求解导数问题须谨防七个易错点-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

解题篇易错题归类制析中学生数理化 高二数学2026年2月 求解导数问题须谨防七个易错点 ■天津外国语大学附属滨海外国语学校 高士娟 导数作为一种工具，在解决数学问题时 极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、 2x2sim2x-).故选B. 极值、最值和切线的方程。求解导数问题须 易错提醒：对于两个函数f(x)和g(x) 谨防诸多易错点，下面举例说明。 的乘积的导数，[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x) 易错点1对导数的定义理解不到位 十f(x)g'(x)。对于函数y=f(u)和u= 例1若函数f(x)可导，则 g(x)复合而成的函数y=∫(g(x)),它的导 m1--f①等于( 数y'=y·u'。 ）。 2△x 易错点3混淆“在某点”和“过某点”切 线的区别 A.-2f'(1) B.2f') 例3已知曲线y=x3-2x2+2x+1, C.-3f'1 D.f(3) 求曲线过点P(0,1)的切线方程。 解析：由题意得y′=3x2一4x十2。设曲 解析：lim(1一△x)-f(1) 线y=x3一2x2+2x十1与过点P(0,1)的切 2△x 线相切于点Q(x,y。)。设切线的斜率为k, f[1+(-△x)]-f(1) -△x 则由点斜式得切线方程为y一1=k(x一0)。 1 k=y'1x=,=3.x-4xo十2， =-2f'(1)。故选C。 则y。一1=k(x。一0)， 易错提盟：f(）=m会器 y。=x8-2x8十2x0十1。 A 解得k=1或k=2。 imfx,+△）-fx》,要注意定义式中的 故曲线过点P(0,1)的切线方程为2x一 凸王0 △x 分母一定是分子上两个函数值对应自变量的 y十1=0和x-y十1=0。 差，如果不是要通过调整系数实现对应。 易错提醒：利用导数研究曲线的切线问 题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点 易错点2错用导数的运算法则 处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可 例2函数y=xcos(2x-)的导数 求切线斜率，已知斜率可求切点坐标。(2)切 为( 点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和 曲线有其他的公共点。(3)曲线y=f(x)在点 A.y=2xcos(2x-3）-xsim(2x-S） P(xo,yo)处的切线与过点P(xo,y)的切线 By=2xcos(2x-S）-2xsim(2x-S） 的区别：曲线y=f(x)在点P(xo,y)处的切 线是指点P为切点，若切线斜率存在，则切线 C.y'-x'cos(2x-)-2rsin(2x-) 斜率为k=f'(x。),且切线是唯一的；曲线y= f(x)过点P(x,yo)的切线是指切线经过点 Dy'=2xcos(2x-S）+2x'sin(2x-5） P,点P可以是切点，也可以不是切点，而且满 足条件的切线可能有多条。 解析：由题意知y=(x2)ycos(2x一于)+ 易错点4利用导数求函数的单调区间 忽略定义域 x[os(2x-3)]'=2xos(2x-)+x 例4函数f()=n的单调递减区 [-sim(2x-5】(2x）'=2xos(2x-g) 间为( 29 中学生表理化然氨学易早类析 A.(-∞，e) B.(0,e) 间[a-1,a]上单调递减，求实数a的取值范围」 C.(1,e) D.(0,1)和(1，e) 解析：函数f(x)2x29nx(x>0, 解析：函数f(x)= 二的定义线为0,1U 则f'(x)=x一 9_x2-9 。令f'(x)≤0，得0 1,+oo),求导得f(x)=nx-1 (ln.x)2。 由f'(x)< <x≤3，所以f(x)的单调递减区间为(0,3]。 0,即lnx1 因为f(x)在区间[a一1，a]上单调递减， (In x)2 <0,解得0<x<1或1<x<e。 所以[a一1，a]是(0,3]的子区间，即 所以函数了(x)=一的单调递泼区间 /a-1>0, 解得1<a3。 a3, 为(0,1)和(1，e)。故选D。 故实数a的取值范围是(1,3]。 易错提醒：求函数的单调区间必须树立 易错提醒：若函数在区间I上单调递增 定义域优先的思想，即先求函数的定义域，再 (诚)，函数的单调递增（减）区间是D,则I三 在定义域上求函数的单调区间。 D 易错点5混淆极值点与导数等于零的 易错点7判断函数零点时画图出错 点的区别 例7若函数f(x)=ae一x2有两个 例5若x=1是函数x)=名+ 极值点，则实数a的取值范围为()。 (a十1)x2一(a2十a一3)x的极值点，则a的 A.0<a<号 B.0<a<ln 2 值为()。 A.-2 B.3 D.0<a<In 2 C.a<e C.-2或3 D.-3或2 解析：因为f(x)=ae-x2,所以f'(x) 解析：fr)=名十a+1)x-(a+a =ae一2x。已知函数f(x)有两个极值点， -3)x→f'(x)=x2+2(a+1)x-(a2+a 则ae一2x=0有两个解，即y=a和g(x) 3)。由题意可知f'(1)=0→f'(1)=1+2(a -二有两个交点。 十1)-(a2十a-3)=0→a=3或a=-2。 当a=3时，f'(x)=x2+8x-9=(x+十 因为g'(x)= 2(1一工），所以当x<1时， e 9)(x-1)。令f'(x)>0,解得x<一9或 g'(x)>0,g(x)在(-∞，1)上单调递增；当x x>1,函数f(x)在(-∞，-9)，(1，+∞)上 >1时，g'(x)<0,g(x)在(1，十∞)上单调递 分别单调递增；令f'(x)<0,解得一9<x 1,函数f(x)在（一9,1）上单调递诚。所以 减.故g)m=g1)=名。当x十60时， x=1是函数f(x)的极值点，符合题意。 g(x)→0；当x一o∞时，g(x)→-∞。g(x) 当a=-2时，f'(x)=x2-2x十1=(x 的大致图像如图1所示。 一1)≥0，所以函数f(x)是R上的单调递增 因为y=a和g(x) 函数，没有极值，不符合题意，舍去。故选B。 有两个交点，所以0 易错提醒：导数等于零的点不一定是函 数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应 。故选A <a<2 满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值 易错提醒：当利用导 图1 点两边导函数的符号相反。 数研究函数的图像变化时，一定要区分当自 易错点6把函数在区间上单调与函数 变量趋近于无穷时，函数值是趋近于无穷还 的单调区间混为一谈 是趋近于一个常数。 例6若函数fx)=x-9nx在区 (责任编辑赵倩) 30