基底法妙证平面几何问题-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

高一数华新调探膏中学生表理化 基度法妙证平面几何问题 ■常利忠 我们知道，在平面内任取两个不共线的 向量后，该平面内的所有向量都可以用这两 个向量来表示，因此把这两个不共线的向量 称为基底。基底法的思路就是选取合适的基 图2 底，将题目中所出现的向量全部用基底向量 求证：PM∥AN。 表示，这样可以减少向量的数量，把几何问题 转化为代数问题来处理。基底法在平面几何 证明：设A官=a,BC=b。因为B NC 证明中有着独特的作用，下面举例说明，供同 名，所以时=号成，所以A=A店十 学们参考。 一、基底法证明三点共线 时-A店+BC-a+b, 例1如图1，在平行四边形ABCD中， BM=2MC,AN=3NB,E为AM的中点。 又因为北==子，所以A市- AD CD D 早AD-是C-b,所以P城-A成-A =AD+DM-A市=BC+3D-A市=B元 4 图1 +店-A=6+a-6=a+b, 求证：D,E,N三点共线。 证明：因为BM=2MC,AN=3NB,E 所以Pi-A,所以AN∥Pi,即PM∥ 为AM的中点，所以DE=DA+A它=DA+ AN。 2A=Di+名(+号c)-A店 点评：本题以向量A方=a,BC=b为基 底，分别表示出向量AN,PM,通过满足 币，示-成+示-成+ PM=AAN(入为非零常数)，从而得到AN∥ PM,进而得到两条直线平行。一般地，证明 A店-Ad,所以D正=号D示，所以D,E, 3 两条直线平行，需用到平面向量共线定理。 N三点共线。 三、基底法证明两直线垂直 点评：本题以向量AB,AD作为平面内 例3如图3，已知ABCD是正方形，M 的一组基底，表示出向量DE,DN,得到 是AB边的中点，点E在对角线AC上，且 AE:EC=3:1。 D正-号D示，从而得到结果。一般地，平面 几何中的三点共线问题可转化为平面向量共 线问题来处理 二、基底法证明两直线平行 例2如图2，在平行四边形ABCD中， M,N,P分别在DC,CB,AD上，且满足 DPCM1 BN 1 AD CD 4'NC 2 图3 39 中学生表理化留翠根翻年2月 求证：∠MED=三。 证明：因为A,R,D三点共线，所以存在 实数入，使得RD=AAD,即AD一AR= 证明：因为M是AB边的中点，点E在 λAD,则A京=(1一入)AD,所以C求=CA+ 对角线AC上，且AE:EC=3:1,所以 A求=CA+(1-A)AD=CA+(1-入)(CD- 正=花=弦+花，所以武 C)=AC+1-A)C元=xC+号1 A店+AD,所以E成-A成-A花 A)CB。 因为B,R,E三点共线，所以存在实数 2A-是A店-是AD=-1A店-是A心。 u,使得R尼=uBE,即BE一B求=uBE,则 所以成=E心+C市=A+A市 BR=(1一4)B龙，所以C求=CB+B京= C3+(1-4)(C定-C)=(1-)C它+ A店=-子A店+A市。 Gi=}1-c+G成. 不妨设AB=AD=1。因为ABCD是正方 综上结合平面向量基本定理可得， 形，所以A言·AD=0,所以EM·ED= 入=31一)， (十A店-是AD)·（-子A店+AD) 解得 故R心=号A市， 号0-X)= 是-是A市=0，所以成1苏，即 u=7 R应=号，即RD-子AD,RE-李BE。 EMLED,所以∠MED=空. 点评：由线段RD是线段AD的一部分， 点评：先根据条件得到A它=子A店十 线段RE是线段BE的一部分，可设RD= λAD,RE=uBE(入，以∈R),再以CA和C A市，EC=子A店+子A币，然后以向量 为基底向量，把它们分别表示出来，最后根据 AB,AD为基底，分别表示出EM,ED,通过 平面向量基本定理列方程计算即可。一般 计算EM·ED=0,即可得到两条直线垂直。 地，解答这类问题需用到平行向量（共线向 一般地，证明两条直线垂直，只需证明两条直 量)、向量的线性运算的几何应用、用基底表 线所在的向量的数量积为零。 示向量和平面向量基本定理等。 四、基底法证明两条线段的长度关系 例4如图4，在△ABC中，点D与点E 感悟与欣 在△ABC中，点M,N分别在线段AB, 分别在边BC和AC上，且BD= 3 BC, AC上AM=2MB,AN=2NC。求证： 3CA,AD与BE交于点R。 MN∥BC。 CE= 提示：设AB=a,AC=b,则BC=AC AB=b-a。因为AM=2MB,AN=2NC, 所以Ai-号A店-号a,AN-号4正=号b 在△AMN中，因为MN=AN一-AM= R 子6-a)-号正-)-号成，即瓜 D 号武，所以不/BC,则MN/∥BC 图4 求证：RD=7AD,RE=号BE 1 作者单位：陕西省榆林市第十中学 (责任编辑郭正华) 40