关注数列交汇问题，把握高考命题动向-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生表理化驾极学”袋新幸颗费向 关注数列交汇问题，把握高考命题动向 ■江西省吉安市第一中学 曾 伟 数列单一知识的考查往往比较基础，主 AM CN =2。 要涉及数列的通项、等差数列与等比数列的 性质、数列求和等相关问题。然而在二轮复 所以B克=BA+A应=BA+号AC 习备考过程中，我们尤其要关注数列中的综 合问题，这种综合不是单一对数列的考查， BA+号(BC-B)=号B+号BC。 而是许多知识的交汇与融合。本文通过对例 因为B,E,D三点共线，所以可设BD 题的深度思考，分析数列与平面向量、概率统 计、函数导数等知识交汇题型的命题趋势与 庞=合所+登成=(a十2)所十 3 特点，精准把握高考命题新动向，期望对同学 an-1十2-1= 入 们的二轮复习备考有所帮助。 3 (an-2")BC,故 则a一2 一、数列与平面向量的交汇 a-2”=2 例1在如图1所示 的平面四边形ABCD中， =2(a1十2-1)，n≥2，整理得- 2n 2-1 △ABD的面积是△CBD n≥2，即bn-bm-1=2,n≥2。 的面积的两倍，又数列 {an}满足a1=2,当n≥2 图1 所以数列6，}是首项为2=1，公差为2 时，B市=(a,-1+2-l)BA+(a,-2”)BC,现 的等差数列，故bn=1十2(n一1)=2n一1。 记6一会。 ②)由1当n=1时京-1<： 1 (1)求数列{bn}的通项公式； 当”≥2时，定 (2②)求证+安 (2n-1) b4 解析：(1)如图2所 2n-1)-7 1 1 Xx-- 示，过A作AM⊥BD,垂 足为M,过C作CN⊥ 1 BD,垂足为N,连接AC, 交BD于点E。 图2 由S△ABD=2SACD,得 综上所述++< 1 AM=2CN,且有△AME∽△CNE,则AE 评注：第(1)问求数列{bn}的通项公式需 CE 要先得到数列{an}的递推关系式，结合题目 点评：本题综合性强，主要考查函数与导 换化简与求值、三角函数图像性质与变换，以 数。第(1)问涉及三角函数求导；第(2)问需 及三角函数与向量、数列、导数等知识交汇题 应用辅助角公式求值域，考查转化思想与分 型的解题策略。未来，三角函数解答题的考查 类讨论思想。 或将持续强化基础性与综合性，同学们后续复 本文结合新高考命题变化，梳理了三角 习需进一步聚焦这一命题方向，强化知识整合 函数解答题从常规题型向多模块知识交汇的 与数学思想应用，以便更好地应对高考变化， 演变方向，通过典型例题剖析了三角恒等变 实现科学备考。 (责任编辑王福华) 如氧学学意费氧费肉中学生凝理化 中平面向量的线性表示的系数之比为定值 经检验，p1,p2均满足该式，所以pn= a,1+2=2(n≥2)，最终得 （等商线)，可得0。一2” [)- 到数列{b,}是首项为1，公差为2的等差数 评注：在数列与概率统计相结合的问题 列；第(2)问为数列不等式的证明，通过放缩 中，数列的递推关系被赋予了深刻的实际意 后再进行裂项求和，证明的关键在于把握放 义，数列的计算也不仅仅是纯代数上的推演， 缩的尺度，需要一定的尝试与调整。 因此，数列与概率统计的结合在近几年的高 二、数列与概率统计的交汇 考试题中常有出现。 例2在一个不透明的口袋中装有2 三、数列与函数导数的交汇 个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出 例3已知函数f(x)=a.x2一x+ 1个球，再往口袋中放人1个白球，取出的球 ln(x+1),a∈R。 不放回，像这样取出1个球再放入1个白球 (1)若对定义域内任意非零实数x1,x2, 称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均 均有fx1)f(x) ≥0，求a; 为白球后结束。假设所有球的大小、材质均 TIT2 相同，记事件“n次操作后结束”为A。,事件 2)记1.=1+号+…+(m∈N),证 n A。发生的概率为pn。 (1)求第1次操作取出黑球且3次操作 明：t二合ln(n十1)<t。 后结束的概率； 解析：(1)由条件知，f(x)的定义域为 (2)求数列{pm}的通项公式。 (-1,十∞)，且f(0)=0. 解析：(1)用B,表示第i次操作取出黑 球，W,表示第i次操作取出白球，则所求概 对f(x)求导得f'(x)=2a.x-1+1 「x+1 率为P(B,A)=P(B,W,B,)=2×是× =z(a-十，因此r0)=0. 3 329 ⑩当a<0时，2a-<0.由fx) (2)依题意A=0,A=之×言 ≥0，得x∈(-1,0)；由f'(x)<0,得x∈(0， 十∞)。所以f(x)在（一1,0）上单调递增，在 当n≥3时，若n次操作后结束，则前(n (0,十∞)上单调递减。 一1)次操作中，有一次取出黑球，其余(n 又f(0)=0,所以f(x)≤0。 2)次均取出白球，则p,=P(B1WW3… 而当x1∈(-1,0)，x2∈(0，十o∞)时，有 W。-1Bn)十P(WB,W…W.-1B。)十 P(WW2B…Wm-iBn)+…十P(WWWa… x1,<0,则ff<0,不符合题意。 T1T2 w,B,B)=×(任）)×+（合）》× ②当a>0时，由f'(x)=0,得x=0或 1 r= ()×+(3)广×()×+…+ 2a 1记-名-1 (侵)×是×子+（位）》”×是=品× 若-1<，<0，则a>由fx)< 0,得x∈(xo,0);由f'(x)>0,得x∈(-1， [(侵)+（受）++2+]=× xo)U(0,十∞)。所以f(x)在(x0,0)上单 调递减，在（一1，x)和(0，十∞）上单调递增。 1 又f(0)=0,所以f(x。)>0。 令x1>0,x=,有f)f<0, TIr2 知识篇科学备考新指向 中学生数理化高三数学026年2月 不符合题意。 1 15 22 十…十 若x,>0,则0<a<2由f)<0, n2≤3· 1 4 4 得x∈(0，xo);由f'(x)>0,得x∈(-1,0) 因为京= <n与1=2(2 U(xo,十∞)。所以f(x)在(0，x)上单调递 3)所以1+安+…+<1+2（ n 减，在（一1,0）和(xo,十∞)上单调递增。 1 1 又f(0)=0,所以f(x。)<0。 令-1<<0，x,=x,有fx)f) 2.5 T1T2 2n十13 <0,不符合题意。 于是1，一吾n(a十1)，结论得证。 若=0，则a=子此时了x)=有 评注：数列与导数的结合也是近几年数 ≥0，故f(x)在（一1，+∞）上单调递增。 学高考的热点问题，一般的命题方式是利用 又f(0)=0,则当x>0时，f(x)>0:当 导数得到重要的函数不等式，最后在证明数 一1<x<0时，f(x)<0。 列相关的不等式时需要用到前面得到的函数 所以当x≠0时，fC>0,即对任意 不等式。常用且熟悉的函数不等式应该是 x x十<1n(x+1)<x(x>0),由该不等式 x1x,≠0，均有f)f0. TIT2 学出的袋到不等式为公点<im十I》 综上可得a= ∑，与题目中要证明的上界是完全一 (2)由(1)的结论可知： 当a=0时，f(.x)=-x十ln(.x十1)≤0； 十比要证明的 样，但其下界工 当a=x>0时，(x)=-+ 1 (空)一音更小（当≥6时）本质的原因 1n(x+1)>0. 故当x>0时，x-合x<lnx十I)x 是千<-(>0,因此常要用品 1 令x=(u∈N),则有日-一办 数不等式x一 2x<ln(x+1)<x(x>0) 1 进行证明，第(1)问的设置其实就是为了获得 (日+小<分即片 n 2n2 <ln(n十1)-lnn 该函数不等式。解题过程中得到了一个数列 不等式，脚空是<导感兴建的读者可以 考虑通过构造函数不等式证明：一1 所以 n-12(n-1)<lnn-ln(n-1) 1 (空车）-imm≤(a∈N 1 n1-2<1n2<1。 综观以上例题不难发现，数列的交汇问 将上述n个式子相加，化简整理得t,一 题涵盖的知识点较多，题目内容比较丰富。 在求解这类问题时，需要逐个突破，前面问题 的解决为后面问题的解决做了铺垫。这就要 求同学们在复习时，既要熟悉掌握每一个模 欲证tn一 <ln(n十1)<t,只需证 6 块的知识，又要多思考各个模块之间的内在 联系，这样的复习会更加有效。 (责任编辑王福华) 8