小议导数几何意义的应用-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2026年2月 中学生数理化 小议导数几何意义的应用 ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 导数的几何意义是曲线在某一点处切线 √x,得y'=3x2一√，所以曲线在点P处切 的斜率，是高考常考的内容之一。导数的几 线的斜率k=y1,=。=3z6一√5。 何意义使我们能够从几何的角度来理解函数 根据二次函数的图像性质，可得k=3x 的变化和曲线的特性。下面归纳总结导数几 -√3≥一√5。又k=tana,则tana≥-5。 何意义的应用。 一、比较导函数值的大小 因为a∈[0，π)，所以a的取值范围为 例1(2025年山 ,u[: 东枣庄期末试卷)已知函 故选C。 数∫(x)的部分图像如图 评注：正切函数y=tanx的单调递增区 1所示，其导函数为 f'(x),则()。 间为(x一受，kx+受)k∈乙。 图1 A.f'(x1)>f'(x2) 三、求曲线在某点处的切线方程 >f'(z:) 例3(2025年广东广州联考试卷)已 B.f'(x1)>f'(xa)>f'(x2) C.f'(x3)>f'(x2)>f'(x1) 数(z)满足fx)+2f-x) D.f'(x2)>f'(x3)>f'(x1) f(x)在点(？，2)处的切线方程为( )。 解析：由∫(x)的单调性可知，f'(x1)< 0,f'(x2)>0,f'(x)>0。因为f(x)的图像 A.4x+y-4=0B.12x-y-4=0 在x?处切线的倾斜角大于在x处切线的倾 C.2x-2y+3=0D.12x十y-4=0 斜角，所以f'(x2)>f'(x)。 解析：由f(x)十2f1-x)=三，得 因此f'(x2)>f'(x)>f'(x1)。 故选D f(分)+2f(2)=6,解得f(2)=2,即点 评注：函数y=∫(x)在x=x。处的导数 的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x。, (经，2)在函数y=(x)的图像上。 f(x))处切线的斜率。 3 求导得f'(x)一2f'(1-x)= 二、求曲线在某点处切线的倾斜角范围 例2(2025年浙江杭州期末试卷)若 令=则() =12。 点P在曲线y=x3一√x上，曲线在点P处 切线的倾斜角为α，则实数α的取值范围为 所以f(x)在点（侵，2）处的切线方程为 ()。 y-2=12(x-2）,即12x-y-4=0。 a医 故选B。 Bo,) 评注：曲线在某，点处的切线是唯一的。 四、求过曲线上某点的切线方程 c.[o.) 例4(2025年河南焦作期末试卷)过 n[,受u(匠， 点(1,6)且与曲线y=2x3十4相切的直线方 程为()。 解析：设P(xo,yo),由函数y=x3 A.6x-y=0 27 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年2月 B.9x-y-3=0 六、求曲线上的点到直线的最小距离 C.6x-y=0或3.x-2y+9=0 例6(2025年河北秦皇岛期中试卷) D.9x-y-3=0或3x+2y-15=0 若点P是曲线x2-y一lnx=0上任意一点， 解析：设切点为(xo,2x8十4)。因为y 则点P到直线x十y一1=0的最小距离为 =6x2,所以y1=。=6z6,故曲线y=2x3十 )。 4在点(x。,2x8十4)处的切线方程为y (2x8+4)=6x8(x-x。)。 A.2m2-) B.(n2-) 又该切线过点(1,6)，所以6一(2x+4) =6x8(1-xo),整理得(x。-1)(2x。十1)= c号(+la2）)n+n) 0,解得x。=1或x。=一之· 1 解析：直线x十y一1=0的斜率k=一1。 由曲线x2一y一lnx=0,得函数y= 所以切线方程为6x一y=0或3x一2y x2一l1nx的定义域为(0，十∞)。设P(xo, 十9=0。 y。)(xo>0),且曲线在点P处的切线与直线 故选C。 x+y-1=0平行。 评注：过曲线上某点的切线不一定唯一。 1 五、求两条曲线的公切线方程 对函数求导得y'=2x一元。令y'1 例5(2025年北京大兴期末试卷)已 1 =2x0 。