探索平面向量在数学传统文化考查中的应用&平面向量及其应用核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

一、平面向量中的数量积问题 例1最早发现勾股定理的人是我国西 周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多 年发现勾股定理，如图1所示，△ABC满足 “勾三股四弦五”，其中股AB=4,D为弦BC 上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定 理，则cos(AB,AD)=( )。 图1 A c 0.见 5 解：由△ABD满足勾股定理知AD⊥ BC。根据等面积转化得|BA|×|AC|= BC1×1AD|,即4×3=5×|AD1,解得 1AD1=12 5 因为AB·AD=(AD+DB)·AD= AD,所以cos(AB,AD)= AB·AD ABIADI AD A13 41AD1 4 。应选A。 探索：本题以勾股定理为背景，结合等面 积法考查向量的数量积在数学文化中的应 用。解题的关键是利用等面积法求得三角形 的高，再结合向量的三角形法则进行转化，最 后利用数量积的夹角公式求得结果。 二、平面向量中的最值问题 例2我国南宋时期杰出数学家秦九韶 在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以 小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于 上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为 实；一为从隅，开平方得积。把上面的文字写 成公式，即S= a-( (其中S为三角形的面积，a,b,c为三角形的 三边长)。在斜△ABC中，a,b,c为内角A, B,C所对应的三边长，若a=c(cosB+ √3cosC),且asin C=√3sinB,则△ABC的 面积最大时，B=一。 青数敦学这然军梦折中学生数理化 探索平面向量在数学 传统文化考查中的应用 ■李勇 解：由a=c(cosB十√3cosC),结合正弦 定理得sinA=sinC(cosB+√3cosC),即 sin Ccos B+3 sin Ccos C=sin(B+C)= sin Bcos C+cos Bsin C,所以W3 sin Ccos C= sin BeosC。因为C∈(0，π)且C≠2，所以 cosC≠0，所以sinB=√3sinC,所以b= √3c。由asin C=√3sinB,结合正弦定理得 ac=√3b,所以a=3。 所以s-√ea c2+a2-b2 2 -- 2 -c1+18c-8阿 =2√-(c2-9)+243 1 。 所以当c=3时，S=9y5,此时6 4 35,所以c0sB=a+c2-b2_9+9-27 2ac 2×3×3 2。因为B∈(0，π)，所以B=2 3 探索：本题以我国南宋时期杰出数学 家秦九韶在《数书九章》中提出的“三斜求 积术”为数学文化背景，考查了三角恒等 变换、正弦定理、面积公式与二次函数的 综合应用。解题的关键是利用三角恒等 变换和正弦定理将角的关系转化为边的 关系，再利用题设文化信息中的面积公 式，结合二次函数取得最大值时的转化求 得所需结果。 作者单位：陕西省汉中市洋县中学 (责任编辑王琼霞) 25 中学生款理化费心数摩滴等车2月 平面向量及其应用核心考点强化训练 ■刘中亮（特级教师） C.(4,-6) D.(6,一4) 一、选择题 6.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c= 1.如图1所示，在 D a十tb,若〈a,c)=(b,c>,则t等于()。 正六边形ABCDEF A.-6B.-5C.5D.6 中，AF-ED+E京十 7.平面向量a与b相互垂直，已知a= 2AB等于( )。 (6,一8)，|b|=5,且b与向量(1,0)的夹角是 A.0 B.AB 钝角，则b等于()。 