导数学习中的“立“与“破”-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

中学生款理化餐题蕴学经典题翠被方法 导数学习中的 ■北京理工大学？ 导数是研究函数性质的一个重要工具， 它可以帮助同学们解决复杂的函数问题。在 导数学习中，如何将导数及其应用落到实处， 如何利用导数灵活地解决函数问题呢？我们 可以把导数的学习分为两个任务一“立”与 “破”。何为“立”？何为“破”？怎样处理好这 两个任务的关系呢？ 下面以2025年新高考全国Ⅱ卷第20题 为例，分析要“立”什么，要“破”什么。 题目：已知函数f(x)=ln(1十x)一x十 名-kx,其中0<k<号 (1)证明：f(x)在区间(0，十∞)内存在 唯一的极值点和唯一的零点。 (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0， 十∞)内的极值点和零点。 (i)设函数g(t)=f(x1+t)一f(x1 t),证明：g(t)在区间(0，x1)内单调递减； (ii)比较2x1与x2的大小，并证明你的 结论。 解析：解决本题需要“闯六关”。 (1)第一关：求导运算一函数的四则运 算求导法则、复合函数求导法则。 1 -1+x-3k.x2= x f'(x)= 1+x 1+x 3kx2=1十x -3kx-3k+1)。 因为x∈(0，十∞)，所以x2>0,1+x> 0。令f'(x)=0,解得x=3-1。 1 第二关：导数正负的判断，关注符号的处理。 当x∈(0，xo)时，f'(x)>0;当x∈(x0, 十∞)时，f'(x)<0。所以f(x)在(0，x。)上 单调递增，在(xo,十∞)上单调递减。f(x) 在0，十)上存在唯一的极值点x。-头 1,是极大值点。 第三关：根据函数性质，进行不等式放 缩，简化计算。 利用函数y=ln(1十x)一x在(0，十∞)上 22 “立”与“破” 属中学都玲玲 单调递减的性质，易证ln(1十x)一x<0恒成 立，从同将复杂运算简化为了x)<号-r。 第四关：构造特殊函数值，判断零点的 存在。 因为2x-kx=x(1-2kx),所以 (26)<0。又因为f(6-1)>f0)=0, 所以根据零点存在定理，判断f(x)在(0， 十∞)内存在唯一零点。 (2)第五关：多变量问题，控制变量，认清 主元与参数的关系。 )由1知x=证-1 g(t)=f(x1+t)-f(x1-t)。 则g'(t)=(x1十t)2· 1 x1十t十11+x1/ 1）+(x1-t)· 1 1} x1-t+11十x1) -t(x1十t) t(x1-t)2 (x1+t+1)(x1+1DT(x1-t+1)(x1+1D =3kt 「(x1十t)2(x1-t)27 Lx1十t十1x1-t+1 6kt2(t2-x-2x1) (1+x1)2-t2 因为k>0,t∈(0，x1),所以t2-x 2x1<0,(1十x1)2-t>0,可得g'(t)<0,即 g(t)在(0，x1)上单调递减。 (i)第六关：利用已知函数结构构造所求 对象，再根据已知函数的性质得解。 由(i)知函数g(t)在区间(0，x1)上单调 递减，所以g(0)>g(x1),即0>f(2x1)。易 知f(x2)=0。由(1)可知f(x)在(x,十∞) 上单调递减，x2∈(x0,十∞)，且对任意x (0,x2),f(x)>0,所以2x1>x2。 启发：解决本题需“闯六关”，其中第一关 和第二关是导数及其应用的基础，并且是最 核心的内容，若这两关“立”不住，则寸步难 行；第三关到第六关是针对本题情境下采取 的有效策略，即在数学思想方法的指导下，对 难点问题采取的突破方法。因此，导数学习 中练就过硬的基本功是基石，必须要“立”得 住。另外要有突“破”难点的策略与方法，方 能顺利过关。 一、何为“立”？立基础，立通法 (一)数学运算是数学学科的核心素养之 一，求导计算是所有导数问题的基础，一定要 “立”得住。 要解决计算问题，首先，要明晰算理，落 实导数的四则运算、复合函数的求导公式，练 好基本功；其次，要养成好的计算习惯，采用 “小步快走”的战术，计算过程清晰细致，不易 出错；最后，要经常总结与反思，优化计算。 (二)概念要清，在理解核心概念后掌握 好通性通法。 1.导数与函数单调性的关系 利用导数研究函数的单调性是导数的一 个重要的应用。若函数f(x)在区间[a,b]上 连续，在(a,b)上可导，则f'(x)>0(<0)是 f(x)在[a,b]上单调递增（减）的充分不必要 条件；f'(x)≥0（≤0）是函数f(x)在[a,b] 上单调递增（诚）的必要不充分条件。 2.零点的既念 根据零点的代数定义，零点是函数值正 负的分界点，也是方程f(x)=0的根。零点 的几何定义是函数图像与x轴交点的横坐 标，有时也可以转化为两个函数图像交点的 横坐标。在判断函数是否存在零点或零点个 数时，可以利用零点存在定理，判断相邻极值 点及区间端点函数值点的正负。 3.极值点的慨念 极值点的定义是在小邻域内，函数值最大 或最小时自变量的值。连续可导、连续不可导 或者不连续函数，都有可能存在极值点。一个 连续可导函数，极值点是导数的变号零点。 4.切线的概念 连续可导函数，其图像的切线一定伴随 着切点，充分用好切点的“三重身份”是解题 的关键：①切点一定在函数图像上，切点坐标 满足函数的解析式；②切点一定在切线上，切 解微餐典题突方清中学生表理化 点坐标满足切线方程；③函数在切点横坐标 处的导数为切线斜率。 例1(2018年海淀一模（文）节选)已知 函数f)r-名十ax一1。求证：当 a<0时，函数f(x)既有极大值又有极小值。 解析：首先需要对自变量x的正负进行 分类讨论。 当x≥0时，fx)=号x- 2x:+ax- 5 1,f'(x)=x2-5x十a。令'(x)=0,解得 方程的根为x1=5一√25一4a x2= 5+√25-4a 2 ,x1<0<x20 x,f'(x),f(x)的变化情况如表1所示。 表1 x (0,x2) J2 (x2,十o∞) f'(x) 0 f(x) → 极小值 1 当x<0时，f(x)= 3x 2x:-ax- 1,f'(x)=x2-5x-a。因为x<0,a<0,x -5x-a>0,所以f'(x)>0,f(x)在(-∞， 0)上单调递增。 如果对函数的两段进行考查，只会找到 一个极值点，另一个极值点在哪里呢？如果 对极值点概念掌握不够全面，就会面临这样 的困惑。虽然函数在x=0处不可导，但是根 据极值点的定义，x=0是函数的极大值点。 当a<0时，x,f'(x),f(x)在区间 (一∞，十∞)上的变化情况如表2所示。 表2 (-00,0) 0 (0,x2） (x2,十∞） 不存在 0 f() 极大值 极小值 当x=0时，f(x)取得极大值；当x=x? 时，f(x)取得极小值。 例2(2024年高考北京卷第20题节 选)设函数f(x)=x十k1n(1十x)(k≠0)，直 线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>0)处 23 中学生表理化然学聚整方祛 的切线。求证：l不经过(0,0)。 解析：了(x)=1十车切点为4f》 《>0,所以切线的斜率为了()=1十车，切 线方程为y-f)=(1+年，)x-). 下面证明(0,0)不满足切线方程，即证关 于：的方程-f)=(1+车，)(-)无实 根。原方程可整理为(1十t)ln(1十t)一t=0, 设x=1十t,原方程可化为xlnx一x十1=0。 设F(x)=xlnx-x十1(x>1),F'(x)= 1nx>0,则F(x)单调递增，F(x)>F(1)= 0,所以方程F(x)=0无解，即原方程无解。 因此L不经过(0,0)。 反思与总结：本题主要抓住了切线方程 的基本要素，函数零点的代数定义的转化。 只有牢牢掌握了基本概念，才能实现有效转 化，面对难题也能迎刃而解。 例3设a>0,讨论函数f(x)=lnx 十a(1-a)x2一2(1一a)x的单调性。 解析：已知函数f(x)的定义域为(0， +o,则f'(x)=2+2a1-a)x-21 a),即f'(x)=1+2a1-a)x2-2(1-a)z 易知x>0,不妨令g(x)=2a(1-a)x 一2(1一a)x十1，为确定g(x)的正负值，需 对a进行分类讨论。 第一层：对二次项系数进行讨论。 (1)当a=1时，g(x)是常数函数，此时 g(x)=1≥0，f'(x)>0,于是∫(x)在(0， 十∞)上单调递增。 (2)当a≠1时，g(x)是二次函数，首先 讨论f'(x)=0是否有实根，方程g(x)=0 对应的△=4(a-1)(3a-1)。 第二层：判断方程g(x)=0是否有根。 ①当4<0，即弓<a<1时，)=0无 实根，g(x)的图像在x轴上方，即'(x)> 0,f(x)在(0，十∞)上单调递增。 1 ②当△=0，即a=3时，g(x)=0有两 24 3 个相等的实根，即x=,=2,于是∫'(x)≥ 0,f(x)在(0，十∞)上单调递增。 @当△>0，即0<a<了成a>1时， g(x)=0有两个不相等的实根，分别为： _√(a-1)(3a-1) 1 x1-2a 2a(1-a) -，x=2a+ √(a-1)(3a-1) 2a(1-a) 第三层：比较两根大小，判断根是否在定 义域内。 当0<a<时a<,且x>0,x> 0。由f'(x)>0,可得0<x<x1或x>x2, 故f(x)在(0，x1)和(x2,十∞)上分别单调递 增；由f'(x)<0,可得x1<x<x2,故f(x) 在(x1,x2)上单调递减。 当a>1时，x2<0<x1。由f'(x)>0, 可得0x<x1,所以f(x)在(0，x1)上单调 递增；由f'(x)<0,可得x>x1,以f(x) 在(x1,十∞)上单调递诚。 反思与总结：利用导数研究含参函数的 单调性问题是导数应用中的基本问题，而解 决这类问题往往需要对参数进行分类讨论， 分类讨论的目标就是判断导数的正负，所有 的实施策略也是围绕这个目标而展开。 二、何为“破”？破定式，破难点 (一)回归上位概念，用更普适的方法化 解难题。 例4(2022年高考北京卷第20题节选) 已知函数f(x)=eln(1十x)。设g(x)= f'(x),讨论函数g(x)在[0，十∞)上的单调性。 17 解析：易知g(x)=eln1十x)十1十' x∈[0，+∞)，则g'(x)= 2 1 ln(1+x)+1千z一(1+x)] 只需关注当x∈[0，+∞)时，y=ln(1十 )中异。a的正负： 策略一：构造函数，利用导数研究函数的 单调性、极值与最值，判断其正负。 2 1 设hx)=n1十x)+1千xa十x),则 1 2 x2十1 h(x)=1+xa+x)+ 2 1+x)-1+x) 0,h(x)在[0，十∞)上单调递增，所以h(x)> h(0)>0。 策略二：利用不等式的性质与基本初等函数 的性质，进行不等式放缩，从而判断其正负。 21 ln(1+x)+ 1z (1F)>In 1+12 +>0. 综上，g'(x)>0,故g(x)在[0，十∞)上 单调递增。 反思与总结：本题的目标是判断导数的 正负，实际上，判断代数式正负的方法都可以 用，并非都需利用导数工具，在具体问题情境 中要根据目标而采取不同的策略，避免思维 定式，尤其面对难题时，更需要回归上位概 念，采用更普遍的方法突破准点。 (二)用数学思想调整解题思路，突破导 数难点。 例5若a<m'<b对x∈(0，)恒 成立，求a的最大值与b的最小值。 解析：不等式a<1n工<b对x∈ (0,)恒成立，一般可以转化为函数最值问 题。构造函数g(x)=in工，只需求g(x)的 最大值与最小值。易证g'(x)= cos sin严<0，所以g(x)在(0，受)上单 调递减，86x)>g(侵)）=是 因为gx)>a恒成立，所以a≤号即a 的最大值为兰。 g(0)无意义，怎样求b的取值范围呢？ 调整策略：变换不等式，重新构造函数。 sin a<bsin x-b0,h (x)=sin &-bt, 求h(x)的最大值。易知h(x)=cosx一b。 若b0,而h(x)>0对任意x 解蕴数经典题突破方清中学生教理化 高二数学2026年2月 (0,)恒成立，显然b≤0不成立。 当b≥1时，因为对任意x∈(0，受) h'(x)=cosx一b<0,所以h(x)在区间 (0,)上单调递减，从而h(x)<h(0)=0对 任意x∈(0，)恒成立。 当0<b<1时，存在唯一的x。∈ (0,受)使得'(x)=c0sx。-b=0. x,h'(x),h(x)在区间(o,)上的变化 情况如表3所示。 表3 2 (0,x0) Jo h'(x) 十 0 h(x) 极大值 显然当x∈(0，x。)时，h(x)>0,不符合 题意。 综上所述，b的取值范围为[1，十∞)，即 b的最小值为1。 反思与总结：由不等式恒成立求参数的 取值范围，这类问题中经常会遇到因函数的 上限或下限在函数的无定义的点处，此时就 无法得到参数的取值范围。面对这种情况， 可以利用转化思想，变换不等式，优化函数结 构，重新构造函数，化解难点。 例6(2022年高考北京卷第20题节选) 已知函数f(x)=eln(1十x)。