=一1.而，>0，解得，=2。此 知直线l是曲线y=1十lnx与曲线y=ln(x 十2)的公共切线，则1的方程为。 时=子+n2,则点P(合，号+n2) 解析：设点(x1,1十lnx1)在曲线y=1+ 所以曲线x2-y-lnx=0上的点P到 1nx上。因为a十1nx)'=1,所以曲线y= 直线x十y一1=0的最小距离为点 1十lnx在x=x1处的切线为y一(1十lnx1) P(侵，子+1n2)到直线x+y-1=0的距 =1(x-x1),即y=∠+lnx1。 TI 2++n2-1 la2- 设点(x2,ln(x2+2)在曲线y=ln(x+ 离，即d √2 2》上。因为1nx+2了=十2所以曲线y =ln(x十2)在x=x2处的切线为y 故选B。 1 x2+2(x-x),即y x l1n(x2+2)= x2+2+ 评注：曲线上的点到直线（的最小距离， 即与直线平行且与曲线相切的直线与直线 ln(x2+2)- Ty x2十2 l间的距离。 由公切线的概念可知 七、求代数式的最值 1 例7(2025年安微六安联考试卷)已知 x1x2+21 解得 x1=2, Ty lnx1=ln(x2十2) x2=0。 m>0,n>0,直线y=二十m+1与曲线y=lnx e x2十21 所以两条曲线的公切线（的方程为y= n十3相切，则2+是的最小值为( ）。 m n 1 2x+In 2. A.16 B.12 C.9 D.8 评注：两条曲线的公切线是与两条曲线 都相切的直线，导数在切点处的值是切线的 解析：y=lnx-n+3求导得y'= x 斜率，切点既在切线上又在曲线上。 (下转第43页) 28 清纸箱名故备西留暂整签繁室樱香中学生款理化 所以f(x)>(0)=0,满足题意。 1 1 1 综上，实数a的取值范围为（一∞，2]。 k2十k十2 (3)易知当x>0时，sinx<x。 1 1 所以之sin 、1 1 取x=k(k十D,则sin(k十D< k(k十1)」1+。 3 :1+2 1 11 k(k十1)友k十1 2 1 2+ 2+ 十…1 1 2 1 33 所以in[]<1-名+是-吉 「17 2 n+2n+2 2 ++1 分片1点<1 2n+3° 由(2)知，当a=2,且0<<1时，千2 1 <sin (责任编辑赵倩) 1 1 取x=(k十D,则sink十D (上接第28页) 设切点为(t,lnt一n十3)，则}=1>t 3),求导得f'(x)=3x2一a,所以切线方程为 y-x8十ax0-3=(3x8-a)(x-xo)。 =e,即切点坐标为(e,4一n)。由切点在切线 因为切线过点P(1,0),所以0一x8十 上得4一n=2十m,即m十n=2。 ax-3=(3x6-a)(1一x0),整理得2x8 1+9=(+9).m+=5+”+ m n m n 2 2m 3x6+a-3=0。 9m 」 9m 因为过点P(1,0)可作曲线f(x)=x2一 =8,当且仅当 2n ≥5+2√2m 2n ax+3的三条切线，所以方程2x8一3.x8十 9m 2n2m即m三n=号时等号成立。 a一3=0有三个不同的实数解。 令g(x)=2x8-3x2-3十a,则g'(x)= m十n=2, 6x2-6x。由g'(x)>0,得x<0或x>1;由 所以十9的最小值为8。 m g'(x)<0,得0<x<1。所以函数g（x)在 故选D。 (一∞，0)，(1，十∞)上分别单调递增，在(0， 评注：已知两个正数的和为定值，可以利 1)上单调递减。 用该定值构造等式，利用基本不等式求最值， 因为g(x。)=0有三个不同的实数解，所 需要注意等号成立的条件。 以g(0)=a-3>0,g(1)=a-4<0,解得 八、求参数的取值范围 3a4。 例8(2025年安微阜阳联考试卷)若 故实数a的取值范围为(3,4)。 故选A。 过点P(1,0)可作曲线f(x)=x3一ax十3的 评注：三次函数是一个特殊的函数，高考 三条切线，则实数a的取值范围为( ）。 中的三次函数屡见不鲜。三次函数的标准形 A.(3,4) 式为y=ax3十b.x2+cx十d(a≠0，a,b, B.(2,3) c,d∈R),其图像为回归式抛物线，具有中心 C.(-∞，3)U(4,+∞) 对称性。 D.(-∞，2)U(3,+∞) (责任编辑赵倩) 解析：设切点的坐标为(xo,x&一ax。十 43