平面向量易错题例析-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

高一黄学损归泰翻暂中学生款理化 平面向量易错题例折 ■胡贵平 =lallblcos01=lallbllcosl<lallbl, 平面向量的概念、性质及公式较多，并且 C不正确。对于D,符合向量运算的三角形 向量的一些运算与实数的运算不同，因此同 法则，D正确。应选D。 学们很容易混淆，从而导致解题出错，下面举 三、向量的三角形法则运用错误 例分析。 例3已知□☐ABCD,下面式子错误的是 一、向量的概念理解不透 ( )。 例1给出下列四个命题：①向量A百 A.AD-AB=B可 与向量BA是共线向量，不是平行向量。 B.AD-AB=DE ②若向量a与向量b都是单位向量，则a= C.AB+BC=AC b。③若AB=DC,则A,B,C,D四点构成 D.AD+AB=AC 平行四边形。④l,m为实数，若la=b,则 剖析：不理解向量加法和减法的三角形 向量a与b共线。 法则，容易出错。 其中错误命题的序号是。 解：在□ABCD中，由三角形法则知AD 剖析：对平行向量、单位向量的概念理解 -AB=BD,A正确，B错误。在□ABCD 不透，忽略了一些特殊情况，容易出错。 中，由向量的加法法则知AB十BC=AC, 解：共线向量就是平行向量，平行向量就 AD十AB=AC,C正确，D正确。应选B。 是共线向量，①错误。向量有方向和大小两 四、向量的数量积理解不透 个要素，只有方向相同且长度相等，这时两个 例4下列命题正确的是( 向量才相等，两个单位向量不一定相等，因为 A.若a·b=0,则a=0或b=0 它们的方向不一定相同，②错误。若AB B.a·b=b·a DC,则A,B,C,D四点有可能在一条直线 C.若a·c=b·c(c≠0)，则a=b 上，这时不能构成平行四边形，③错误。当 D.(a·b)·c=a·(b·c) l=m=0时，向量a与b可以共线，也可以不 剖析：在利用向量的数量积运算时，盲目 共线，④错误。答案为①②③④。 类比实数的运算性质，容易出错。 二、向量的公式、法则理解不透 解：对于A,由a·b=0,可得|aIb|· 例2对任意向量a,b,下列命题正确的 cosa,b>=0,所以a=0或b=0或〈a,b〉 是()。 A.若a,b满足|a|>|b|,且a与b同 2,A错误。对于B,a·b=1a1b1cos〈a, 向，则a>b b)=b·a,B正确。对于C,由a·c=b·c, B.若ab,b∥c,则a∥c 可得|a|c|cos〈a,c>=b|c|cosb,c),不 C.|a·b1≥a1bl 能推出a=b,C错误。对于D,向量的数量积 D.a+ba+b 不满足结合律，D错误。应选B。 剖析：对向量的概念、公式及法则理解不 五、平面向量基本定理和基底理解不透 透，容易出错。 例5下面说法正确的是() 解：对于A,向量不能比较大小，A不正 ①一个平面内只有一对不共线向量可作 确。对于B,当b=0时，满足ab,b∥c,但a 为表示该平面内所有向量的基底：②一个平 不一定和c平行，B不正确。对于C,a·b 面内有无数多对不共线向量可作为表示该平 35 中学生数理化 易错题归类剖析 高一数学2026年2月 面内所有向量的基底；③零向量不可作为基 值范围为 底中的向量：④对于平面内的任一向量a和 剖析：当a,b)是锐角时，需满足a·b> 一组基底e1,e2,使a=入e1十e2成立的实数 0,且a与b不同向共线。因此对向量的夹角 对一定是唯一的。 公式理解不透，容易出错。 A.②④ B.②③④① 解：因为向量a十b与入a十b的夹角为锐 C.①③ D.①②③④ 角，所以(a十b)·(λa十b)>0,且向量a十b 剖析：对平面向量基本定理中“任一向 与入a十b不同向共线（当两个向量同向共线 量”“唯一”和“基底”理解不清，容易出错。 时，其夹角x=0°，这时c0s0°=1>0)。 解：结合平面向量基本定理进行判断。 由(a+b)·(入a+b)>0得入a2+(1+ 一个平面内任何一对不共线的向量都可作为 入)a·b+b2>0,由a,b的夹角为60°得a· 表示该平面所有向量的基底，①错误。一个 b=|a|lb|cos60°=1×2× =1,以入+ 平面内有无数多对不共线向量都可作为表示 2 该平面内所有向量的基底，②正确。零向量 (1+入)十4>0，解得1> 5 2 不可作为基底中的向量，因为零向量和任何 当向量a十b与aa十b同向共线时，a十 向量都共线，③正确。对于平面内的任一向 入=1， 量a和一组基底e1,e2,使得a=入e1十ue?成 b=a(入a+b)(>0),所以 解得入= 4=1, 立的实数对入，以一定是唯一的，④正确。应 1。若a十b与入a+b不同向共线，则入≠1。 选B。 综上可得，实数入的取值范围是 六、向量的夹角公式理解不透 例6设两个向量a,b满足a|=1, |b|=2,且向量a与b的夹角为60°，若向量 作者单位：甘肃省白银市第一中学 a+b与入a十b的夹角为锐角，则实数入的取 (责任编辑王琼霞) (上接第24页) A户在向量AB上的投影。当A卫户与A下重 解：取MN的中点D,可得DN1=2 29 合时，AP在向量AB上的投影长度为AF', 由极化恒等式得BM·BN=|BD2 易得AF'=1,这时|A户1·cos∠BAP= 一1：当A户与A亡重合时，AP在向量AB上 DN=B时-专故只需求出B的取 的投影长度为AC',易得AC'=3,这时 值范围即可。 |AP1·cos∠BAP=3。因为点P是正六边 当BD⊥MN时，|BD|取得最小值，即 形ABCDEF内任意一点，取不到临界值，所 以|AP1·cos∠BAP∈(-1,3)，所以AP· 市=亿，可得Bi,BN=2: AB的取值范围是（一2,6）。 当点N与点C(或点M与点A)重合时， BD|取得最大值，在△BCD中，由余弦定理 策略五：利用极化恒等式求数量积 例5如图4，在等腰 得1BD1=,所以B市1一= 2 2,这时 直角△ABC中，∠ABC BM.BNmx=2。 =90°，AB=BC=2,M, 综上可得，BM·BN的取值范围为 N为AC边上的两个动 点，且满足|MI=√2， [ 则BM·BN的取值范围 图4 作者单位：云南省富源县第九中学 为 (责任编辑王琼霞) 36