证明：对任意的 s,t∈(0，十∞)，有f(s十t)>f(s)+f(t)。 解析：策略一：观察代数式的结构特征， 造“同构”，构造函数。 f(s+t)>f(s)+f(t)台f(s十t)一 f(s)-f(t)>0。 f(s+t)一f(s)一f(t)=e+tln(s+t+ 1)-e'1n(s+1)-e1n(t+1) =e+'ln(s+t+1)-e'ln(s+1)- [e+1n(0+t+1)-e1n(0+1)]。 设F(x)=e+ln(x十t十1)-eln(x十 1),只需证明F(s)>F(0)(s>0)。 25 中学生表理化然学聚整方祛 e+ F'(x)-eIn(1+x+)++ e1n(1十x) e 1+x =f'(x十t)-f'(x)。 易证'(x)=e[1+x)+十]在 [0,+∞)上单调递增，所以f'(x十t)≥ f'(x),即F'(x)>0,F(x)在(0，十∞)上单 调递增。 因为s>0,所以F(s)>F(O)。命题得证。 策略二：双变量转化为单变量，控制变 量。不妨把s看作自变量，把t看作参数。 构造函数h(s)=f(s十t)一f(s) f(t),只需证明Hs>0,h(s)>0。证明略。 反思与总结：在高考中，经常会遇到关于 双变量或多变量问题，此时可以利用函数思 想，通过制造“同构”，转化为函数关系，再利 用函数的性质解决问题，或者通过控制变量， 达到“减元”的目的，从而转化为新的函数关 系再进行研究。 (三)大胆猜想，变换角度尝试推理验证 例7(2022年北京海淀一模节选)已 知函数f(x)=xsin x。求函数g(x)= f(x)十1在区间1，x]上的最小值。 In x 解析：若先通过求导，再求单调区间和极 值，则计算量会非常大。g'(x)= (sin x+xcost)In+(rsin +1)1 (1nx)2 ，而且 导函数的形式复杂，难以继续研究，所以要寻 求其他的策略。一个最简单的猜想：对于一 个分式型函数，且分子分母均为正数的前提 下，若分子取得最小值，同时分母取得最大 值，此时函数就会取得最小值。 把区间1，]分为1，]与（经可两个 区间。易知f(x)在区间(1，]上单调递增， '(x)在（受，不上存在一个变号零点，且 f(x)在区间(1，x。)上单调递增，在区间(x。, π]上单调递诚。所以x。是∫(x)的一个极大 值点。又因为f(1)=sin1>0,f(π)=0，所 26 以f(x)在(1，π]上的最小值为0。 而y=lnx在(1，π]上的最大值为lnπ，根 据不等式的性质可得(x)=≥n三 n元经检验当x=元时，g(x)取得最小值1 1 nπ9 反思与总结：面对难题时，若常用的方法无 法解决，则可以尝试退回上位概念，比如求最值 问题，可以尝试用不等式的性质；判断函数单调 性，可以尝试用基本初等函数的单调性结合不 等式的性质。当退回上位概念时，思路会更加 宽广，方法会更加灵活，使得难题得到破解。 例8函数f(x)=ae-sinx十2x。 直接写出a的一个值，使f(x)≤a恒成立。 解析：利用两端极限分析，有以下发现。 当a=0时，x→-∞，f(x)→一o∞；x→ 十∞，f(x)→十∞，所以f(x)一定没有最大 值。当a>0时，x→一∞，f(x)→一∞；x→ 十∞，f(x)→十∞，所以f(x)一定没有最大 值。当a<0时，x→一∞，f(x)→一∞；x→ 十∞，f(x)→一∞，并且f(x)不恒单调递增 或单调递减，所以f(x)一定有最大值。 又因为f(0)=a,所以联想f(x)≤a恒成 立的一个充分条件是0为函数的极大值点，即 f(0)=a十1=0，a=一1。所以原命题转化为 一e一sinx十2x≤-1，易证该命题成立。 反思与总结：利用导数研究函数性质时， 有时需要站在函数整体性质的角度分析，建 立各个性质之间的联系，这样可以把所要求 解的问题看得更加清晰。 三、“立”与“破”的关系 导数学习中“立”与“破”同样重要，而且两 者相辅相成，“立”的是基石、目标，“破”的是途 径、策略。如果没有“立”，就没有方向，有再多 的方法，也不能有效解决问题；如果没有“破”， 只在套路中徘徊，面对准题，就会束手无策。 在学习中两者需相互结合，不能把它们割 裂为两个独立的阶段，因为“立”是一个自始至 终都要坚持做的，“破”是在“立”的同时发散思 维，多角度分析与思考，不断优化解题策略，在 这个过程中也会对“立”进行深度理解。 (责任编辑徐利杰)