直线与圆的实际应用问题归类探析-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

解题管款创新题追提潮语中学生教理化 高三数学2026年3月 直线与圆的实际应用问题归类探析 ■江苏省苏州市相城区望亭中学 邵洁 直线和圆是高中数学重要的知识点之 一，也是高考常考的内容。在新课标视角下， (2)由(1D知，点M的轨迹是以(0，专)为 对知识的考查不仅局限于基础知识和基本技 圆心，子为半径的圆。若电子狗在线段FP 能，而且倾向于对基本知识和基本技能的灵 上总能逃脱，则直线FP与圆M在x>0时 活应用，更加注重对能力和核心素养的考查。 相离。设直线FP:kx一y十4=0(k<0),则 基于此，文章从直线与圆的实际应用角度出 发，对题型进行梳理，并提出答题策略。 十石>3，即k<3,解得-5<6<0，即 3 4 一、实际应用中的优化问题 优化问题一般体现在建设和生产当中， 0<tan∠FPA<√3，因此「AP|= 而涉及直线与圆的优化，往往是在建设当中， 具体如距离的最值、面积的最值等。 tan FPA 3°。又因为AP≤10，所以 例1如图1，是矩形 机器人比赛场地，已知AD 1AP的取植意固为（点0 =10m,在AB上距离A ,点评：本题以热门话题机器人为背景，聚 点4m的点F处放置一只 图1 焦直线与圆模型问题的考查。解决此类问题 电子狗，在距离A点2m 的核心在于构建合适的平面直角坐标系，将 的点E处放置一个机器人，机器人行走速度 实际问题巧妙地转化为几何问题，进而通过 为v,电子狗行走速度为2，若电子狗和机器 建立直线与圆的数学模型来求解。在解题过 人在场地内沿直线方向同时到达场地内的一 程中，需把握两个关键环节：首先，进行有效 点M处，则视为电子狗被机器人捕捉。 的转化处理，将实际情境中的问题抽象为数 (1)求点M的轨迹方程； 学问题，为后续分析奠定基础；其次，要明确 (2)若P为矩形场地AD边上的一点 求最值的常用方法，通过这些方法对问题进 电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取 行深入分析和求解，从而找到最优解。 值范围。 二、实际应用中的航海问题 解析：(1)如图2所 航海问题也是实际问题中的热点。主要 示，建立平面直角坐标 考查直线与圆在安全航行问题中的应用，如 系，则E(0,2),F(0,4)。 暗礁、灯塔等问题。 设点M(x,y)(0≤x≤ 例2如图3，某海面 FM 图2 10),由题意知 上有O,A,B三个小岛（面积 EMI 大小忽略不计)，A岛在O岛 2=2,即1FM=2EM1,代人坐标得 u 的北偏东45°方向距O岛 √x+(y-4)=2√x+(y-2),两边平 40√2km处，B岛在O岛的 方化简整理得：+(-)-5(0≤x< 正东方向距O岛20km处。 图3 以O为坐标原点，O的正东 号)，所以点M的轨迹方程为x十（一专） 方向为x轴的正方向，1km为一个单位长 度，建立平面直角坐标系。圆C经过O,A,B 写(o≤x≤) 三点。 13 中学生款理化餐整数学照婆智潮 (1)求圆C的方程； 方向60m处，点C位于点O正东方向 (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一 170m处(OC为河岸)，tan∠BC0=3。 船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40km 处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方 1)求新桥BC的长； 向，试问：该船有没有触礁的危险？ (2)当圆形保护区的面积最大时，求OM 解析：(1)因为A岛在O岛的北偏东 的长。 45°方向距O岛40√2km处，所以点 解析：(1)如图4，以O为坐标原点，OC, OA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则 A(40,40)。由题意知，B(20,0)。设过O, A,B三点的圆C的方程为x2+y2十Dx十Ey C(170,0),A(0,60)。由题意知kc=一4 3 F=0, 十F三0，则 402+40+40D+40E+F=0,解 则直线BC的方程为y= 4(x-170)。又 3 202+20D+F=0, 13 kAB=一 k ，故直线AB的方程为y= D=-20, 得E=一60，所以圆C的方程为x2十y 4 y=- 3 3 -(x-170), F=0, x十60。联立 解得 4 3 20x-60y=0。 y=4x+60, (2)因为船D在。岛的南偏西30°方向 x=80, 距O岛40km处，所以D(-20,-20√3)。 即B(80,120)。所以|BC1= y=120, 若船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的 √(80-170)+1202=150(m)。 航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为 (2)设OM=t,即M(0,t)(0t60), x一y+20一20√3=0。由(1)知，圆C的圆 由(1)知直线BC的方程为4x+3y一680= 心为C(10,30),半径r=10√10，则圆心C 0,故圆M的半径，=|3t一680 5 。由题意可 到直线1的距离4=10-30+20-2051 √2 r一t≥80， 知 由于0≤t60,因此 r-(60-t)≥80， 10√6。因为d<r,所以该船有触礁的危险。 点评：本题是在航海安全的情境下，考查 r= 131-680=680-3t=136- 5 5 5t,所以 直线与圆的相关知识。解决这类问题首先需 3 要将其转化到平面直角坐标系中，因此要根 136-5t-t≥80， 解得10t35。 据问题建立恰当的平面直角坐标系，再根据 、3 数形结合，建立起数与形的关系，求出圆和直 136-3t-(60-t)≥80， 线的方程，即可解决数学情境中的问题。 所以当t=10,即OM=10时，r取得最大值 三、实际应用中的测量问题 130m,此时圆形保护区的面积最大。 ,点评：本题是在建桥的同时，建立保护区的 例3如图4，为保 情境下，考查直线与圆的问题。第一问是求桥 护河上古桥OA,规划建 的长度，考查直线模型；第二问是求圆形保护区 一座新桥BC,同时设立 160m 的面积最大值，即圆的最大值。解决问题时，需 一个圆形保护区。规划要 170 要根据情境建立恰当的平面直角坐标系，通过 求：新桥BC与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆 图4 数与形的关系，转化为数学问题进行解决。 本文系统梳理了直线与圆模型在实际问 心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古 题中的应用，聚焦高考对知识与素养的考查 桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均 要求。通过典型例题解析，提炼出直线与圆的 不少于80m。经测量，点A位于点O正北 14 解题管效创新题追提测酒中学生教理化 高三数学2026年3月 ● 深度认知数学问题情境，破解圆锥曲线的离心率问题 ■江苏省常州市龙城高级中学 庄心璇 解析几何作为高中数学的核心知识模 AF,即 =(2c)2+ 块，历来是高考命题的重点考查内容，其中圆 ,整理可得6 锥曲线的离心率问题因其综合性强、计算复 =4c2。又因为椭圆C的长轴长为4√，所以 杂度高成为同学们普遍反映的难点。通过系 统梳理近几年高考命题特征，将离心率问题 a=23。将a=25代人 a" =4c2,得b1= 归纳为三大核心题型：基于定义公式的直接 16c2,即b2=4c。再将a=2√5和b2=4c代 计算型、需要构建线性方程的转化型，以及问 入a2一b2=c2,整理得c2十4c一12=0，解得 题条件求解取值范围的综合型。下面结合典 c=2或c=一6（舍去），以椭圆C的离心率 型例题，深人剖析各类题型的命题特征与解 题策略，为同学们提供可操作的应试指导。 a 3 一、直接运用定义公式的基础计算型 ,点评：本题属于椭圆离心率的基础计算题 这类题型属于基础计算型，其典型特征 型，具体考查了椭圆的定义、通径及相关性质。 在于题目条件可直接求出椭圆或双曲线中的 解答这类问题的一般步骤为：首先，根据题目 a,b,c三个关键参数。具体表现为：根据已 条件建立关于a,b,c的方程（通常需至少两个 知条件，至少能建立三个关于a,b,c的方程， 方程)；其次，结合椭圆的基本性质a2一b2=c 从而通过代数运算确定这些参数值。这类题 联立求解，通过代数运算确定参数值；最后，直 目主要考查同学们对圆锥曲线基本定义的掌 握程度和基础计算能力。 接套用离心率公式e=二或e= 进行 a 例1已知FR是椭圆C:号+若 计算。解题的关键在于准确构建方程组，并灵 活选择参数求解路径，这类题目主要考查同学 =1(a>b>0)的左焦点和右焦点，且椭圆C 们对椭圆的定义与基本公式的掌握程度。 的长轴长为4√3。过F,且与椭圆C的对称 二、建立线性方程组的转化求解型 轴垂直的直线与椭圆C交于A,B两点，若 这类题型相较于基础计算型，难度显著 △F1AB为等边三角形，求椭圆C的离心率。 提升。其典型特征在于题目通常仅提供一个 解析：因为过F,且与椭圆C的对称轴 方程，难以满足a,b,c三个参数的求解需求。 垂直的直线与椭圆C交于A,B两点，所以 解题时需采用整体思想，通过建立参数间的 AB为椭圆C的通径，即AB=2b 。又因为 关联关系，将离心率表达式转化为待求变量 △F,AB为等边三角形，所以AF1=AB= 的等式关系，从而避免直接求解a,b,c。这 种方法既体现了数形结合的数学思想，又符 。在△AFF中，因为AB⊥FF,所以 2b2 合高考对思维灵活性的考查要求。 △AF,F1为直角三角形，故AF1=F1F十 例2设F1,F2分别是双曲线M: ******来***********************米*米*******************米**********华*********华************ 三大实际应用场景：优化问题：通过坐标系转 优化参数（如半径）。解题的核心策略：立足 换目标函数，结合三角函数或不等式求极值； 数形结合，强化“坐标系构建一数学建模一方 航海安全问题：将方位、距离转化为坐标系中 程求解”的解题路径，突出转化思想与数学建 直线与圆的方程，通过距离比较判断风险；测 模素养的应用价值。 量问题：综合直线与圆的方程，通过约束条件 (责任编辑王福华) 15