三角函数解答题的命题方向与常见题型例析-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

知识篇科学备考新指向中学生数理化 高三数学2026年2月 三角函数解管题的命题方问与常见题型例析 ■重庆市北碚区教师进修学院 吕鹏 三角函数是高中数学核心内容，兼具 二、三角函数图像性质与图像变换 “函数性质载体”与“多知识交汇点”的双重 三角函数的图像性质与图像变换是重要 属性，是考查数学核心素养的关键依托。在 考点，主要考查周期性、对称性、单调性、最 2025年高考中，三角函数以全国I卷压轴 值，以及图像的平移、伸缩等变换。在解答题 题、全国Ⅱ卷解答题首题出现，打破常规以解 中，该考点常与三角恒等变换的化简与求值、 三角形考查为主的惯例，突出了基础性与综 参数取值范围等融合，着重考查同学们的逻 合性。因此，在二轮复习中，同学们需扎实掌 辑推理与运算求解能力。 握常见题型解法，结合命题规律开展进阶训 练，以适配高考的新变化。本文结合例题梳 例2已知直线=吾和x一是函 3 理考查方向，助力提升复习效率。 数f(x)=sin(w.x+p)(w>0,0<p<π)图像 一、三角恒等变换化简与求值 的两条相邻对称轴。 三角恒等变换是三角函数的核心考查方 (1)求f(x)的解析式和单调区间。 向，也是后续复杂题型的解题基础。复习时 (2)保持f(x)图像上各点的纵坐标不 需重点掌握三类内容：一是核心公式，包括同 变，横坐标变为原来的}（a>0)倍，得到函数 角三角函数关系、和差角公式、二倍角及其变 y=g(x)的图像。若g(x)在区间(0，π)内恰 形公式、辅助角公式等：二是公式的变形与化 有两个极值点，求a的取值范围。 简逻辑；三是求值问题中的常用技巧，如标 角、配角、弦化切等，以此提升解题的准确性 解析：1)由愿意得，号-石-否-晋 与效率。 2+k元， 例1已知函数f(x)=sinx-cosx 2所以如=2。因为2×否十9= +2√3 sin xcos x。 k∈Z,所以9=石十k,k∈。又0<9<x, (1)求f(x)的最小正周期； 所以9=吾，从面f(x)=sin(2x+若)。 (2若fa)25求c(u-)的值。 令2k元-<2x十≤2k元十受，k∈, 解析：(1)f(x)=-cos2x十√3sin2x= 2sin(2x一）：故最小正周期T-2 得k元一哥<x<kx十吾，k∈乙，所以f(x)的 (2)由fa)=2ain(2a-吾)-25，得 单调递增区间为x一吾：kx+]∈乙。 2 6 sin(2a-)=所以cos(a- 得x+石≤<kx+否，k∈乙，所以fx)的 6 cos[2(2a-若)】-1-2sim(2a-g）-是 单调递减区间为kπ十 6,kr+2 3k∈Z。 点评：本题主要考查二倍角公式、两角和 与差公式的应用。公式的熟练度是解题关 (2)由题意得，g(x)=sin(2ax+),当 键，若基础公式掌握不扎实、运用不熟练，即 便是基础题型也可能成为失分，点。 x∈(0，x)时，2ax+吾∈(g2a+ 6 )因 3 知识篇科学备考新指向 中学生数理化高数学2026年2月 为g(x)在区间(0，π)内恰有两个极值点，所 又AB=c=23,AC=b,AM=2,所以 以<2x+吾≤受解特<a≤故 3 4=×2)r+音6+合6×2Xes吾， 的取值范围是（号，】。 解得b=√5或b=一23（舍去）。 点评：本题主要考查三角函数的对称性、 1 放Sr2 csin A二3Y33 单调性及图像的变换问题。求出f(x)与 点评：第(1)问将向量关系转化为三角等 g(x)的解析式是解题关键。 式，用正弦定理边角互化求角：第(2)问先化 三、三角函数与多模块知识交汇 出含“A”的向量等式，再通过平方算出关键 自全国卷采用“19题模式”以来，解答 边长，再代入公式求面积。 题的题量有减少，但单题分值相应提高。 2.