核心素养下高中数学函数与导数易错题探究-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

解题篇数曼错题归类析中学生数理化 高二数学2026年2月 核心素养下高中数学函数与导数易错题探究 ■河南省洛阳市汝阳县实验高中 陈培科 函数与导数部分是高中数学的重点和难 二、分段函数中对函数性质理解不透彻 点，在历年的高考中都占据着重要的地位，重 导致的错误 在考查同学们对知识、原理的深层次理解，突 ,x>0, 出学科本质。由于高中数学知识体系的抽象 例2 已知函数f(x) 若 性与逻辑性，不少同学在学习这部分内容的 e,x0, 过程中不可避免地会出现各类错误，这些错 函数g(x)=f(x)一a恰有2个零点，则实数a 误呈现出重复性与典型性特征。下面将函数 的取值范围是( )。 与导数部分知识的易错点与数学核心素养相 A.(-∞，0) B.(0,1] 关联进行深入探究，旨在促进同学们数学思 C.(0,4] D.(4,+o∞) 维的发展，提升同学们的核心素养 易错点：忽略分段函数不同区间的函数 一、函数性质应用中的逻辑推理错误 性质差异，对“零点个数”与“方程根个数”的 例1偶函数y=∫(x)的图像关于直 转化理解不透彻。 线x=2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)= 正解：函数g(x)=f(x)一a恰有2个 2x一1，则f(-1)= 零点等价于函数y=f(x)与直线y=a的交 易错点：部分同学不会运用函数对称性 点有2个。 做题，导致出错。 若a≤0，则f(x)>0恒成立，函数y= 正解：因为f(x)为偶函数，所以f(一1) f(x)与直线y=a无交点，不满足题意。 =f(1)。由f(x)的图像关于x=2对称，得 若a>0,则当x0时，f(x)=e∈(0， f(2+x)=f(2-x)。令x=1,则f(1)= 1];当x>0时，f(x)=x一&为单调递增函 f(3)=2×3-1=5,故f(-1)=5。 素养关联：本题考查函数的对称性和奇 数，且当x→0时，f(x)一∞，f(√a)=0。 偶性，涉及抽象函数的运算性质，考查数学运 由此可作出函数y=f(x)的大致图像，如图 算、逻辑推理等数学核心素养， 1所示。 由图可知，当0<a 高考链接 (2025年高考新课标I卷第5题)已知f(x) ≤1时，函数y=f(x) =f(x) y=d 是定义在R上周期为2的偶函数，当2x≤3 的图像与直线y=a恰 有2个交点，故选B。 时，fx)=5-2x,则f(-）=( )。 素养关联：本题 A.-3 B.-1 c. 1 考查函数零点和函数 D.2 的性质，将复杂问题 图1 易错点：对函数的周期性与奇偶性概念 转化为更直观的图像交点问题，需要严谨地 把握不准确，忽视x的取值范围导致错误。 对参数的取值范围分情况讨论，考查数学抽 正解：f(-)=f()=f(+2) 象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。 高考链接 -2,选A。 (2024年高考新课标I卷第6题)已知 31 中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2026年2月 x2-2ax-a,x<0, 错误。故选B。 函数f(x)= 在R上 e+ln(x+1),x≥0， 素养关联：本题考查抽象函数，随着考查 单调递增，则a的取值范围是()。 形式不断创新，考查内容越来越深入，对同学 A.(-c∞，0]B.[-1,0] 们的逻辑思维能力要求较高。 C.[-1,1] D.「0，十∞) 高考链接 易错点：函数在R上为增函数，需要使 (2024年高考新课标I卷第8题)已知 f(x)=-x2-2ax一a在（一∞，0）上的最大 函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x一1) 值不大于f(x)=e十1n(x十1)在[0，十c∞) 十f(x一2)，且当x<3时，f(x)=x,则下列 上的最小值，部分同学容易遗漏这一限制条 结论中一定正确的是()。 件而导致出错。 A.f(10)>100B.f(20)>1000 正解：f(x)=e+ln(x十1)在[0，+∞)上是 C.f(10)<1000D.f(20)<10000 增函数。f(x)=一x2-2ax-a在（一∞，0）上是 易错点：本题错选C的比例较高，原因在 一个开口向下的二次函数，对称轴为x=一a,当 于不理解f(x)>∫(x-1)+f(x-2)的意 且仅当a0时，f(x)为增函数，即a0。 义，不知如何利用初始条件，导致无法计算其 函数f(x)=e十ln(x十1)在[0，十∞) 他数值。 上的最小值为1，f(x)=-x2-2ax-a在 正解：本题考查抽象函数，递推与构造部 (一∞，0)上的最大值为一a,需满足一a≤1， 分与斐波那契数列有关，引导同学们关注数 解得一1≤a≤0。选B。 学文化。 三、抽象函数的综合应用问题忽视逻辑 由条件得f(1)=1,f(2)=2,f(3)> 推理 1+2=3,…,f(10)>89。并没有推出f(10) 例3已知函数f(x)满足f(x十y十1)= >100,举出反例A错。继续推，容易看出 f(x)十f(y),则下列结论一定正确的是( )。 f(20)>1000。