＝－。 25．(12分)为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30 000元购进甲种运动鞋的数量与用21 000元购进乙种运动鞋的数量相同。 (1)求甲、乙两种运动鞋的进价(用列分式方程的方法解答)； (2)该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋进货数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元。设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w和m的函数关系式，并求出总利润的最大值。 解：(1)设甲种运动鞋的进价是每双x元，则乙种运动鞋的进价是每双(x－60)元。根据题意，得＝，解得x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的根，且符合题意。 ∴x－60＝140。 答：甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双。 (2)由题意，得 w＝(350－200)m＋(300－140)(200－m)＝－10m＋32 000。 ∵甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋进货数量的， ∴m≥(200－m)，解得m≥50。 ∵－10<0，∴w随m 的增大而减小， ∴当m＝50时，w取得最大值，w最大＝31 500。 答：w与m的函数关系式是w＝－10m＋32 000，总利润的最大值是31 500元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 单元测试 姓名：________　　班级：________　　分数：________ 一、单项选择题(每小题4分，共40分) 1．下列各式中是分式的是( ) A. B. C．2y D. 2．下列各分式中，属于最简分式的是( ) A. B. C. D. 3．如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值( ) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 4．化简··的结果为C A. B．xy4z3 C．xy4z2 D．y5z 5．下列说法中错误的是( ) A．当x＝2时，分式无意义 B．当x>5时，分式的值为正数 C．当分式＝0时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 6．解分式方程－2＝，去分母得( ) A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3 7．下列式子中，错误的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝－ 8．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为（ ） A. B. C. D．－ 9．关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．1 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽。”大意：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为7 200文，如果每株椽的运费是4文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问7 200文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A．4(x－1)＝ B.＝4 C．4x－1＝ D.＝4 二、填空题(每小题4分，共20分) 11．分式＝变形成立的条件是___________。 12．在一块b公顷的稻田上插秧。如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成。一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的___________倍。 13．若＝－，其中m，n为常数，则mn＝___________。 14．如果a－b＝5，那么代数式·的值是_________。 15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是_________。 三、解答题(共90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8分)化简： (1)＋； (2)·。 17．(8分)解下列方程： (1)＋1＝； (2)＋＝。 18．(6分)先化简·，然后选择一个你喜欢的x值计算该代数式的值。 19．(8分)老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算！如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算。规则是每人只能看到前一人传过来的式子。 (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请写出正确的解答过程。 20．(8分)有一道题“先化简，再求值：÷，其中x＝－3”，小玲做题时把“x＝－3”错抄成了“x＝3”，但她的计算结果也是正确的，请解释这是怎么回事？ 21．(10分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”。如：＝＝＋＝1＋，则是“和谐分式”。 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________(选填序号)； ①；②；③；④。 (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝___________； (3)应用：先化简－÷，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 22．(10分)倒数法是一种数学解题方法，通常用于解决涉及分式或分数的问题，其基本思路：对于一个分数或分式，先求出它的倒数，通过对倒数进行运算和处理，得出倒数的结果，然后再求该结果的倒数，从而得到原分数或分式的值。 例如：已知＝，求的值。 解：由＝可知x≠0，∴＝2，即x＋＝2， ∴＝x2＋＝－2＝22－2＝2，∴＝。 请仿照上述方法，解决下面问题： (1)若＝2 026，求的值； (2)已知＝，求的值。 23．(8分)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵。由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵。实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是 ①＝－1；②＝(1＋20%)·。 (1)x表示的实际意义是_____________________，y表示的实际意义是___________________； (2)选择其中一个方程解答此题。 24．(12分)阅读下面材料，解答后面的问题。 解方程：－＝0。 解：设y＝，则原方程化为y－＝0。 方程两边同乘y，得y2－4＝0，解得y＝±2。 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解。 ∴当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝。 经检验，x＝－1或x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝。 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________； (2)模仿上述换元法解方程：－－1＝0。 25．(12分)为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30 000元购进甲种运动鞋的数量与用21 000元购进乙种运动鞋的数量相同。 (1)求甲、乙两种运动鞋的进价(用列分式方程的方法解答)； (2)该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋进货数量的，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元。设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w和m的函数关系式，并求出总利润的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $