平面向量共线定理及其推论的考法举例&小议平面向量的数量积的应用-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

高一数型识施物氧骨中学生表理化 平面向量共线定理及其推论的考法举例 ■王会红 考法1：利用数乘和三点共线的条件探 究取值范围 Aò-名mAi+2nAN。又因为O,M,N 例1如图1，已知 三点共线，所以受十号-1，即m十n=2 A,B,C是圆O上不同的 由图知m>0,n>0,所以2=m十n≥ 三点，CO与AB交于点D (点O与点D不重合)，若 2/mn,当且仅当m=n=1时取等号，所以 OC=xOA+OB(A,u∈ mn1,即mn的最大值为1。 R),则入十：的取值范围 图1 点睛：根据O,M,N三点共线得到？十 2 是。 解：因为CO与AB交于点D,所以O, 分=1是解答本题的关键。 C,D三点共线，所以O心与O心共线。设 考法3：利用共线条件和线性表示探究 O元=mO元，则m>1。 面积的比值 因为OC=AOA+uOB,所以mOD= 例3如图3，已知点 λOi+Oi,可得O币=入OA+O店。又因 O为△ABC内一点，且 772 772 OA+2OB+3OC=0,求 为A,B,D三点共线，所以入十丝=1，可得 mm S△Ac的值。 入十4=m>1,所以入十的取值范围是(1， S△A0c 解：取BC的中点D, 十∞)。 图3 AC的中点E(如图3)。 点睛：利用三点共线得到入十=m是解 OA+20B+30C=(OA+OC)+ 答本题的关键。 2(OB+OC)=2OE+4OD=0,可得OE= 考法2：三点共线条件与均值不等式的 一2OD。而OD与OE有公共点O,所以 交汇 D,O,E三点共线，即DE为△ABC的中 例2如图2，在△ABC中，点O是BC 位线。 边的中点，过点O 的直线分别交直 由DE-OE.AB=2DE,DE∥AB,可 线AB,AC于不 B 得SAx=2SAe=2X 4 同的两点M,N。 3 SACDE-3X M 设A言=mAM, 图2 、1Gc二35AAC'P7以C -3 AC=nAN,则mn的最大值为 解：根据题意得Bδ=O心，所以BO= 点睛：取BC的中点D,AC的中点E,由 向量关系得D,O,E三点共线是解答本题的 2成，所以Ad-A成+6=A成+2C- 关键。 作者单位：安徽省宿州市灵璧县高级职 A+名(B+AC)=2A店+2AC 业技术学校 因为AB=mAi,A亡=nAN,所以 (责任编辑王琼霞) 9 中学生款理化实皱种与拓质年2月 小儿议平面向量的数量积的应用 ■杨开亮 一、求向量的夹角 三、求参数的值 例1(1)已知向量a,b满足3|a1= 例3已知△ABC中，A=120°，且 2|b|=6,且(a-2b)⊥(2a+b),则a与b夹 AB=3,AC=4,若AP=入AB+AC,且 角的余弦值是。 A户⊥BC,则实数入的值为 0 (2)已知向量a=(3,-1),b=(1,-2), 解：因为AP=λAB+AC,且AP⊥BC, 则a与b的夹角是一。 所以A户.BC=(AAB+AC)·(AC-AB) 解：(1)设a与b的夹角为0。依题意得 =aAB·AC-AAB+AC-AB·AC= (a-2b)·(2a+b)=0,则2a2-3a·b (-1)AB·AC-λAB+AC=0,整理得 2b”=0,所以2×4-3×2×3cos0-2×9= (入-1)×3×4×c0s120°-9入+16=0，解得 0,所以cos0=- 9 (2)设a与b的夹角为0，且日∈[0，π]。 评注：向量的减法公式为OA一O= 因为|a|=√10,1b|=5,a·b=5,所以 BA,它可以正用，也可以逆用。 a·b 5 √2 cos 0= =2。又0∈[0 四、求向量 1ab√/o×5 例4已知单位向量a与b的夹角为 x],所以0=至，即a与b的夹角为至 60°，在下列向量中，与b垂直的是()。 A.a+2b B.2a+b 评注：向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),0 C.a-2b D.2a-b 为向量a与b的夹角，则c0s0g6 解：由己知得a·b=a|bcos60°= x1x2十y1y2 1×1×1=1 2=2。对于A,因为(a十2b)·b= √xi+yi·Wx十y员 二、求向量的模 ab+20-号+2X1-号≠0，不作合题意 例2已知向量a,b满足|a|=|b|=1, 对于B,(2a+b)·b=2a·b+b=2×2 aa-b)=子，则2a-61=一 1=2≠0，不符合题意。对于C,(a一2b)· 3 解：由a·(a-b)=之，可得a-a· b=a·6-20=号-2×1=-号≠0，不符合 3 。因为a=b=1,所以1-a·b= b=3 题意。对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2= 3 2X1 1 一1=0，符合题意。应选D。 ，即a·b=-2。易得12a-b12=4a2 评注：两个向量垂直，其数量积等于0。 4a·b+b2=7,所以12a-b1=√7。 五、求向量的坐标 评注：求向量模的常用公式为|a2=a 例5已知平面向量a=(√3，√3)，则与 或a|=√a2,即将模的运算转化为向量的数 a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以 量积运算。 是。（写出满足条件的一个向量即可） 10 高一数识施物卓骨中学生教理化 解：设向量b=(x,y)。因为a·b= BC=0,所以角A的平分线与BC垂直，所以 √5x+√3y,又a·b=|a|b|cos45=√6X △ABC是等腰三角形，即AB=AC。由 +可×号 =5×√+y,所以 BA BC 2 cos B= BA`BC=2,且0<B<元，可 √x2十y=x十y,所以xy=0。因为b为非 得B=牙，所以C=B=干，所以A=乏。 零向量，所以取x=1,y=0满足题意，即向 故△ABC是等腰直角三角形。应选B。 量b=(1,0)。(答案不唯一) 评注：已知非零向量a=(x1,y1),b= 评注：若△ABC的内角A的平分线为 AD,则向量 十与A访共线. AB AC (x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2。 六、求三角函数的值 八、求投影向量 例6已知向量a=(cos2a,sina),b= 例8已知向量a=(一2,1)，b=(3,0), 1,2sina-1a∈（受x)若ab-号，则 e是与b方向相同的单位向量，则向量a在b 上的投影向量是()。 an(a+)的值是()。 A.-5e B.√5e A子 B习 c号D C.-2e D.2e 解：设向量a与b的夹角为0，则cos日= 解：依题意得a·b=cos2a十 a·b_-6 ，所以向量a在b上 _25 sin a(2sin a-1)=1-2sin'a+2sin'a-sin a abT3√5 =1-sin a= ，所以ina=多。因为a∈ 2 3 的投影向量为(|a|cosθ)e=-2e。应选C。 评注：“向量a在b上的投影向量”与“向 (受小，所以c0sa=一手，所以1an8= 3 49 量a在b上的投影数量”要注意区分，前者是 个向量，后者是个实数。 tan a-tan- 放an(a+罕) 1-tama·an子 7。应 感悟与仪0 选B。 已知向量a=(cosx,sinx),b=(3, 评注：三角恒等变换遵循“异名化同名， 一√3)，x∈[0，π]。记函数f(x)=a·b,则 复角化单角”的法则。 ∫(x)的值域是一。 七、判断三角形的形状 提示：由题意得f(x)=a·b=(cosx, 例7在△ABC中，向量AB与AC满 sinx)·(3,-√3)=3cosx-√3sinx=2√3· .B元=0，且 BA BAI cos(+).由x∈[0，x],可得x+答∈ BC B元-之，则△ABC为( )。 [后，所以-1≤os(x+)<.所以 A.非等腰直角三角形 当x十若=若，即x=0时，函数f(x)取得最 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 大值3：当x十若=元，即x=晋时，函数Fx) D.等腰非等边三角形 取得最小值一2√。故函数∫(x)的值域是 解：已知A店 AC 分别是向量AB, [-2√3,3]。 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 AC上的单位向量，因为 (责任编辑王琼霞) 11