求解平面向量数量积问题的五种策略-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

中学生教理化高数学2026年2月 知识结构与拓展 求解平面向量数量积问题的五种策略 ■薛家兵 求解平面向量数量积问题的主要方法有 示)；若1AE|=5,AE⊥CB,则A立·C方= 定义法、坐标法、基底法、投影法、极化恒等式 法等。这些方法各有特点，在具体问题中需 解：由C它=号C市，可得A正-AC 要根据已知条件选择合适的方法，以达到化 繁为简、准确解题的目的。 子(AD-AC),所以A正=子A市+号Ac. 策略一：定义法求数量积 例1设向量a与b的夹角的余弦值为 因为D为AB边的中点，所以A正=合A店十 3,且a=1,b=3,则(2a+b)·b= 号d-a+号. 解：设a与b的夹角为0，因为a与b的 以a,b为基底，易得CB=a一b,CD= 夹角的余孩值为号，所以c0s日=了又因为 A而-A衣=}A立-A=3a-b。因为 1a|=1,b=3,所以a·b=a·bcos0 -1×3×号-1，所以(2a+b)·b=2a·b+ A=5,所以应=（后a+导b)-6a b2=2a·b+|b12=2×1+32=11。 ×2 a·b十号b=25,化简得a+8a·b十 策略二：坐标法求数量积 16b2=900。 ① 例2如图1，正 由题意知AE⊥CB,所以A它·CB= 方形ABCD的边长 是2，点E在AB上， (日a+号b)a-b)=ga+2a·b 则EC·E市的取值 b2=0,化简得4b=m2+3a·6. 2 ② 范围为一。 将②式代入①式消去b”得a2+4a· 解：以A为坐标 原点，AB所在直线 图1 b=180。 为x轴，建立平面直角坐标系Axy(如图1)。 故证.可=（后a+b)·(2a-o) 设点E(x,0)(0≤x≤2)，则点C(2,2),D(0, 1 1 2),EC=(2-x,2),ED=(-x,2),所以 2a+2a·b-8b)=2(a'+2a·b EC.ED=-x(2-x)十4=x2-2x十4= 2a2 -6a.b)=立 1 (-a2-4a·b)=-15。 (x一1)2+3,0≤x≤2。所以当x=1时， E元·ED取得最小值3，当x=2时，EC· 策略四：投影法求数量积 ED取得最大值4，所以EC·ED的取值范 例4如图3，设P是 围为[3,4]。 边长为2的正六边形 策略三：基底法求数量积 ABCDEF内任意一点，则 例3如图2，在 A下·AB的取值范围是 △ABC中，D为AB边 图3 解：由|AB|=2,可得A户·AB= 的中点，应=专成， 1AP1·1AB|cOs∠BAP=21AP1· AB=a,AC=b,则 cos∠BAP,显然AP|·cos∠BAP是向量 A=(用a,b表 图2 (下转第36页) 24 中学生数理化 易错题归类剖析 高一数学2026年2月 面内所有向量的基底；③零向量不可作为基 值范围为 底中的向量；④对于平面内的任一向量a和 剖析：当〈a,b〉是锐角时，需满足a·b> 一组基底e1,e2,使a=入e1十ue2成立的实数 0,且a与b不同向共线。因此对向量的夹角 对一定是唯一的。 公式理解不透，容易出错。 A.②④ B.②③④ 解：因为向量a十b与入a十b的夹角为锐 C.①③ D.①②③④ 角，所以(a十b)·(入a十b)>0,且向量a十b 剖析：对平面向量基本定理中“任一向 与λa十b不同向共线（当两个向量同向共线 量”“唯一”和“基底”理解不清，容易出错。 时，其夹角a=0°，这时c0s0°=1>0)。 解：结合平面向量基本定理进行判断。 由(a十b)·(入a十b)>0得a2十(1十 一个平面内任何一对不共线的向量都可作为 入)a·b十b2>0,由a,b的夹角为60°得a· 表示该平面所有向量的基底，①错误。一个 b=1a11b1cos60°=1×2×2 =1,所以入+ 平面内有无数多对不共线向量都可作为表示 该平面内所有向量的基底，②正确。零向量 (1+入)十4>0，解得λ>一 29 不可作为基底中的向量，因为零向量和任何 当向量a十b与入a十b同向共线时，a+ 向量都共线，③正确。对于平面内的任一向 入以=1， 量a和一组基底e1,e2,使得a=入e1十eg成 b=u(入a十b)(u>0),所以 解得入= 立的实数对入，一定是唯一的，④正确。应 =1, 1。若a十b与a十b不同向共线，则入≠1。 选B。 综上可得，实数入的取值范围是 六、向量的夹角公式理解不透 例6设两个向量a,b满足|a1=1, 号且x≠1. b=2,且向量a与b的夹角为60°，若向量 作者单位：甘肃省白银市第一中学 a十b与aa十b的夹角为锐角，则实数入的取 (责任编辑王琼霞) (上接第24页) A户在向量AB上的投影。当A户与A下重 解：取MN的中点D,可得DN1=。 2 c 合时，A下在向量AB上的投影长度为AF', 由极化恒等式得BM·BN=|B方2 易得AF'=1,这时|AP|·cos∠BAP 一1；当AP与AC重合时，A产在向量AB上 DN=BD-号，故只需求出B心的取 的投影长度为AC',易得AC'=3,这时 值范围即可。 1AP|·cos∠BAP=3。因为点P是正六边 当BD⊥MN时，|BD|取得最小值，即 形ABCDEF内任意一点，取不到临界值，所 而1=区，可得m,示=2 以|AP|·cos∠BAP∈(-1,3)，所以AP· AB的取值范围是（一2,6）。 当点N与点C(或点M与点A)重合时， 策略五：利用极化恒等式求数量积 BD|取得最大值，在△BCD中，由余弦定理 例5如图4，在等腰 得1BD1=四，所以B元1= 2 之，这时 直角△ABC中，∠ABC BM.BNnx=2。 =90°，AB=BC=2,M, 综上可得，BM·BN的取值范围为 N为AC边上的两个动 点，且满足|M示1=√2， 则BM·BN的取值范围 图4 作者单位：云南省富源县第九中学 为」 (责任编辑王琼霞) 36