借助经典不等式破解模拟压轴题-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

中学生表理化甄学创新隔鼻程攒源 借助经典不等式破解模以压轴题 ■湖北省仙桃八中刘少平名师工作室 张兵刘少平 在数学的世界里，不等式如同繁星点点， 璀璨而深邃，面对一个结构复杂、形式多变的 22-b· b /6”.2 b” 不等式证明题，不少同学会感到无从下手，仿 2n√2"T≥2n。 佛置身于迷雾之中。然而，前辈数学家们早已 综上所述，对于一切正整数n,都有 为我们锻造了一把锋利的“武器”一那些经 2am≤b"+1十1。 过时间考验的经典不等式，它们不仅是优美的 评注：(2)问先利用a,的通项公式将要证 数学结论，更是我们证明过程的“他山之石”。 明的不等式2an≤b+1十1转化为(b+1十1)· 基本不等式、柯西不等式、琴生不等式、伯努利 2-b≥2b,再将2”-b=(2-b)·(21+ 2”-b”」 不等式，这些名字的背后，蕴含着强大的普适 性和指导性。下面将带领同学们探索如何通 2十…+0)代入不等式得么+)2 过识别待证不等式的“基因”，将看似无从下手 的难题，转化为清晰严谨的逻辑演绎。 十2”-b十…十b-1)≥2，然后将不等式左侧 一、借助基本不等式破解压轴题 重组，配凑成基本不等式模型(2b+方)十 例1(2025年四川部分名校高二联 考)设b>0,数列{an}满足a1=b,an= (+)+…十(6+)从而使问题 a,1十2m-2(n≥2)。(1)求数列{a,}的通项 nba 得证。 二、借助对数平均不等式破解压轴题 公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤b+ 例2(2025年广东佛山联考)已知 +1。 解析：(1)当b=2时，a,=2;当b>0且 f(x)=In t- 2+.1)证明：函数 b≠2时，a,=n(2-b)b 2"一b” 。(过程略) f(x)在定义域内存在唯一零点：(2)设0 (2)当b=2时，a,=2满足2anbm+1+1。 a6,试比较告学与名n的大小并说 2■ 当b>0且b≠2时，a,=nC2-b)b 明理由；(3)若数列{an}的通项公式为an=1 ,要 2”-b” +号+1 证明2a,≤b+1+1,需证2n(2一b)b 号十+}，证明：ln(2m十1）>a.。 n ≤b"+1+ 2”b 解析：(1)函数f(x)在定义域内存在唯 1,即证(b中+1)· 2"一b -≥2nb”,也即证 一零点。（过程略） 2b (6+)2=+2-6十…+b1)≥2m。 2)2生>n名。（过程暗) (3)由(2)知，若0<a<b,则总有lnb 整理后需证(2b十方】 1na>26-a成立。不妨设b=2m十1，a b+a (2-6+号)+…+(b+分)≥2m。由基 2n-1,n∈N",则1n(2n+1)-ln(2n-1)> 41 本不等式知(2b+6）+(2b+名)+… 4nn。 因为n∈N",所以ln3-ln1>1,ln5- + 6+)≥226… n3>2,n(2m+1)-ln(2m-1)> 34 新樱数新源碧捏费晋中学生表理化 以上式子累加可得(ln3-ln1)+(ln5一 令f(x)=x一1n(x+1),x>0,则 ln3)+…+[ln(2n+1)-ln(2n-1)]>1+ r)=1-= ,工>0，f(x)在(0， +++ 1,1 十∞)上单调递增，即f(x)=x一ln(x十1) 化简得1n(2m+1)>1+名+3+…十 1 >0-1n(0+1)=0。 从而当x>0时，ln(x+1)<x。 ,即1n(2m+1)>a, 救6，=l1+是n)分 评注：若a>0,b>0,a≠b,则0十b> 2 T,=b十b:+…+b.<(1-2）十 :二nab,称之为对教平均不等式。 (经）+…+（只+）=1-+ 若本题没有(2)问，要证ln(2n十1)>am,则对 数平均不等式在证明时不能直接使用，需补 中即T<中 72 充证明过程，对数平均不等式给我们提供了 评注：本题要证明的不等式左边是连加 放缩的思路，使解题有章可循。 的形式，由b。的通项公式的结构特征和要证 三、借助切线不等式破解压轴题 明的不等式右边，联想到切线放缩不等式，累 例3(2025年山东济南一中模拟)已 加即可得证。切线不等式出现在教材的习题 知数列{am}满足a1=1,且对任意正整数m, 中，为我们证明提供了明确的思路，但在解答 n都有am+n=an十am十2n。（1)写出a2, 题中不能直接使用，要先证明ln(x十1)<x a,并求数列{an}的通项公式；(2)设数列 这个结论后再应用。 {(一1)”an}的前n项和为S。,若存在正整数 四、借助三角不等式破解压轴题 k,使得2Sg+1十S:十9=0，求k的值；(3)设 例4(2025年北京阶段检测)已知定 6.=21+士+)T,是数列化.)