一元二次不等式恒成立与存在性问题的典型题型解析&二次函数与其他知识的交汇问题-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

创新题追相湖酒中学生数理化 高一数学2026年1月 一元二次不等式恒成立与存在性问题的 典型题型解析 ■王国星 一元二次不等式的恒成立与存在性问题 A.(-∞，-2] B.[2,+∞) 是高考的考查热点之一。这类问题综合性 C.[-2,十∞) D.(-∞，2] 强，涉及分类讨论、参数分离、变换主元等方 分析：利用分离参数法，将所求问题转化 法。下面通过典型例题剖析五类常见题型， 1 帮助同学们开阔解题思路，提升逻辑推理与 为当2≤x≤2时，a≤x十恒成立，再结合 转化能力。 基本不等式即可求出a的范围。 题型一：一元二次不等式在实数集上的 解：当2<x<2时，x2-ax+1≥0恒成 恒成立问题 例1若不等式2(a-1)x2十(a-1)x 立等价于a≤x十上对号 x2恒成立，故 x <0对一切实数x都成立，则实数a的 3 只需求出x十上在[经，习]上的最小值即可。 取值范围为一。 因为x+≥2· 1 分析：利用一元二次不等式在实数集上 =2,当且仅当 x 的恒成立，分类求出a的范围。 x=1时取等号，所以a≤2，即实数a的取值 解：当a=1时，原不等式可化为一< 范围固是（一∞，2]。应选D。 0,此不等式对一切实数x都成立；当a≠1 评注：对于指定区间上的恒成立问题，常 转化为函数的最值问题求解。若参数不易分 2(a-1)0, 时，由 离，则可采用函数法，利用一元二次函数的图 a-1)-4×2a-10×(-）<0.解 像与性质，合理构建不等式求解。 得-5<a<1。 题型三：一元二次不等式在指定范围内 综上得实数a的取值范围为(-5,1]。 的有解问题 评注：解决一元二次不等式在实数集上 例3已知命题“]x>一3，x2-ax 的恒成立问题，若二次项系数含有参数，则需 3a+16<0”是真命题，则实数a的取值范围 对二次项系数是否为0进行分类讨论。 总 题型二：一元二次不等式在指定范围内 分析：由题设条件，利用参数分离，结合 的恒成立问题 基本不等式求出最小值即得结果。 例2若对任意的≤x≤2，不等式 解：当x>一3，即x十3>0时，x2一 ax-3a+16<0=x2+16<(x+3)a=a> x一ax十1≥0恒成立，则实数a的取值范围 x2+16\ 为()。 x2+169a7 x十3 x+3/ 心心心心心◆心心心心心心心心心心心心小心心心心心◇心心心心心心心心小w心w◆◇◇心心心心心心心◇心心心心心心w心心心心心心心心w心心小心心◇心心 x1]-f(x1)=f(x2-x1)十f(x1)-2- x)<0,即f(x)<f(2-x)。因为f(x)在R f(x1)=f(x2-x1)-2>0,所以f(x2)> 上是曾函数，所以x一2一x,解得x1。 f(x),所以f(x)在R上是增函数。 故f(x)一f(2一x)+2<f(0)的解集为 (2)令x=y=0得f(0)=2,结合f(x) (-∞，1)。 -f(2一x)+2f(0),可得f(x)一f(2一 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高级中学 (责任编辑王琼霞) 39 中学生数理化 创新题追根溯源 高一数学2026年1月 依题意得3x>-3,a>+1 能成立。 分析：根据任意性、存在性的定义，结合 x+3 一次函数与二次函数的性质求解。 因为+16 x(x十3)-3(x十3)+25 解：当0≤x2≤1时，2x2十b∈[b,2十b]。 x+3 x+3 对H一2≤x12,30≤x2≤1，使得 25 6≥2 W(x+3). 25 (x+3)+ x+3 x+3 x号一2bx1十2≥2x2十b成立，只需满足(x1 25 2bx1十2)mm≥(2x2十b)mm=b。 6=4,当且仅当x十3= 十3，即x=2时取 二次函数f(x)=x2一2bx十2(b∈R)的 等号，所以 x2+16 对称轴为x=b,且图像的开口向上。当b =4,所以a4,即实 x+37 min 2,-2≤x1≤2时，f(x)m=f(2)=6-4b, 数a的取值范围是(4，十∞)。 评注：理解“恒成立”与“有解（存在性）” 由6-4b>6得6≤号，不符合6>2：当-2≤ 的逻辑转化是解题的关键。函数f(x)在区 b≤2，一2≤x1≤2时，f(x)mm=f(b)=b2 间D上的最大值为f(x)x,最小值为 2b+2=2-b2,由2-b≥b得-2≤b≤1，满 f(x)tm,a≤f(x)恒成立台a≤f(x)im;a≥ 足-2≤b≤2：当b<-2,一2≤x1≤2时， f(x)恒成立台a≥f(x)mx。a≤f(x)能成 f(x)m=f(-2)=6十4b,由6+4b≥b得 立台af(x)mx;a≥f(x)能成立台a≥ b≥一2，不符合b<一2。 f(x)mino 综上得实数b的取值范围为[-2,1]。 