条件仅有f(x)>f(x-1) A.f(x)十1是奇函数 十f(x一2)，并且由较小的f(x)值无法得到 B.f(x一1)是奇函数 较大的∫(x)值的上界，由此可以构造反例说 C.f(x)一1是奇函数 明C、D错误。故选B。 D.f(x十1)是奇函数 四、忽视导数的几何意义导致在求切线 易错点：由于只给出了函数特征，没有给 方程中出现错误 出具体的函数解析式，以致没有解题思路。 例4（人教A版《数学选择性必修第 正解：已知f(x+y十1)=f(x)+ 二册》第82页第11题)设曲线y=ear在点 f(y),令x=y=-1,可得f(-1)=f(-1) (0,1)处的切线与直线2x一y十1=0垂直， 十f(一1)，则f(一1)=0。 求a的值。 令y=一2一x,则f(一1)=f(x)十 易错点：不理解导数的几何意义及复合 f(一2一x)=0,故f(x)的图像关于点（一1， 函数y=eax求导错误。 0)对称，则f(x一1)的图像关于点(0,0)对 称，即f(x一1)是奇函数，B正确。 正解：y=2aeyc0)=2a=-号，则 令x=y=0,可得f(1)=f(0)十f(0), 1 a=- 49 1 则f(0)=2f1)。当f1)≠2时，f(0)-1 素养关联：本题在知识交汇处命题，教考 ≠0，此时(x)一1不可能是奇函数，由于无 衔接紧密，考查转化与化归思想，考查同学们 法确定f(1)的值，故∫(x)一1不一定是奇 的逻辑推理能力与数学运算能力。 函数，C错误。 高考链接 取f(x)=x十1，满足题意，但易知A,D (2024年高考新课标I卷第13题)若曲 32 解题篇数晕结题归泰割析中学生教理化 高二数学2026年2月 线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y B.f(-1)<4f(-2) =ln(x+1)+a的切线，则a= C.16f(4)<9f(3) 易错点：不理解公切线概念，解题出错。 D.4f(-2)>9f(-3) 正解：令f(x)=e十x,则f'(x)=e十1， 易错点：数学建模能力不足，不会合理构 f'(0)=2,所以曲线y=e+x在点(0,1)处的 造函数。 切线方程为y=2x十1。令g(x)=ln(x十1) 正解：令g(x)=x”f(x)。当x>0时， 1 十a,则g'（x)=x市。设y=2x十1与y= xf'(x)十2f(x)>0,新以g'(x)=2xf(x) 十xf'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0,g(x) g(x)相切于点(x。,y),则1 =2,解得x0 在(0，十∞)上单调递增。 又f(x)是定义在R上的奇函数，y=x =-分.故0=1n(-之+1)+a,则a=n2. 是定义在R上的偶函数，故g(x)=x2f(x) 五、忽视函数极值点定义求极值 是定义在R上的奇函数，g(x)在（一∞，0）上 例5（人教A版《数学选择性必修第 单调递增。 由g(2)>g(1),可得f(1)<4f(2),故 二册》第104页第9题)已知函数f(x)= A正确。 x(x一c)在x=2处有极大值，求c的值。 易错点：不会求多个式子相乘的导数，运 由g(-1)>g(-2),可得f(-1)> 4f(一2)，故B错误。 算复杂导致失分，误认为导数为零的点就是 极值点。 由g(4)>g(3),可得16f(4)>9f(3), 正解：f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+ 故C错误。 c2x,则f'(.x)=3x2-4cx+c2。当f'(x)= 由g(-2)>g(-3),可得4f(-2)> 9f(一3)，故D正确。 0时x=号或x=c,函数f(x)=x(x-c) 故选AD。 可能有极值。 素养关联：本题构造函数模型后，通过求 由题意知，当x=2时，函数f(x)=x(x 导分析其单调性，导数方法与构造函数模型 一c)有极大值，所以c>0,得到表1。 思想一旦结合起来，问题的设计便更加广阔， 表1 解决问题的方法就更为简便。 通过对近几年高考中导数与函数的试题 (c,十oo) 分析，可以得出以下结论：因数学抽象与逻辑 f(x 0 0 推理能力不足导致的错误最为常见。我们提 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 出以下建议：首先，同学们在学习中，要回归 课本，重视教材，夯实基础，提升数学抽象能 当x=3时，函数f(x)=x(x一c)有 力；其次，在学习中，要主动思考、积极探究， 极大值，此时 对不同模块的错题资源进行有机整合，挖掘 =2,c=6。 出题目背后所隐含的数学思想方法，加深对 素养关联：本题考查复合函数求导法则 数学本质的理解，推动逻辑推理与数学建模 的应用，考查同学们的逻辑推理能力、运算求 能力的提升，从而培养同学们的解决问题能 解能力及综合解题能力。 力和创新发展能力。 六、构造函数模型不合理导致解题出错 注：本文系2025年度河南省基础教育教学 例6（多选题）已知f(x)是定义在R上 研究项目“借助错题资源提升高中学生数学核心 的奇函数，当x>0时，xf'(x)十2f(x)>0恒成 素养的研究”（立项编号：JCJYO2503030404)研究 立，则()。 成果。 A.f(1)4f(2） (责任编辑徐利杰) 33