回归导数本质，落实素养备考——以2025年新高考全国Ⅰ卷第19题为例-《中学生数理化》高二数学2026年2月刊

知识篇数事高将务师护芦中学生教理化 高二数学2026年2月 回归导数本质，落实素养备考 以2025年新高考全国I卷第19题为例 ■河南省郑州市郑州中学 殷成斌 《中国学生发展核心素养》指出核心素养 是学生适应终身发展与社会需要的必备品格 fx)在[0，]上为增函数，在(，]上为 和关键能力。导数的本质是以极限为工具研 减函数。 究函数的变化率，其学习过程深刻体现了运 于是fx)=f() =35 算求解、直观想象与逻辑推理等核心素养的 反思：方法1利用和差化积公式将导函 融合。在分析问题时，同学们需要从函数图 数化成连乘形式，对于不熟悉此公式的同学， 像（直观想象）中洞察变化趋势，通过严谨的 也可采用如下方法。 求导运算（运算求解）获取关键信息，并进行 步步有据的逻辑分析（逻辑推理），从而解决 方法2：f'(x)=5(sin5x-sinx)= 单调性、极值、不等式等综合问题。因此，在 5(sin 4xcos x+cos 4xsin x-sin ) 历年高考中，导数间问题已经成为甄别同学们 5(4sin xcos'x cos 2x+cos 4x sin x-sin x) 数学核心素养发展水平的试金石。 =5sin x[2(cos 2x+1)cos 2x+2cos22x-2] 如何有效突破学习难点，系统性提升数 =10sin x (2cos22x+cos 2x-1)=10sin x. 学核心素养？笔者认为，深入研究典型考题， (cos2x+1)(2cos2x-1)。 剖析其背后的思维链条与素养要求，是一种 当x∈(o,)时，f'(x)>0,f(x)单调 行之有效的方法。下面以2025年新高考全 国I卷第19题为例，浅谈在导数问题中如何 递增：当x∈（后，）时，f(x)<0,f(x)单 落实核心素养的培养。 调递减。于是f(x)s=f(石) =3√5」 题目：(2025年新高考全国1卷第19 题)设函数f(x)=5cosx一cos5x。 反思：结合零，点判断导函数符号，也是解 1)求fx)在[0，]上的最大值： 决单调性的一种方法。 方法3：易知f'(x)=5(sin5x一sinx)。 (2)给定0∈(0，元)，设a为实数，证明： 令f'(x)=0,由sin5.x=sinx,可得5x= 存在y∈[a-0,a十]，使得cosy≤cos8, x十2kπ或5x十x=π十2kπ，k∈Z,解得x= (3)若存在9，使得对任意x,都有 5cosx一cos(5x十p)≤b,求b的最小值。 解析：(1)常见思路：讨论导函数的符号 得到函数的单调性，进而求最值。 因为x∈0，]，所以x=0或x=答 方法1：f'(x)=5(sin5.x-sinx)= 当x∈(0，)时，0<x<5x<元-x,有 10cos3xsin2x。 sin5x>sinx,即f'(x)>0,此时f(x)单调 因x∈(0，至)故sin2x>0。 递增：当x(后，)时，受<x-x<5x< 当0<x<晋时，os3x>0,f(x)>0: 经，有sm5x<in,即f(x)<0,此时 当晋<x<平时，cos3x<0,f(x)<0。故 f(x)单调递诚。 中学生表理化智氨学新素护就 于是f)=f()-35。 cos0的解集为y∈[2kπ十日，2kπ十2π-8]， k∈Z。 反思：将三角函数化为一般函数，也可以 若每个y∈[2k元十0,2kπ十2x一0]与y∈ 解决此问题。 [a一日，a十0]的交集都为空，则对每个k∈Z, 方法4：易知cos5x=cos(x十4x)= 必有2kπ十2π-日<a一0或2kπ十0>a十日之 cos xcos 4x-sin xsin 4x cos x (2cos22x -1)-sin 2sin 2 cos 2x 16cos'x- 一成立，即k<元1或k>会但长度为1 20c0s3x+5cosx。 所以f(x)=5cosx-cos5x= 的闭区间[会-1，品别]内必有-个整数：该整 -16cos5x+20cosx。 数k不满足条件，与假设矛盾。故存在y∈ [a一0，a十θ]，使得cosy≤cos0成立。 令1=c0s,由x∈[，]可得号< 反思：本题也可以不用反证法。 ② 方法4：y=cosx的最小正周期为2π，故 t≤1。设g(t)=-16t+20t, ≤t≤1，则 只需考虑a∈[0,2π)。 g（)=20(3-4)。当 ≤≤5时， ①当a=0时，令y=士0即可。 2 2 ②当0≤a+0≤2π一0，即0≤a≤2π-28 g)>0,g(t)单调递增；当 时，令y=a十8，有cosy≤cos8。 2 ≤t≤1时， ③当2π-0≤a十0≤2π+0，即2π-2θ≤ g'(t)<0,g(t)单调递减。 a≤2π时，a-0≤2π-0，令y=a-0,有 故f(x)mx= =35 cosy≤cos0。 综上，存在y∈[a一0，a十0]，使得cosy (2)对于含有“任意”“存在”字眼的证明 cos0。 题，常利用反证法。 反思：具有竞赛思维的同学可以采用如 方法1：假设对任意y∈[a一0，a十0]， 下方法。 都有cosy>cos0。因为日∈(0，π)，所以2k元 方法5：由cosy>cos0,可得y∈(2kπ 一日<y<2kπ+日，k∈Z。 一日，2kx十0)(k∈Z),该区间是长度为28的 因为[a-0,a十8]二(2kπ-0,2kπ+8)， 开区间。而[a一0，a十0]是长度为20的闭区 k∈Z,所以 a-8>2kx-8, a>2k元'此时 则 间，由抽屉原理可知，必存在y∈[a一8，a十 a+0<2kπ+0，a<2kπ。 0],使得cosy≤cos0。 a无解，与假设矛盾。故存在y∈[a一8，a十 (3)可利用(1)中的结论结合特值法求得 B],使得cosy≤cos8。 b≥3√3，从而可得b的最小值。 方法2：由cosy≤cos0,解得y∈[2kπ 方法1：由f(x)=5cosx-cos5x,可知 十日，2k元十2π一0]，k∈Z。若任意y∈[2k元 f(x)是周期为2π的偶函数，只需研究x∈ +0,2kπ十2π-0]，k∈Z与y∈[a-8,a+0] [0,元]。 {a-0>2k元+2π-8， 的交集为空，则 所以 a+0<2kπ+2π十0， 由a)知，当x∈[0，]时，fx)≤3g。 |a>2kx十2π， 此时a无解，与假设矛盾。 当x∈（]时，f(x)<5cos 4 -(-10)= a<2kπ十2πo 故存在k∈Z,使得y∈[2kπ-0,2kπ+ 5W2 +1<3√5。 8]∩(a-0,a十8)≠，即存在y∈[a-8, a十θ]，使得cosy≤cos8。 则f(x)≤3√3对x∈R恒成立。 反思：可采用如下方法讨论。 所以当b≥33时，存在9=0使得 方法3：由余弦函数的性质知cosy≤ 5cosx一cos(5,x十P)≤b对x∈R恒成立。 8 加设数雾高普色师护芦中学生款理化 当p≠0时，令h(x)=5cosx-cos(5x 十9)，则h'(x)=5sin(5x+9)-5sinx。 (-1)= 5E+1<3B。 2 令h'(x)=0,则5x1十p=x1十2k元或 又h(x)是周期为2π的偶函数，故h(x) 5:十9十：=x十2张解得x一经-号或 ≤3√3对x∈R恒成立，即b≥3√5。 ②当g∈(o,]时晋+p∈（倍] 易知h(x1)=5cosx1-cos(5x1十9)= h(倍）=5×复-c(倍+)>5 5c0sx1-cosx1=4cosx1≤4； h(x2)=5cos x2 -cos (5x2+)= ()=35,即h(x)m≥h()>3。 5cos x2+cos 2=6cos x2= 6cos(g+吾号) ⑧当9∈（时，g∈[o,g) 对于确定的P,此函数h(x2)是关于k的函 则a(x)≥h(亏）=5c0s后 数，可由p,(k)=6cos (+) cos>5y5+1>35. 2 6c0s2k十1)左右平移得出，故两者值域相同。 6 ④当∈(x,）时，号2∈(-吞o) 令k=0,得p2(0)=3√3：令k=1,得 p,(1)=0;令k=2,得p2(2)=-3√3；令k= 则h(x)≥h(巴写）=5as写- 3,得，(3)=-33：令k=4,得p(4)=0:令 cos 55+1>3B。 2 k=5,得p2(5)=3V5。故h(x2)mmx≤3V5。 故h(x)≤3√3，bmm=3√3。 回当e∈[g2时，-晋+9 方法2：实际上，方法1中当b<3√3时， [,） 可令0=晋，由2)知对任意9，存在y∈ 则h(x)m≥h(-石)=5cos(-石) [一g+使得sos- 6 2 eo(-要+)>-(-3v5。 综上，存在p=0使得5cosx一c0s(5x十 号则x∈[吾] 9)≤3√3对x∈R恒成立，bm=3V5。 方法4：令g(x)=5cosx一c0s(5x十9)，利 故5cosx一cos(5.x+p)=5cosx 用余弦函数的周期性，不妨取p∈[0,2π)。 sy≥5×号-(）=3≥b. 原题可转化为：存在∈R使得b≥ g（x)maxo 因此当b<3√3时不符合题意，bm=3√3。 ①当9=0时，g(x)=5cosx-cos5x 方法3：令h(x)=5cosx一cos(5x十9)， 是以2π为周期的偶函数，可取x∈[0，π]。 利用余弦函数的周期性，不妨设x∈[一π， π]，9∈[0,2x)。 当x∈[0，]时，由(1)知，g) ①当9=0时，则h(x)=f(x),由(1)知 g()=3。 当x∈[0，]时，h(x)≤3F. 当x∈[]时，g(x)=5cosx 当x∈（，时，h(x)<5c0s cos5.x,则g′(x)=-5sinx十5sin5.x= 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高二数学226年2月 5(sin 5x sin x)-10cos 3xsin 24. 强了不同知识模块间的联系，侧重考查同学 易知3x∈ [3]2e[受2 们综合运用知识的能力。 在(1)问的解答中，部分同学可能关注 令3x= 经经3，则x子受 4,2 是否需记忆“和差化积”公式。根据课程标 准，该公式仅要求会推导，不要求记忆。平 5π 6元。 时学习中应避免超纲灌输结论，重在理解方 法本质。例如(3)问直接把握求最值的核心 令2x= 2,元，2元，则x= 42,元。 思路，计算简捷，可直接利用(1)问结论，体 当xe[,受)时，cos3x<0,sin2x> 现了“多想少算”的思维价值。同学们应重 视此类通法，诚轻记忆负担，提升分析问题 0,g(x)<0:当x∈（受，）时，os3x>0, 的能力。 二、通过多解学习，提升数学素养 sin2x<0,g'(x)<0:当x∈(5，]时， 本题三个小问在解法上层层递进，适用 cos 3x<0,sin 2x<0,g'(x)>0. 于多解探究。 故gx)在（年，）上是减函数，在（管） (1)问中，方法1运用常规三角变换，方 法3则通过把握问题本质简化计算。对比二 上是增函数。 者，可增强同学们思维的灵活性。 所以g(x）x= maxs()g(π) (2)问的几种方法呈现不同思考角度：或 者通过分类讨论处理，或者逆向思考，通过反 max5os-cos，-4=3E<3. 证简化过程。同学们转换视角，有助于培养 逆向思维能力。 综上，当x∈[0，元]时，g(x)mx=3V3。 (3)问的优化解法则提示大家结合自变 ②当9∈(0,2x)时，在区间 量范围估计函数值，进一步优化解题路径。 [若，]内任取，都有c0sx≥ 2。 基于对2025年高考命题趋势的分析， 2026年的导数备考应重点关注以下方向。 注意到5.x十p 5十9：6 首先，要回归基础与数学本质，避免陷 由(2)知，3y∈ x十96 入复杂技巧与超纲结论的记忆。同学们应 6 掌握求最值、证明不等式等核心问题的通性 得cosy≤cos6 通法，强化对问题本质的理解，而非依赖特 2。 定模型。 令y=5x0十p,则cos(5x0十9)≤ √5 其次，要加强知识网络的综合运用。备 2 考时要注意加强与函数、三角函数、数列及不 所以g(xo)=5cosx。-cos(5x0十P)≥ 等式等模块的融合。同学们备考时需关注综 5× 合性问题，训练灵活切换视角，构建不同知识 2 2 =35。 点的联系。 因此g(x)mx≥3V5。 最后，应深化多解探究与思维优化。通 综合①②可知，b的最小值为3√3。 过“一题多解”专题训练，对比常规解法和优 对2025年新高考全国I卷第19题的分 化思路，着重培养同学们的逆向思维与“多想 析可总结如下两点。 少算”的意识，提升同学们选择最优路径解决 一、回归基础，突出数学本质 新问题的能力。 本题在形式与内容上有所创新，不再局 (责任编辑徐利杰) 限于常见的指数、对数或幂函数背景，而是加 10