的前 义在(0，十o∞)上的函数f(x)=sinx xcos x,其所有零点按从小到大顺序构成数 n项和，求证：工，< 列{xn}(n≥1，n∈N)。(1)求函数f(x在区 间(0，π)的值域；(2)证明：函数f(x)在区间 解析：(1)a,=n。(过程略) (nπ，(n十1)π)(n≥1，n∈N)内有且仅有一个 (2)k的值为2。（过程略） 零点：(3)证明：x<x1一x,<n+)严(m≥ 1,n∈N)。 =ln√1+ +m 1 解析：(1)f(x)在区间(0，π)上的值域为 (0,π)。（过程略） n'(n+1)'十n2+(n+1)2 (2)函数f(x)在区间(nπ，(n十1)π) n2(n+1) (n≥1，n∈N)内有且仅有一个零点。（过 =In n(n+1)+n2+n十2n+1 程略) n(n+1)2 (3)由题意知f(xn)=sin x.一t,cos n'(n+1)+2n(n+1)+1 n(n+1)2 =0,则tanx,=x,。易知f(nπ十) -In2D1-In 17 n(n+1) n(n+1)- (-1),故f(nx)·f(nx十）=一n<0。 1+是-)： 由函数零点存在定理知，函数∫(x)在区 先证明当x>0时，ln(x十1)<x。 间(n元，nπ十 ）内有且仅有一个零点工，即 35 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化嚮数学202年月 口一x二。不等式左边已证，考虑证右 于是 n 元， x+1一工。实施 边，对an[x,+1-(z,十)]=十z (n+1)元，(n+1)x+ )则x1-(红，十x) 3π 3π 2 ∈ (2,) 2 tan[xm+-(xn十π)] 效缘 xn2x2 3 2n2元 tan x+-tan x tan(xn+-xm） 1+tan z+itan ，即an,1-(,十元)]<牙。由x,1 n xm+1一xn 1十xn+1xn 红，十元)<anz-(,十]<牙，得x 因为x1一x,>0,所以 一工，<元十工。本题证明的关键是三角不等 tan[xn+1-(xn十π)门>0。又因为x+1一(x +x)∈（受）所以0<工1-(x,+ 式x<tan∈(0，），它给我们提供了证 题思路，使证明过程水到渠成。 <受即<1一<经 五、借助柯西不等式破解压轴题 3π 例5(2025年辽宁联考题)已知数列 tan[t-(.+ 2 {an}满足a1= 3,an+1= 1_(n∈N) 2-an 3π =<牙由(1)知，当x∈ 2 3 (1)证明数列 1 a,- 为等差数列，并求数列 (0,受)时，x<tanx,故x1-(x,十x)< (a,}的通项公式：(2)证明：号 tan[x+1-(x,十π)]<开，5所以x+1-x,< ai 一十十 a1十am a2十am- am十a1 ln√2n+I。 解析：(1)数列1 la,-1 为等差数列，an= 综上所述，元<x1一工，<n+1)π n 评注：要证明的不等式π<xn+1一xm< 1一2m十（n∈N)。(过程略) n十1)严等价于0<x,1-(x,十x)<,欲 ai n (2)欲证号-(aa.十a+a 一十 十…十 证两角之差介于0与工之间，就要选定两角 an十a1 )<lnV2n+,即证受-lnV2n+< 之差的某一个三角函数进行计算推理。联想 a 到(1)问可得三角不等式x<tanx a一十…十 a号 a1十ana2十am-1 an十a1 (c∈(0，)，于是考虑取两角之差的正切 已知am>0,由柯西不等式得 进行推理证明，tan[xn+1一(xn十x)门= ·[(a1+ a1十aa2十am-1 a十a1 a1一，)=2>0。由本点有 am)+（a2+am-1)+…+(an+a1)]≥(a1十 a2十十an)2。 在定理可知x1一（红，十）∈（一受，），进 令S,=a1十a2十…十an,则 而得0<x+1一(x十π)<2，于是有元< ai ）·2Sn≥ a1十a 36 器脑数接攀膏中学生表理化 S。又 0, 则 上的凸函数。可导函数f(x)在(a,b)上的导函数 2(a_+a -+…+a）≥s.。 为'(x),f(x)在(a,b)上的导函数为"(x),若 a1十a,a+am-1 am十a1 '"(x)≥0恒成立，则函数f(x)在(a,b)上为凹函 故只需证明n-1n(2n十1)<S,。 数；若f"(x)0恒成立，则函数f(x)在(a,b)上 又Sn=a1十a2十…十an=n 为凸函数。这里关于凹凸函数的不等式即为著 (+号++)，故只腾证明号+ 1 名的琴生不等式。(1)讨论函数y= sin.xx∈ 2 +十2m<In(2m+1Dn∈Nd (0)的四凸性，(2在△ABC中，求证：1 十 A 由切线不等式lnx≤x一1(x>0),进一 sin 步可得1n1≤1一1，则1nx≥1一 1 1 B 十，C≥6：(3)若n个正实数x,(i=1, sin 2 h1即< 2 2,,n)满足x,=1,求证：x·x·…· ln(2n+1)-1n(2n-1)。 