夯实基础知识，明确备考方向——高考解三角形模块备考分析-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

知识篇科学备考新指向 高三数学2026年2月 中学生数理化 夯实基础知识，明确备考方向 高考解三角形模块备考分析 ■湖北省襄阳市第三中学 宋勇林 尤樊 解三角形是高中数学的一个重要模块， 所以tanB十tanC的取值范围是[2√3， 在高考中有着举足轻重的地位。由于解三角 十∞)。 形中的内容丰富，公式多，因此多与其他知识 ,点评：本题第(1)问通过正孩定理将边的 交汇融合，而且题型灵活多变。本文将从不 关系转化为角的关系（也可化角为边），同时 同的题型出发，剖析解三角形的复习策略，助 结合三角形中内角的范围确定角A;第(2)问 力同学们高效备考。 主要利用三角恒等变换化简表达式，同时还 题型一、三角形中某些量的范围问题 要注意锐角三角形这一条件对角的限制。 例1在锐角△ABC中，角A,B,C 题型二、解三角形与向量的交汇问题 的对边分别为a,b,c,满足csin(C十B一A) 例2在△ABC中，角A,B,C的对 =asin(B+A)。 边分别为a,b,c,且满足(a十c)(sinC一 (1)求角A; sinA)=(b-a)sinB。 (2)求tanC十tanB的取值范围。 (1)求角C; 解析：(1)因为A十B十C=元，所以B十 (2)若a十b=4,求AB边上的中线CD C=π-A,所以csin(π一2A)=asin C,即 的最小值： csin2A=asin C。 由正弦定理可得sinC·2 sin Acos A= (3)已知锐角△ABC的面积为号，E是 sin Asin C」 因为A,C∈(0，π)，所以sinC≠0，sinA △ABC的重心，M是AC的中点，BN= 0则c0sA=方 -二C示，线段BM与线段AN交于点P,且 CP=mCB+nCA,求|P它|的取值范围。 所以A=吾 解析：(1)已知(a+c)(sinC-sinA) (2)由1)知A=吾，则B+C-2 (b-a)sinB,由正弦定理得(a十c)(c-a)= 30 (b-a)b,化简得a2+b2-c2=ab。 所以tanC+tanB=sinC cosC千 在△ABC中，由余弦定理得cosC= sin Ccos B+sin Bcos C sin(C+B) a'tb:-c_ab_1 cos Bcos C cos Bcos C 2ab 2ab=2 又因为C∈0，x,所以C-号 2 25 eos Beos(昏-B)2sim2B-若）-l (2)因为D是AB的中点，所以CD 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B 2C+C),平方得C市=子(C+C <受0<C--B<受，可得<B<受， +2c·C)=[(a+b)2-ab]≥ 即2B-若∈（后，），从而0<2sin(2B 是[a+b-(安)门-3，当且仅当a )-1≤1 2√3 ≥23。 b=2时，等号成立，故C方1m=5。 2sin(2B-）-1 所以CD的最小值是√。 9 中学生教理化腿数学州幸新销向 (3)依题意画出图形，如图 汇题，除了考查解三角形的基本知识，还需要 1,可知CN= 号C,Ci 掌握中线向量表达式、三，点共线的向量关系 式、三角形重心性质等知识，属于难题，平时 . 需注意向量与三角形性质的综合应用。 图1 题型三、多三角形问题 因为A,P,N三点共线， 所以C市=C成+a-A)C=名C席+1 例3如图2，在△ABC 中，D是BC上一点，E是AB A)CA。① 又因为B,P,M三点共线，所以C序 上一点，且∠ADB=2 0 图2 i+1--Ci+21-C。 (1)已知D,E在AB的 ② 垂直平分线上，且CD一AD=1,AB=√5。 对比①@两式得以=名A-是，放C可- 1 ①求AC; ②若O为△ABC外接圆的圆心，O1为 2c+ci。 △ABD外接圆的圆心，求OO1。 因为E为△ABC的重心，所以P它 (2)若DE是△ABD的角平分线，AB= c定-c=号c+c)-(2+c》 2√5，求DE的最大值。 解析：(1)①由题意得AD=BD,∠DAB 6c+c. =∠DBA=若 因为SAAx= 2CB·CAsin C= 1 ③ 在△ABD中，由余弦定理得AB=AD 2 +BD2-2AD·BDcos∠ADB=3,即2AD 2 所以CA=CB· -2 AD'cos=3,解得AD=BD=1. 3 所以1P吃：-6成+C: 又因为CD一AD=1,所以CD=2,BC =3。 品C1oc=6(P+c1 在△ABC中，由余弦定理得AC= -）-远高 √AB'+BC2-2AB·BCcos∠ABD=√5。 ②如图3，易得O,D,E, 由△ABC是锐角三角形，得AB.AC O1四点共线。 -)c--.-C 在△ABC中，由正弦定理 -1>0,所以0<BC2<4。 得2OB= AC sin∠ABC=2V3, 图3 同理得BA.BC=(CA-CB)·BC 所以OB=√5。 BC2-1>0,即1<BC2。 在Rt△OEB中，有OE=√OB'-BE 所以1<BC2<4。 12 3 设BC2=t,则1<t<4。 (3)2 2 2 所以P=(+}-): 在△ABD中，由正弦定理得2O1B= AD 当1<t<4时，y=t+ 1 一1单调递增， sin∠ABD=2,所以O1B=1。 易得应∈（传，零） 在Rt△O1EB中，有O1E=√O1B一BE 点评：本题是解三角形与向量的典型交 10 如氧学学意费氧费肉中学生凝理化 所以OO1=OE十O1E=2。 理得CD+2CD-24=0,解得CD=4或 (2)因为SAABD=S△ABE十S△BDE,所以 CD=一6（舍去）。 名AD·BDim号-名AD·DEsin晋 1 十 由os∠ACD--,得sim∠ACD D:DEsin,化简得AD·BD √W1-cos'∠ACD= 26 5 十BD)·DE。(米) 因为SAAD=S△ACo十S△co,所以 在△ABD中，由余弦定理得AB=AD +BD2-2AD·BDcos∠ADB=AD2+ CA.CDsin∠ACD=3CA.0sm∠AC0 1 BD2+AD·BD, 1 +2CD·COsin∠DCO,解得CO= 因为AD+BD≥2AD·BD,且AB= 2√3，所以AD·BD≤4，当且仅当AD=BD 8V10 9 =2时，等号成立。 (3)在△ACD中，由正弦定理得 AD·BD 由()式得DE= AD+BD AC AD sin ZADC=sin∠ACD,易得sin∠ADC AD·BD √AD·BD≤④ 2 2 =1,当且 2√AD·BD 2v6 79 仅当AD=BD=2时，等号成立。 又因为∠ACD为钝角，所以cos∠ADC 所以DE的最大值为1。 点评：本题是多三角形综合题，核心是找 =mZAc-号· 到多个三角形之间的公共元素，建立等量关 因为BD=BC,所以∠BDC=∠BCD。 系。(1)通过垂直平分线性质确定边的关系， 公共角是其中的关键桥梁，同时利用外接圆 所以sin∠BDC=sin∠BCD=E 的性质简化多三角形计算；(2)由角平分线的 所以cos∠BDC=√I-sin∠BDC= 性质得边的关系，需注意两次用基本不等式 √10 时等号成立的条件要一致。 题型四、平面四边形模型 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC 例4如图4，在平面 10CD:+BD2-BC2 CD 2 5 2CD·BD 四边形ABDC中，对角线 2BD=BD,解 CB为钝角∠ACD的平分 得BD=BC=√IO。 线，CB与AD相交于点O, 图4 因为sin∠ADB=sin(∠BDC- AC=5,AD=7,cos∠ACD ∠ADC)=sin∠BDC·cos∠ADC- 、1 5 as∠BDC·sin∠ADC=g,所以SAn (1)求sin∠ACO的值； (2)求CO的长： 2AD·DBsin∠ADB=Y 2。 (3)若BC=BD,求△ABD的面积。 ,点评：解决平面四边形问题的核心是将 解析：(1)因为CB为钝角∠ACD的平 多边形转化为三角形，常用手段是连接对角 分线，所以cos∠ACD=1-2sin∠ACO= 线切割成多个三角形或利用四，点共圆对角互 ,解得sin∠AC0=西 .1 补等性质。本题通过角平分线性质及基本定 5 理，找到对角线这个“桥梁”，将四边形拆分为 (2)在△ACD中，由余弦定理得AD'= 两个有公共边的三角形进行解答。 AC2十CD2-2AC·CDcos∠ACD,化简整 (责任编辑王福华) 11