C.AD D.CF A.(-3,-4) B.(4,3) 图1 2.若a,b为非零 C.(一4,3) D.(一4，一3) 向量，则“日=合”是“a,b共线“的 8.在△ABC中，设|AC一|AB= 2AM·(AC一AB),那么动点M的轨迹必通 ()。 过△ABC的()。 A.充要条件 A垂心B.内心C.重心D.外心 B.充分不必要条件 9.已知单位向量a,b,若对任意实数x, C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 xa+b|≥1 恒成立，则向量a与b的夹角 3.已知向量a,b不共线，且c=xa十b, 的取值范围为( )。 d=a十(2x一1)b,若c与d方向相反，则实 数x的值为( )。 A.,4 厂π3π B后訇 A.1 B- c. n[肾] C1或-号 D.-1或-号 10.(多选题)如图3，在四边形ABCD 中，AB∥CD, D 4.如图2所示， AB⊥AD,AB= △ABC内有一点G 2AD=2DC,E为 满足GA+GB+GC D BC边上一点，且 =0,过点G作一直 BC=3EC,F为 线分别交AB,AC于 图3 AE的中点，则 点D,E。若AD= ( )。 xAB,AE=yAC (y 图2 ≠0)，则2+等于( A.BC--2A店+A币 )。 y A.4 B.3C.2 D.1 RA=A成+号A市 5.已知向量a与b的方向相反，b= C.B京= 号a+号4d (一2,3)，|a|=2√13，则a等于( )。 A.(-6,4) B.(-4,6) D.G萨-A-号A 26 11.(多选题)已知向量OA=(1,一3)， OB=(2,-1),OC=(m十1，m-2),若点A, B,C能构成三角形，则实数m可以是 ()。 A.-2 B. C.1D.-1 12.(多选题)已知向量a=(2,1),b= (1,一1)，c=(m一2，-n),其中m,n均为正 数，且(a一b)∥c,则下列说法正确的是 ()。 A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b上的投影向量为号b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 13.(多选题)设点D是△ABC所在平 面内一点，则下列说法正确的是()。 A若A市-2(A+A心)，则点D是边 BC的中点 B.若A市=1(A言 AC 3ABI cos B ACI cos C 则直线AD过△ABC的垂心 C.若AD=2AB-AC,则点D在边BC 的延长线上 D.若Ad=xA言十yAC,且x十y=2, 则△BCD的面积是△ABC面积的一半 14.(多选题)对于任意的平面向量a,b, c,下列说法错误的是()。 A.若a∥b且b∥c,则a∥c B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0，则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c) 15.(多选题)在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则下列说法错误的 是( ）。 A.若a2=b+c2+2bc,则A=开 B.若a2十b>c2,则△ABC为锐角三角形 C.AB+BC+CA=0 D.若AB·BC<0,则△ABC为钝角三 角形 核心考点演练 高一数学2026年2月 中学生教理化 二、填空题 16在四边形ABCD中，A店-号D心，且 |AD1=|BC1,则四边形ABCD的形状是 0 17.已知向量a=(2,3),b=(一3，一2)， 写出一个与a一b垂直的非零向量c=。 18.在△ABC中，D为AC上一点且满 足A元=D心，若P为BD上一点，且满足 A户=λAB十uAC,入，4为正实数，则入μ的最 大值为。 19.己知平面向量a,b满足a·b= |a|=|b=2,若e为单位向量，则|a·e十 b·e的最大值为一。 三、解答题 20.