三角函数与数列交汇 这一变化使得题目更注重综合性，三角函数 作为重要考点，可与向量、数列、导数等多模 例4将函数f(x)=sn(r一) 块知识进行交汇考查，下面例析此类常见交 汇模式。 2(w>0,x>0)的零点按照从小到大的顺序 1.三角函数与向量交汇 例3已知a,b,c分别为△ABC的内 排列，得到数列{a,且，= 6。 角A,B,C的对边，向量m=(a,b+c),n= (1)求w: (2)求∫(x)的单调增区间，并说明f(x) (W3sinC+cosC,1),m·n=2(b+c)。 在(1,2)上的单调性； (1)求A; (3)求数列{am}的前n项和Sn。 (2)若c=2√3，BM=2M元，AM=2,求 解析：(1)因为x>0,所以令f(x)= △ABC的面积。 解析：(1)由题意知，m·n=√3 asin C十 sin(a）--0，解得o一=2张x十 acos C+b+c=2(b+c),所以√3 asin C+ 6或ax一 -2x十 6,k∈N。 a cos C=b+c。 由正弦定理得√3 sin Asin C+sinA· 由a:最小且a1=名，可得名。一经 3 cosC=sinB+sinC,化简得√3 sin Asin C+ sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+ 6,所以w=不。 sinC,即√5 sin Asin C=sinC(cosA+1)。 (2)由1)知，f()=sin(xx-2）-2 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以 V5sinA-cosA=1,即2sin(A-若)=1。 令一 2 +2kπ≤πx- +2kπ，k∈ 义A∈0，)，则A-吾∈(-，） N,可得了(x)在[后+2，名+2]（∈N)上 单调递增。 故A-若-若，即A=答。 (2)由BM=2MC,得AM-AB=2(A亡 令受+2≤-≤+2k,k∈N. -Ai).所以Ai-号A+号AC。 可得f)在[名+2k,+2](k∈N)上单 调递减。 故Ai:=(仔A店+子AC)'=号A应十 取k=0,可得当x∈(1,2)时，f(x)在 告AC+号A店，AC (1,)上单调递增，在（名2）上单调递减。 知识篇科学备考新指向中学生数理化 高三数学2026年2月 (3)由(1)知，f(x)的周期T=2T=2,零 元 0,x∈(0，x),得x=x2= 2,3= 5元 6 点为x=吾+2张或=是+2，k∈五. 当x∈(o,)和（受，）时f'(x)<0. 依次取k=0,1,2,…,n,并将x的值按 f(x)单调递减； 照从小到大的顺序排列，可得{an}的奇数项 当∈（后，）和(，x)时f'(x)>0, 是以a1=名为首项，2为公差的等差数列，偶 f(x)单调递增。 数项是以“：=号为首项，2为公差的等差数 所以当x=乏时，f(x)取极大值，且极 1 ”一6n为奇数， 大值为f()=0. 列，于是am= 1 (2)由题意得，g(x)=1一asin x一 -cos 2x- n一2n为偶数。 1-ain(经+x）-cos2(经+)】=a(cos 当n为偶数时，S。= 2 （a1十a2十am-1十an) -sin x)-2cos 2x=(cos x-sin La- 2 2(sinx+cosx)]。 =3m+n 6 当x∈[0，π]时，由g(x)=0,得x=天 4 当n为奇数时，Sn=S+1一am+1= 3(n+1)2+(n+1) [+)-] 或sinx十cosx=2,其中sinx十cosx 3n2+n+1 Ein(+)且x+吾∈[紧]，所以 6 sinx+cosx∈[-1，wW2] 3n2+1+1 ,n为奇数， 当a<一2或a>2√2时，方程sinx+ 6 综上所述，Sm= 3n2十n c0x-号无实数解，此时函数g(x)只有一 6 ,n为偶数。 