所以号<1n3-n1,号<n5-n3 2 2n十<ln(2n+1)-ln(2n-1)。果加可得 2 解析：(1)函数y=在区间 号+号++2n7<1n(2a+1D. 2 (o,)上为四函数。（过程略） a (2)由(1)知，函数y= 1在区间 故2-（a十aTa,+a7 sin x am十a1 ln√/2n+I。 o,）上为四函数，易知会号，号∈o）: 评注：本题由不等式的结构特征联想到柯 (合)+（臣）+r() 西不等式，进而得a十 ai 十…十 根据琴生不等式得 a1十anag十an-1 B a一≥号S,使不等式转化为nln(2m十 22 即 am十a1 A sin 2 B sin 2 1)<S。,再借助切线放缩和累加法使问题得证。 sin 2 六、借助琴生不等式破解压轴题 3 6,当且仅当A=B= A B 例6(2025年湖北新八校协作10月联 sin2+2+2 考)丹麦数学家琴生对数学分析做出了卓越的贡 3 献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了 C=时，等号成立。 3 许多宝贵的成果。x1,x2,…,xn为(a,b)上任意 (3)构造函数g(x)=xlnx,则g'(x)= n个实数，若满足f巴+++远)≤ nx+1,g”(x)=+1>0,所以函数g(x f+fx)++fx》,当且仅当4 在区间(0，十∞)上为凹函数。由琴生不等式 n x2=…=x,时等号成立，则称函数f(x)在(a,b) 上为四函数：若满足f(色+十十之)≥ n ）,当且仅当x n f()+fx)十+fx》,当且仅当x1 x=…=x,时等号成立，即公n工≥ =1 n x2=…=xm时等号成立，则称函数f(x)为(a,b) g(分)=n,也即含x,n≥1n,则 37 中学生数理化 解题篇创新题追根湖源 高二数学2026年2月 含nx≥ln [-n+)]<(g) 所以x1·x,·x,≥ n 所以当a≥4n∈N)时，(1-n》”十 评注：本题要证明的不等式左侧是乘积 的形式，通过两边取对数后易发现可构造函 -是)广”++-》广<+() 数g(x)=xlnx,先研究其凹凸性，再利用琴 生不等式证明。 ++(份)广=1-是<1 七、借助伯努利不等式破解压轴题 故(+》+()”+…+(n子)< 例7(2025年安微芜湖模拟考)已知 1,即2”十3"+…十(n十1)”<(n十2)"。 数列a的前m项和S,子+2.1)求 当n=1时，2<3，不等式成立；当n=2 时，22+32=13<4，不等式成立；当n=3时， 数列{an}的通项公式。(2)伯努利不等式是由 2+33十43=99<53，不等式成立。 瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不 综上所述，不等式a”十a十a?十…十a” 等式中最常见的一种不等式，伯努利不等式的 <(am十1)”恒成立。 一般形式为：若x>一1且n为正整数，则(1十 x)"≥1十nx,当且仅当n=1或x=0时等号 评注：本题(2)()，= 「n(n+2)14 b. L(n+1)2 成立。(i)证明：数列 (侣)”}为递增数列： ”+名，先将[m+2] 配凑成伯努利不等 n+1 L(n+1)2 已知m≥4m∈N)时，(1-n十2)<安 式的左边形式，即为门 1 (n+1)2 ,再利用 证明：a1十ag十a十…十a<(an十l)”。 伯努利不等式实施放编即可得证。(2)(i)由 解析：(1)a,=n十1(n∈N")。(过程略) 价努利不华式可得0十2)广≥1-个2> (2)(i)记bn= a)‘-)》 ,则bn≥ 0(k=1,2,…,n),然后结合已知条件连续放 0,所以 bntt n+1/ 「n(n+2)7 缩得 -年) ≤1n2)” b (n+1) [-十)门<（侣》广，将原问题特化为等 n+2 1 n+2 n+1 (n+1)2」 n+1 比数列求和问题即可得证。 n+2-n+3m+3m+2 总而言之，掌握经典不等式绝非仅仅记 n n+1 (n+1) 忆几个公式，而是构建一个强大的“工具箱” (n十1)+1>1，即b.1>b,因此数列 和一套高效的“寻路图”。当我们再次面对不 (n+1) 等式证明的挑战时，不应只是被动地凝视问 ()广}为递增数列. 题，而应主动地、充满联想地去叩问：你的身 影，隐藏在哪一位“巨人”的肩膀之上？通过 当≥1∈N)时.白-士广< 不断地观察、辨识、尝试与变形，我们将逐渐 练就一双慧眼，能够穿透迷雾，直抵问题的核 合，由伯努利不等式得(-三)广≥1 n+2) 心。这条“借石攻玉”之路，不仅能简化解题 过程，更能让我们深刻体会到数学知识之间 >0(k=1,2,…,n)。 n+2 美妙的联系与统一，享受思维跃进所带来的 于是(1-年2》广≤(1-)” 无穷乐趣。 (责任编辑徐利杰) 38