如图4，在矩 D 形ABCD中，DE= 2EC,BF =2 FC,AC 与EF交于点N。 (1)若cN = 图4 λAB十uA方，求入十H的值。 (2)设A立=a,A户=b,试用a,b表示 AC. 21.如图5 所示，在等腰梯 形ABCD中，AB ∥CD,|AB1= 2IDC|=2,∠BAD 图5 -号，E是BC边的中点。 (1)试用AB,AD表示A立，B元。 (2)求DB·AE的值。 22.如图6所示，在△ABC中，D,F分 别是BC,AC的中点，A正-号A市，A店=a, AC=b。 D 图6 27 中学生款理化德心数察演统6车2月 (1)试用a,b表示AE,BE (2)求证：B,E,F三点共线」 23.在锐角△ABC中，角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,已知m=(2sin(A十C), 5n-(os2B,2coe号-小，且ma (1)求角B的大小。 (2)若b=1,求△ABC面积的最大值。 24.已知向量a=(1,2),b=(-3,1)。 (1)求a-2b。 (2)设a与b的夹角为0，求cos0的值。 (3)若向量a十kb与a一kb互相垂直，求 k的值。 25.如图7，在△ABC中，Ai=号A, BN=2BC.设A店=a,AC=b。 图7 (1)用a,b表示BC,MN (2)若P为△ABC内部一点，且AP a十b求证：M,P,N三点共线，并指明 5 点P的具体位置。 26.已知e1,e2是平面内两个不共线的 非零向量，AB=2e1十e2,BE=-e1十e2, EC=一2e1十e2,且A,E,C三点共线。 (1)求实数入的值。 (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC 的坐标。 (3)已知点D(3,5),在(2)的条件下，若 A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边 形，求点A的坐标。 27.如图8，在△ABC中，AB=a,AC b,BE=2EC,AC=3AD. D 图8 28 (1)试用向量a,b表示BD,A它。 (2)若AE交BD于点O,求品及品 的值。 28.已知平面内三个向量a=(1,2),b= (-1,1),c=(3,3)。 (1)若|d|=2√5，且d与a方向相反，求 d的坐标。 (2)若(a十kc)⊥(a一2b),求a十kc在 向量a上的投影向量的模长。 29.己知平面向量a,b是单位向量，且 a⊥(a-2b)。 (1)求向量a与b的夹角。 2)若a-b=(号，-）向量e与向量 2 a一b共线，且|c|=|a十b|,求向量c。 厂广参考答案与提示 一、选择题 1.提示：因为六边形ABCDEF为正六 边形，所以A下一ED+EF+2AB=CD+ D龙+E下+2AB=C下+2AB=0。应选A。 2.提示：“日名表示与a,b同向的 单位向量且是相等向量，能推出“a,b共线”， 即充分性成立。“a,b共线”可能同向共线、 也可能反向共线，所以“a,b共线”不能推出 “日-合，即必要性不成立。应选B 3.提示：因为c与d方向相反，所以存在 k∈R,使得d=kc,且k<0,即a十(2x 1)b=kxa十kb。因为向量a,b不共线，所以 质=2：1，消去得x(2x-1)=1,即 kx=1, 21-x-1=0,解得x=一之或x=1。又因 为k<0,所以x<0,所以x=一子，应选B。 4.提示：因为GA+GB+GC=0,所以G 为△ABC的重心，所以AG-吉(A店+AC =tAD+(1-t)AE=tzAB+(1-t)yAC, 所以x=名，1-)y=3所以2+ 1 1 y 3t十3(1一t)=3。应选B。 5.提示：由a与b的方向相反，可得a= Ab(入<0)。设a=(x,y),则(x,y)=入（一2， ③)·所以化二32就由a=23可得x2+ y2=52,即4入2十9入2=13入2=52，可得入2=4， 即入=土2。又入<0，所以入=一2，所以a= (4,一6)。应选C。 6.提示：由题意得c=a十tb=(3十t,4), 所以a·c=3×(3十t)十4×4=25十3t,b·c =1×(3+t)十0×4=3十t。因为(a,c〉= (b,c〉，所以cos(a,c)=cos〈b,c),即a:c a c =8治所以25时=3+1，解得1=5。应 5 选C。 7.提示：设向量b=(x,y)。由a⊥b,可 得a·b=6x一8y=0①。由向量b与向量 (1,0)的夹角为钝角，可得x<0②。易得 |b|=√x十y=5③。由①②③解得 /x=-4, 即得b=(一4，一3)。应选D。 y=-3, 8.提示：设线段BC的中点为D,则AB +AC=2AD。因为1AC2-|AB2= 2AM·(AC-AB),所以(AC+AB)·(AC -AB)=2AM.BC,即2AD·BC=2AM· BC,所以BC·(AM-AD)=BC·DM=0, 所以DM⊥BC,所以DM垂直且平分线段 BC,可知动点M的轨迹是BC的垂直平分 线，必通过△ABC的外心。应选D。 9.提示：已知a,b是单位向量，由xa十 b≥，可得(a十b)产≥是，所以十 2(a·b)x十≥0。依题意得不等式x2十 2a·b)x十≥0对任意实数x恒成立，所 以△=4(a·b)P1≤0，解得三之a·b 名.因为o(a,b〉=日合=ab:所以 1 <cosa,b)≤2.又因为0<(a,b)≤ 高-盘半心青室沙赞中学生数理化 π，且函数y=cosx在[0，π]上单调递减，所 以晋≤(a,b)≤誓，即向量a与b的夹角的 取值范围为[吾]。应选B。 10.提示：由AB∥CD,AB=2DC,可得 BC-B+A市+DC=-A店+AD+号A店 =-2A立+A市，A正确。由元=3E元，可 得-号元=一号A+号A元，所以A应 =A店+B应=A店+(-号A+号A币) 号A店+号A。因为F为AE的中点，所以 A市=2A位=号A+号A市，B正确。B京- B威+A正=-A店+号A店+}A市=-号A店 十号A市，C正确。C矿=C+B-B家-BC =-号A防+专A市-（←A店+A市） 一A店-号A,D错误。应选ABC 11.提示：因为AB=OB-OA=(1,2), AC=OC-OA=(m,m+1)。假设A,B,C 三点共线，则AB∥A亡，所以1×(m十1) 2m=0,即m=1。所以只要m≠1，A,B,C 三点即可构成三角形。应选ABD。 12.提示：对于A,向量a=(2,1),b=(1, -1),则a·b=2-1=1>0。又a,b不共线， 所以a与b的夹角为锐角，A错误。对于B, 向量a在b上的投影向量为a:b.b 1b·6= 2b,B错误。对于Ca-b=(1,2),若(a一b) ∥c,则一n=2(m-2),整理得2m十n=4,C正 确。对于D,由2m十n=4,且m,n均为正数， 可得m=2(2m·n)≤号(2m2)广=2，当 且仅当m=1,n=2时等号成立，即mn的最大 值为2，D正确。应选CD。 13.提示：对于A,由A币=2(A店+ 29 中学生款理化德心薇察演统6车2月 A心)，可得A币-2A店=2A心-A市，即 BD=DC,所以点D是边BC的中点，A正 确。对于B,两边乘以BC得AD·BC= 月)-日(-1成 1(A言·BC+A亡·BC 十|BCI)=O,即AD⊥BC,则直线AD过 △ABC的垂心，B正确。对于C,由AD= 2AB-AC,可得AD-AB=AB一AC,即 BD=CB,所以点D在边CB的延长线上，C 错误。对于D,由AD=xAB十yAC,且满足 x十y=2,可设AM=2AD,则AM- 2AD=2xA庐+2yAC,且满足2x+2y=1, 所以M,B,C三点共线，且|AM|=2|AD|, 所以△BCD的面积是△ABC面积的一半，D 正确。应选ABD。 14.提示：当b为零向量时，a与c不 定平行，A错误。由向量数量积的分配律得 (a十b)·c=a·c十b·c,B正确。因为a· b=a·c,所以a·(b一c)=0。又a≠0，所 以b=c或a⊥(b一c),C错误。取a,b,c为 非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则 (a·b)·c=0,a·(b·c)≠0，D错误。应 选ACD。 15.提示：对于A,由a2=b2十c2十√2bc, 可得b2十c2一a2=一√2bc,所以cosA= b'+ci-a 2bc 受。因为A∈(0，x),所以 A-3云，A错误。对于B,由Q十b>c,可 得a'+b-c>0,所以cosC=a+-c 2ab 0,故C为锐角，但无法确定其他两个角的大 小，即无法判断三角形的形状，B错误。显然 C正确。对于D,由AB·BC=|AB|· |BC1cos(x-B)<0,可得cos(x-B)<0,所 以cosB>0,即B为锐角，但无法确定其他 两个角的大小，即无法判断三角形的形状，D 错误。应选ABD。 二、填空题 16,提示：由A店=宁D亡，可得AB/DC 30 且AB=DC,所以四边形ABCD是梯 形。因为AD|=|BC1,所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰 梯形。 17.提示：由题意知a一b=(5,5)。设 c=(x,y),则(a-b)·c=5x+5y=0。取 x=1,则y=一1，所以与a一b垂直的非零向 量可以为c=(1,一1)。（答案不唯一） 18.提示：由入，4为正实数，且AD= 号D元，可得A亡=4A市，所以A市=AA店十 4AD。因为P,B,D三点共线，所以入十 4=1.因为=子·24≤) 1 11 一6，当且仅当入=2=8时取等号，所以 1 的最大值为16 19.提示：已知a·b=|a|=|b|=2,设a 与b的夹角为0，则a·b=a|1b|cos0=2× 1 2Xcos8=2,所以cos0=2。因为0∈[0，π]， 所以0=号。由此可设a=(2,0.6=1,). 设e=(cosa,sina),则|a·e十b·e|= |(a十b)·e|=|(3,√3)·(cosa,sina)|= 13c0sa+sinal-213 sin (a+ 2√3，即|a·e+b·e|≤23，所以|a·e+ b·e的最大值为2√3。 三、解答题 20.提示：(1)根据题意设EN=tE京(t∈ R),则CN=C龙+EN=C尼+tE京=CE+ C-C)=(1-C+G=号A -专A心。又因为CN=AA店十A心，所以 =-1-t 31 1 解得入十=一 t 3 = 3 (2)由AG-A店+A市，A店-号A店十 A市，A京-A店+号A市，可得A应+A市 号(Ai+A)-号AC,放A亡-子a+b 21.提示：(1)由AC=AD+DC=AD+ 之A应，可得A应-立(A方+A亡) 2(A+A市+2A)=子A店+子AD, B心-AC-A店=A方+号A店-A店=A市 弦 2)面题在知a方立a防-流， cos =1。因为D店-A言-AD,所以Di·A它- (A应-AD·(径A房+2A币)=子A 之A市-是A店·A市-至1A店- 合aD-子Aa市10否-子X4 号×1-子×2X1x3-号. 22.提示：(1)在△ABC中，D,F分别是 BC,AC的中点，则AD=AB+BD=AB+ 2BC=A店+2(AC-A)=2A店+2AC 包a十6，所以a应-号A市-了a+言6， 成-A正-A证-3a+b-a-b-号a ,1 1 (2)因为成=专6-号a=号b-2a). B时-A亦-A应=2b-a=3(b-2a),所以 硫=是成，所以苑家。又酝，萨有 公共点B,所以B,E,F三点共线。 23.提示：(1)因为m∥n,所以2sin(A十 C)·(2cs号-1=后os2B.化简整理得 2 sin Bcos B=√5cos2B,所以sin2B= √5cos2B,所以tan2B=√5。又因为B是锐 高-盘学核心青泰德猎中学生款理化 角，所以0<B<2,0<2B<元，所以2B= g即B=答 （2)由)得B-吾。由正张定理得品入 -sinC,所以a=2sinA,c=2sinC. sin 6 所以S△Ac= 2 acsin B=sin Asin C= sin Asin(A+B)=sin Asin(A+若)=sinA· 停A+A- 号sinA+2 -sin AcosA ×1-c24+×in2A 2 2 子sim2A- 3 4 cos 2A3 neA-5）+。