个零点； 点评：第(1)(2)问以函数零点为背景，考 当a=2√2时，方程g(x)=0只有一解 查三角函数的求值与单调性，凸显基础性；第 (3)问结合周期性考查数列知识，关键是厘清 且为x=牙，此时函数g(x)只有一个零点： 奇偶项的变化规律，综合性强，考查数学运算 当2≤a<2√2时，方程sinx十cosx= 能力、转化与化归思想，以及分类讨论思想。 3.三角函数与导数交汇 号有两个不同的解且均不等于牙，此时函数 例5已知函数f(x)=1一asin x g(x)有三个零点： cos2x,a∈R。 当-2≤a<2时，方程sinx十cosx=2 (1)若a=2,求f(x)在(0，π)上的极大 值； 有一个解且不等于平，此时函数g(x)有两个 (2)若函数g(x)=f(x)-f(+x) 零点。 讨论函数g(x)在[0，π]上零点的个数。 综上所述：当a<一2或a≥22时，函数 解析：(1)当a=2时，f(x)=1一2sinx g(x)在[0，π]上只有一个零点；当2≤a< -cos2.x=2sinx-2sinx。由f'(x)= 2√2时，函数g(x)在[0，π]上有三个零点；当 dsin rcos2c0sc) 一2a<2时，函数g(x)在[0，π]上有两个 零点。 5 中学生表理化贺数学剂号备新费向 关注数列交汇问题，把握高考命题动向 ■江西省吉安市第一中学 曾伟 数列单一知识的考查往往比较基础，主 AM CN =2。 要涉及数列的通项、等差数列与等比数列的 性质、数列求和等相关问题。然而在二轮复 所以B成-B+A应-B+号AC= 习备考过程中，我们尤其要关注数列中的综 合问题，这种综合不是单一对数列的考查， Bi+号(BC-Bi)=号B+号B心 而是许多知识的交汇与融合。本文通过对例 因为B,E,D三点共线，所以可设BD= 题的深度思考，分析数列与平面向量、概率统 计、函数导数等知识交汇题型的命题趋势与 AB正=ABA+2公BC=(a.1十21)BA+ 3 3 特点，精准把握高考命题新动向，期望对同学 4w-1十2"-1= 入 们的二轮复习备考有所帮助。 31 (am-2")BC,故 则a。一2 一、数列与平面向量的交汇 0m2"=21 3 例1在如图1所示 的平面四边形ABCD中， =2a十2)m≥2，整理得号2==2 2 △ABD的面积是△CBD n≥2，即bm-bm-1=2,n≥2。 的面积的两倍，又数列 {an}满足a1=2,当n≥2 图1 所以数列6，是首项为2=1，公差为2 时，B元=(aw-1+2-1)BA十(am-2")BC,现 的等差数列，故b。=1十2(1一1)=2n一1。 记6，-会 2由10如，当=1时=1<： (1)求数列{bn}的通项公式； 当”≥名时是= 1 (2n-1) (求证方+十。 15 1 1 1 解析：(1)如图2所 示，过A作AM⊥BD,垂 +…+-1+1-+号 足为M,过C作CN⊥ 1 BD,垂足为N,连接AC, ++-1）=515 n-1n-44n4 交BD于点E。 图2 、踪七所述，b十b十一5 由S△ABD=2S△cBD,得 AM=2CN,且有△AME∽△CNE,则A 评注：第(1)问求数列{bn》的通项公式需 要先得到数列{am}的递推关系式，结合题目 ￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥ ,点评：本题综合性强，主要考查函数与导 换化简与求值、三角函数图像性质与变换，以 数。第(1)问涉及三角函数求导；第(2)问需 及三角函数与向量、数列、导数等知识交汇题 应用捕助角公式求值战，考查转化思想与分 型的解题策略。未来，三角函数解答题的考查 类讨论思想。 或将持续强化基础性与综合性，同学们后续复 本文结合新高考命题变化，梳理了三角 习需进一步聚焦这一命题方向，强化知识整合 函数解答题从常规题型向多模块知识交汇的 与数学思想应用，以便更好地应对高考变化， 演变方向，通过典型例题剖析了三角恒等变 实现科学备考。 (责任编辑王福华)