千姿百态的共线问题-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

青一数轻典赛壁方清中学生款理化 千姿百态的共线问题 ■王加勤 探究一：向量共线定理及应用 非零向量共线（平行）的充要条件，如果b与 例1如图1，在平行四边形ABCD中， a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数 E,F分别为AD,CD的中点，连接BE,BF, 入，使b=Aa。向量共线定理在解决以下几类 分别交AC于点R,T。求证：AR=RT= 问题中具有举足轻重的作用：①判断或证明 TC。 两个向量共线；②在己知两个向量共线的条 件下，确定参数的值或范围；③证明两条直线 平行。运用向量共线定理解决问题时，要注 意平面向量基本定理的应用。 探究二：三点共线定理及应用 例2如图2，已知平面内一组基底OA, 图1 OB及任一向量OP,OP=xOA+yOB,其中 分析：因为A,R,T,C四点在同一条直 x,y∈(0，十∞)，连接AB与OP相交于点 线上，所以要证AR=RT=TC,只需运用向 OP Q,求证：x十y= 量其线定理，证明A-}A心，C矿-号C OO 即可 证明：设AB=a,AD=b,则AC=a十 b,成=A店-A正-a-名b. 已知向量A下和AC共线，可设AR= nAC=n(a十b)。同理可设向量E示=mEB 图2 分析：利用A,B,Q三点共线及O,P,Q =m(a-2b). 三点共线，设出参数，利用参数表示x十y即 因为向量AR=A它+E求，所以A京 得结果。 2b+m(a-2b小，所以n(a+b)=合b+ 证明：设O反=λOA+uOB,由A,B,Q 三点共线得入十=1。 n(a-b)。由此整理得(n-m)a十 设OP=tO(t∈R),则OP=xOA+ {x=t入， (a十m2)b=0。因为向量a,b不共线且 yOB=tOA+t:OB,所以 ly=tuo n-m=0, 所以x十y=t入十t=t(入十n)=t= 均不为零向量，所以 n+”2-o.解得 oP 2 1O0 解题与反思：利用三点共线定理解决有 31 1 所以A成-C。同理可得可 关参数问题，关键是找到几何图形中的三个 3 点，构造出以这三点为终点且同起点的三个 向量，然后利用平面向量的线性运算，用其中 号C.所以AR=RT=TC. 两个不共线的向量表示另一个向量，观察是 解题与反思：向量共线定理给出了两个 否满足三点共线定理中系数和为1这一条 47 中学生数理化篇票数￥2年2月 经典题突破方法 件，若满足，则说明这三点共线。反之，利用 便快捷、干净利落地解决诸如已知向量间的 三点共线，可得到系数和为1。 线性关系，确定参数的范围、最值问题等。运 探究三：等和线原理及应用 用等和线原理解决向量问题的三个基本步 例3如图3，在矩形OABC中，OA= 骤：把不共线的向量平移在一起，让它们和两 2,OC=1,点D在OA的延长线上，且AD= 个基向量都是共起点的向量；把终点与两个 1,若点P在△BCD内（包括边界），且OP= 基向量终点共线的向量找到，其系数和为1； aOC + 2O,则。十2日的取值范围是 利用平行线分线段成比例的方法，求出其余 向量系数和的大小。 编者注：平面内一组基底OA,O店及任 一向量OC满足OC=xOA+yOB(x,y∈ R),点C在AB上或平行于AB的直线上，则 x十y=k(定值)，反之也成立。这就是等和 线原理，其中直线AB,以及与直线AB平行 的直线称为等和线。它是向量共线定理和三 图3 点共线定理的延伸与拓广。 分析：己知向量间的线性关系，求参数的 最值或取值范围，常用的方法是建立平面直 角坐标系，利用坐标法将目标表示成某个变 如图4，D为△ABC所在平面内一点， 量的函数，通过求函数的最值获解。但这种 AD的延长线交BC于点E,且6AD=2AB 方法运算烦琐，有小题大做之累。若根据问 题的条件特征，联想等和线原理，则可以得到 +3AC,则△cD一 简捷又巧妙的解法，且获得省时省力的效果。 解：在OA上截取OE,使OE=号0A, 则Oi-a0心+2B0i-0心+三0元。 过点P作CE的平行线，因为点O和 直线！在直线CE的异侧，所以系数和为正， 图4 且1离CE越近，a十P的值越小，l离CE 提示：由题意得心-号A店+心， 越远，a+2A的值越大。易得OD=3,OE 设A=A市，则A应=音A店+受A亡.由 3OA= B,E,C三点共线得后十乏=1，解得x-号， 6 3 所以当点P运动到点C时，a十 3 2B=1, 所以A应=号A店+子AC,所以号(A应 即取得最小值1；当点P运动到点D时，a十 9取得最大值，为OD-9 3 A)=号（心-A,所以2成=3武。设 OE =2 S△GED=2y,则S△D=3y。因为AE= 放a+2的取值范因是[1，]。 号A币，所以A市=5D克，所以Sm=5S 解题与反思：等和线原理巧妙地将代数 问题转化为几何关系，将具体的代数式运算 =15y,所以4=2y2 SAALD15y15 转化为距离的长短比例关系，这是数形结合 作者单位：安徽省灵璧中学 思想的体现。合理运用等和线原理，可以方 (责任编辑郭正华) 48