合理交汇，合情交融——平面向量的交汇题型-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

中学生教理化识皱约与新层年2月 合理交汇， 平面向 ■刘 平面向量与其他知识的交汇是高考的常 考点，这充分体现了向量的工具作用，下面举 例分析向量与其他知识的交汇题型。 一、向量与方程 例1已知|a|=2|b|≠0，且关于x的 方程x2+1alx十a·b=0有实根，则a与b 的夹角的取值范围是。 解析：由a|=2|b|≠0，且关于x的方程 x2十|ax十a·b=0有实根，可得△=a|2 4a·b≥0，即a·b≤}a.设向量a与b的 1 夹角为0，则cos8=ab a·b /a/ 1 ,即 2/a1 1 2 me0≤2因为9∈[0，，所以9∈ π 3π，即 向量a与b的夹角的取值范围是 3x。 评注：若一元二次方程有实数根，则判别 式大于或等于0。 二、向量与充分条件、必要条件 例2若向量a=(m一1,1)，b=(2, m),则“m=2”是“a∥b”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当m=2时，a=(1,1),b=(2,2), 此时b=2a,即a∥仍，可知充分性成立；当a∥ b时，由(m一1)m=2,即m2-m-2=0,解 得m=2或m=一1，可知必要性不成立。综 上可得，“m=2”是“a∥b”的充分不必要条 件。应选A。 评注：若p→q,则p是q的充分条件，q 是p的必要条件。 三、向量与三角函数 例3（多选题）已知向量a=(sina, cosa),b=(1,2),则下列命题正确的是( ）。 20 合情交能 量的交汇题型 宁 A.若aB,则1ane-号 R若aLb,则1ama=-号 C.当f(a)=a·b取得最大值时，tana 1 2 D.|a一b|的最大值为5+1 解析：对于A,若a∥b,则2sina一cosa 1 =0,即tana=之，A正确。对于B,若aLb, 则sina十2cosa=0,可得tana=一2，B错 误。对于C,f(a)=a·b=sina十2cosa= 5sin(a十p),其中p由tang=2确定，当 f(a)取得最大值时，sin(a十p)=1,所以a十 9=受十2kx,其中k∈乙，所以ana tam(经pt2张)=am(经p)= 2,C正确。对于D,(a-b)2=a2十b'一 1 2a·b=1+5-2(sina十2cosa)=6- 25sin(a十p),其中9由tanp=2确定，所 以当sin(a十中)=一1时，(a-b)取得最大 值为6十2√5，可得|a一b|的最大值为 √6+2√5=5+1，D正确。应选ACD。 评注：解答本题的关键是熟悉三角函数 的图像与性质，灵活应用三角公式。 四、向量与不等式 例4已知向量a,b满足|a|=√5， |b|=1,且对任意的实数x,不等式|a十xb ≥|a十b|恒成立，设向量a与b的夹角为日， 则tan28=。 解析：由题意知|a十xb|2≥|a十b|2对 任意的实数x恒成立，即a2十2xa·b十 x2b2≥a2+2a·b+b2,也即(2x-2)a·b+ (x2-1)b≥0，化简得(2x-2)×3cos0+ x2-1≥0，所以x2+2√5xcos0-2√3cos0- 1≥0对任意的实数x恒成立，所以△= (2√5cos0)2+4(2√5c0s日十1)≤0，可得 (5cos0+1)≤0，所以只有cos0=- √3 3 ,可得 因为9∈[0，x],所以sin9=6 tan9=-2。所以tan29=1-tan8 2tan 0 =2√2。 评注：解题时要注意区别恒成立与能成 立问题，本题属于恒成立问题。 五、向量与物理知识 例5奥运会帆船比赛是借助风帆推动 船只在规定距离内竞速的一项水上运动。如 果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度 为20km/h,此时水的流向是正东，流速为 20km/h。若不考虑其他因素，则帆船行驶的 速度大小是，其方向是一。 解析：结合题意建立平面直角坐标系 Oxy(其中x轴的正方向为东，y轴的正方向 为北)，如图1所示。 30 0 图1 已知风力的方向为北偏东30°，速度大小 为v1|=20km/h,水流的方向为正东，速度 大小v2=20km/h。帆船行驶的速度为v, 方向为北偏东90°一a,则v=v1十v2。 由题意得向量v1=(20cos60°， 20sin60)=(10,10√3)，向量v2=(20,0), 所以帆船行驶的速度v=v1十v2=(10, 10W3)+(20,0)=(30,10√3)，所以|y|= √302+(10√5)2=20√5(km/h)。 因为tana二03=3，又。为锐角，所 30 以a=30°。 故帆船向北偏东60°方向行驶，其速度的 大小为20√3km/h。 评注：利用向量法解决速度问题的关键 是要根据题意画出示意图，利用向量的坐标 离一数阳施的卓暂骨中学生煮理化 法求解。 六、向量与新定义 例6（多选题）定义平面向量的一种新运 算“”如下：对任意的向量m=(x1,y1),n= (x2,y2),规定m☒n=x1x2一y1y2,则对于任意 的向量a,b,c,下列说法中正确的是()。 A.a☒b=b☒a B.(λa)b=(ba) C.a(bc)=(ab)c D.a||b|≥|a☒b 解析：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c= (xa,ya)。对于A,a☒b=b☒a=x1x2 一y1y2,A正确。对于B,入(b☒a)=入(x1x2 一y1y2）=入x1x2一入y1y2=(Aa)☒b,B正确。 对于C,a(b☒c)=(x1,y1)×(x2xg一y2y?), (a☒b)c=(x1x2-y1y2)×(xa,ya),C错误。 对于D,易得|a||b|=√xi十y√x十y, |a☒b|=|x1x2-y1y2|,则(x+yi)(x号十 y)-(x1x2-y1y2)2=xiy+xiy片十 2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0，所以 (|a|lb|)≥(|a☒b|)2,所以|a||b1≥|a b|成立，D正确。应选ABD。 评注：解答本题的关键是要明确新定义 的符号的含义。 旧 1感悟与仪8 已知e1,e2为单位向量，且e1,e2的夹角 为45°，设存在非零向量a=xe1十ye2,x,y∈ R,则的最大值等于一。 a 提示：易得|a|=√x2+y2十√2xy。当 y y=0时，a的值为0：当y≠0时，可得 y 1 a ，可知当=一 2 √+号)+号 1 3 时，（号+号）+有最小值，此时有 最大值为巨。综上得的最大值为厄。 作者单位：河北新河中学 (责任编辑王琼霞) 21