第四章 因式分解单元测试2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各等式从左到右属于因式分解变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是因式分解，不符合题意； B、，选项因式分解错误，不符合题意； C、，选项因式分解错误，不符合题意； D、，是因式分解且分解正确，符合题意； 2、多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 3、若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴； 4、若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【详解】解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 5、已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 6、如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 7、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：济、南、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．游济南 B．我爱游 C．我爱济南 D．我游济南 【答案】C 【详解】解： ， 所以结果呈现的密码信息可能是：我爱济南． 8、下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用完全平方公式分解因式； ③不能用公式法因式分解； ④，能用平方差公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； ⑥不能用公式法因式分解； 综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个． 9、已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵， ， ∴． 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【详解】解： ，其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式为 ． 【答案】 【详解】解：多项式中， 系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是， 因此公因式是． 故答案为：． 12、分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ． 13、如果两数满足，那么 ． 【答案】 【详解】解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 14、已知，则代数式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 15、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【答案】2026 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 16、已知，，则整式的值为 ． A． B． C． D．3 【答案】-3 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 三、解答题：本题共7小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 18、先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 19、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； （2）解：． 20、如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】(1) (2)49 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴． 21、阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 22、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 23、材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各等式从左到右属于因式分解变形的是（   ） A． B． C． D． 2、多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3、若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 4、若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 5、已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 6、如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 7、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：济、南、我、爱、游．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．游济南 B．我爱游 C．我爱济南 D．我游济南 8、下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9、已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式为 ． 12、分解因式： ． 13、如果两数满足，那么 ． 14、已知，则代数式的值为 15、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 16、已知，，则整式的值为 ． A． B． C． D．3 三、解答题：本题共7小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： (1) (2) 18、先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 19、 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 20、如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 21、阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 22、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 23、材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $