平面向量数量积的一个性质及应用-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

中学生数理化篇数锌02年2月 知识结构与拓展 平面向量数量积的 ■张振继 人教版高中数学必修第二册第19页，给 出了平面向量数量积的一个性质：|a·b≤ |a|b|。该性质的应用非常广泛，下面举例 说明，供同学们学习与参考。 一、直接利用性质求数量积或模的范围 例1(1)已知平面向量a,b,c均为单 位向量，且a-b|=1,则(a一b)·(2a-3c) 的取值范围是()。 A.[-4,2) B.「-2,2) C.[-2,4] D.[-4,4] (2)已知平面向量a,b,c满足|b|= 2|a=1,|c|=√2，且(c-4a)·(c-4b)= 0,则|2a一b的取值范围是■ 解：(1)由a-b|=1,两边平方得a· b=3,所以(a-b)(2a-3c)=2a-3a· c-2a·b+3b·c=1-3c·(a-b)。 因为c·(a一b)|≤|c||a一b|,即|c· (a一b)|≤1，所以一1≤c·(a一b)≤1，所以 -2≤(a-b)·(2a-3c)≤4，即(a-b)· (2a一3c)的取值范围是[一2,4]。应选C。 (2)由1b1=2|a|=1,可得|2a-b12= 4a2-4a·b十b2=2-4a·b。 由(c-4a)·(c-4b)=0,可得c2 4c·(a+b)+16a·b=0,整理得2-4c· (a+b)+16a·b=0,即1+8a·b=2c· (a+b)。 因为2c·(a+b)≤2c||a十b|= 「5」 2反√a+2a·b+b=22√/号+2a·b,所 以1+8a·b≤2反，/牙+2a·b,两边平力 得64a·b)≤9，解得合<a·b≤君 .3 8 据上可得，2<2-4a·b≤子，所以 7 ≤2-a·5≤， 2 2≤12a-b≤ 22 个性质及位用 特级教师) 四，故2a-6的取值范围是 2√14] 22」 二、换元后利用性质求数量积或模的范围 例2(1)已知平面向量a,b满足|a十 2b=3,|2a十3b|=4,则a·b的取值范围 是一。 (2)已知平面单位向量a,b,c满足(a一 c)2+(b一c)2=3,则|a一b|的最大值为 ()。 A华R2C罗 2 D.3 解：(1)设u=a十2b,v=2a十3b,则 1u=3,p=4,所以/a=-3u+2, 所以 b=2u-v, a·b=(-3u十2v)·(2u-v)=-6u2- 2v2+7u·v=-6×32-2×42+7u·v= -86+7u·v。 又因为一|u||v|u·v≤|w|v,且 1u|=3,|v|=4,所以一12≤u·v≤12，所以 -170≤-86+7u·v≤一2，所以a·b∈ [-170,-2]。 (2)由3=(a-c)2+(b-c)2=4-2a· c-2bc,可得c·a+6)=2 因为号-e(a+b)≤c1a+b1= 1a+b,所以a+b≥号. 2 因为|a+b12+|a-b12=2(|a|2+ 1b12)=4,所以|a-b12=4-a+b12≤4 (兮）=票所以ab<压.应选C 或者，由上得a十b≥合，甲a+b十 2ab≥}因为a=b=1,所以2a· b≥-子 又因为|a-b|2=a2十b2-2a·b=2一 2a·b≤2+子所以ab< 之。应 选C。 三、构造向量后利用性质求值 例3(1)已知a,B∈(0，元)，且cosa+ 3 cosB-cos(a十B)=之，求a,B的值。 (2)已知a,b∈R,且a+b=2,则 a+2b一1的最大值为一。 √a'+b 解：(1)因为cosa+cosB-cos(a十B)= 2,所以cosa十cosB-cosacos B+--sin asin B 3 3 3 (1-cos a)cos B+sin asin B=2 cosa。 构造向量a=(1一cosa,sina),b= (cosB,sinB)。由a·b≤|a||b|,可 得(1-cosa）cosB+sin asin B≤ √(1-cosa)+sina×1=√2-2cosa,所 以是 -cosa≤√2-2cosa,平方整理得 (osa一）)广<0，所以只有c0sa=之.同理 1 得cosB=之· 又因为a,8e(0,x,所以a=日=吾 (2)由a+b=2,可得a+26-1 Va'+b2 1 a+2b-2(a+b) a+3b √a2+b 2√/a2+b2 1/ a 3b 2（a+6 √a2+b a 构造向量m=（+a+石” =(1,3)。由m·n≤m|n,可得 √a'+b 3b √a2+b Ava+b ×√+3=√10，当且仅当m与n同向，即 1 b=3a,且a十b=2,也即a=7,b=号时等 高一数婴识糖的卓西骨中学生款理化 号成立，所以2合<号×而=亚 1 2√a2+b 2 即4+26-1 √Ja'+b 的最大值为0 2。 四、性质的综合应用 例4已知平面向量a,b,满足|2a一b =2,且a·(a十b)=1,则a十b的取值范围 是 解：由2a-b|=2得4a2-4a·b十b2= 4,结合a·(a十b)=a2十a·b=1,即a· b=1-a2,消去a·b得8a12十b12=8。 设|a|=x>0,|b|=y>0,则8x2十 y2=8,且a·b=1-x2。 由a·b≤|a||b|,可得1-x2≤xy,即 2.将≥1代人x+y=8. 77 可得9x-10x+1≥0，解得号≤x2≤1。 由上可得，|a十b|=√(a+b)产= √a+b2+2a·b=√10-9x∈[1,3]，所 以|a十b|的取值范围是[1,3]。 8桥号限得 1.若向量a,b为单位向量，且a⊥b,向 量c满足|c一a一b|=2,则|c的取值范围是 提示：由题意设a=(1,0),b=(0,1)。 易得a+b|=√2。因为c=c一(a+b)十 (a+b),所以|c|≥||c-(a+b)|-|(a+ b)||=2-√2，且|c|≤|c-(a+b)|+|(a十 b)|=2十√2，所以2-√2≤|c|≤2+√2。 2.已知平面向量a,b,c满足|a|=1, |b|=2且a·b=1,若|c|=2,则(a-b)· c的最大值为()。 A.25B.10C.2D.5 提示：由|a1=1,|b|=√2，a·b=1,可 得|a+b|=√5，所以(a-b)·c≤|a十b|Icl =2√5，当且仅当a,b同向时取等号，所以 (a-b)·c的最大值为2√5。应选A。 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 (责任编辑郭正华) 23