因为 <A<受 所 +>, 以晋<A<受，所以行<2A<元，所以晋<2A 3 誓<5，所以当2A-吾=受，即A-段 时.Sx取得最大值为2+店-2士E 4 48 24.提示：(1)因为a=(1,2),b=(-3, 1),所以a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(7,0)。 (2)由题意得a·b=-1,a11b|= 5,所以c09=日合=-得 (3)由a=(1,2),b=(-3,1),可得a+ kb=(1-3k,2+k),a-kb=(1十3,2-k)。 因为向量a十kb与a一kb互相垂直，所以 (a+kb)·(a-kb)=(1-3k)(1+3k)+ (2十k)(2-k)=0,可得2k2=1,解得k= 土② 2 25.提示：(1)依题意得BC=AC-AB b-a,M-BN-Bi-是BC+号A店- 26-a)+台-日a+20 31 中学生款理化德心数察演统6年2月 (2)因为AM+AN-A店+AC+C寸 -}A应+Ac-号B成-ga+b-名(b-a) 名a+0:又A矿=是a+子b:所以A 5 2Ai+号A,且2+是=1，所以M,P,N 三点共线，且点P是MN的中点。 26.提示：(1)A它=AB+BE=(2e1十 e2)+(-e1十ae2)=e1十(1十λ)e2。因为A, E,C三点共线，所以存在实数k,使得AE= kEC,所以e1十(1十入)e2=k(-2e1十e2),即 (1十2k)e1=(k-1-入)e2。因为e1,e2是平 面内两个不共线的非零向量，所以 1+2k=0, k-1-入=0， 解得入=一是 (2)C-成+配-e-子e,-20十 1 e=-3e1-2e2=(-6,-3)+（-1,1)= (一7，一2)，即BC的坐标为（一7，一2）。 (3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序 构成平行四边形，所以AD=BC。设点 A(x,y),则AD=(3-x,5-y)。 由(2)知BC=(-7,一2)，所以 3一1=-7解得-10·即点A的坐标为 5-y=-2, y=7, (10,7)。 27.提示：(1)由AB=a,AC=b,BE 2E元，AC=3AD,可得BD=AD-AB= 号AC-A店-6-a,所以A店-A店+屁 -A店+号B武-A店+号(AC-A应)-A店 (2)因为A,O,E三点共线，所以存在实 数X,使得A0=A正=x(日a+号b)-合a 十2公b。因为B,O,D三点共线，所以存在实 3 数u,使得BO=uBD,即Aò-AB=uBD, 所以Ad=A店+rBi=a十(-a十专b) 32 1-a+学b,所以含a+登6=(1-0)a十 3 =1一4， 3 因为a,b不共线，所以3 解得 2入4 3=3 入= 3 7,h= 号，所以Ad=号A应，B时 6 号而，所以架品 6。 28.提示：(1)设d=Aa(入<0)，则d= Aa=(入，2入)。由d|=2√5得√+(2λ)= 2√5，解得入=一2，所以d=(-2,-4)。 (2)a+kc=(1+3k,2+3k),a-2b= (3,0)。 由题意得3(1十3k)=0,解得k=3: 1 所以a十kc=(0,1),所以a十kc在向量a上 的投影向量的模长为(a十kc)·a一 a 0×1+1×2_25 √1+2 5。 29.提示：(1)因为a⊥(a-2b),所以a· (a一2b)=a2一2a·b=0。已知a,b是单位 向量，设a与b的角为0，则a·(a一2b)= a-2a·b=1-2c0s0=0,解得c0s0= 又0∈[0，]，所以9=苓 (2)因为c=|a+b|,所以|c12=|a+b12 =a2十b2十2a·b=3,即|c|=√5。设c=(x, y),则|c=√x+y=√3。又因为向量c与向 量a一b共线，所以一 2y,可得y= √3 x= 2 x=- 2 一√x。据上解得 。或 所以 y=-2 3 3 y= 2 向量c=( 停)或=(》 作者单位：河南省开封市第十中学 (责任编辑郭正华)