题型四：在对应参数给定区间上的恒成 评注：一般地，已知函数y=(x),x∈ 立问题 [a,b],y=g(x),x∈[c,d],若Hx1∈[a, 例4已知函数f(x)=a.x2十x-a,a∈ b],Hx2∈[c,d],有f(x1)<g(x2)成立，则 R,若不等式f(x)≥ax-2a对于Ha∈ f(x)mx<g(x)mim;若Hx1∈[a,b],3x2∈ [一1,1]恒成立，求x的取值集合。 [c,d],有f(x1)<g(x2)成立，则f(x)mx< 分析：变换主元，结合一次函数在区间上 g(x)m;若3x1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 的恒成立，列方程组求解。 f(x1)<g(x2)成立，则f(x)mim<g(x)nmx; 解：不等式f(x)≥ax-2a对于Ha∈ 若Hx1∈[a,b],3x2∈[c,d],有f(x1)= [一1,1]恒成立，等价于不等式(x2一x十1)a g(x,)成立，则f(x)的值域是g(x)的值域 十x≥0对于Ha∈[一1,1]恒成立，所以 的子集。 |-(x2-x十1)+x≥0， 由此化简整理得 (x2-x+1)+x≥0， 感悟 -(x-1)2≥0， x=1, 若命题“Hx∈[1,4]，x2一6x一a≤0”为 解得 所以x=1,所 x2+1≥0， x∈R, 假命题，则实数a的取值范围是 以x的取值集合为{1}。 提示：因为“Vx∈[1,4]，x2-6x-a≤ 评注：本题的解法涉及“变换主元”思想。 0”为假命题，所以“x∈[1,4]，x2-6x-a 利用变换主元，把所求问题转化为关于参数 >0”为真命题，则a<x2一6x在区间[1,4] 的一次函数在给定区间上的恒成立问题，这 上有解，即存在某个x∈[1,4]，使得a<x 样可以大大简化计算，使所求问题顺利获解。 一6x。设函数f(x)=x2一6x=(x一3)2- 题型五：一元二次不等式恒成立与存在 9,可知f(x)的图像开口向上，对称轴为x= 性的综合问题 3,且x∈1,4]，则当x=1时，函数f(x)取 例5已知二次函数f(x)=x2一2bx十 得最大值为∫(1)=(1一3)2一9=一5，所以 2(b∈R)及一次函数y=2x十b,若对 a<-5,即实数a的取值范围是(-∞，一5)。 H-2≤x1≤2,30≤x:≤1，使得x1一2bx1 作者单位：江苏省太湖高级中学 +2≥2x2十b成立，求实数b的取值范围。 (责任编辑王琼霞) 40 高一数新调捏湘膏中学生教理化 二次函数与其他知识的 ■张亮昌 交汇问题 一、集合问题 例1（多选题）集合A,B是实数集R 三、不等式问题 的子集，定义A一B={x|x∈A且x任B}, 例3 已知函数f(x)= 若集合A={y|y=(x-1)十1,0≤x≤3}， B={y|y=x2十1,1≤x≤3}，则下列关系正 2x+1,x≤0， 使得f(x)≥一1成立的 确的是()。 -(x-1)2,x>0, A.A=[-1,5]B.B=[2,10] x的取值范围为 C.A-B=[1,2)D.B-A=(5,10] x0, 解析：由A={y|y=(x一1)2+1,0≤ 解析：由题意得 2x+1≥-1 或 x≤3}={y|1≤y≤5}=[1,5]，B={y|y= x>0, x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10}=[2,10]， 解得一4≤x≤0或0 -(x-1)2≥-1， 结合A一B={x|x∈A且x任B}得A一B= x≤2，故使得f(x)≥一1成立的x的取值范 {y|1≤y<2}=[1,2),B-A={y|5<y≤ 围是[-4,2]。 10}=(5,10]。应选BCD。 评注：分段函数问题，应注意各段函数式 评注：用描述法表示集合时，要理解集合 满足的条件。 中的代表元素，要注意“且”与“或”的区别。 四、三角函数问题 二、指数函数问题 例4已知函数f(x)=sinx十cosx十 例2已知函数f(x)=(。1“ 2 sin xcos x+2,则函数f(x)的最大值 的最大值为2025，则a的值为 是( )。 解析：令函数y=(22,且：=ax A.3+√2 B.3-√2 C.2+√2 D.2-√2 2x+2a。因为函数y= 2d25) 单调递减， 解析：设t=sinx十cosx,则sin xcos x ar2-2+2a （sinx+cosx)P-l__1,且t=sinx十 又函数f(x)= 的最大值为 2 2 2025,所以函数t=ax2一2x十2a的最小值 osx=Esin(a+T)∈[-E,E]。 为-1，所以a>0,且当x=一 一2=1时， 所以函数∫(x)等价于函数g(t)=t十 2a a tm8a1--1,即2a十a-1=0,解得 t2-1+2=（ +2)广+∈[-E。 Aa 故当t=√2时，g(t)有最大值g(t)x=√2十 2或a=一1（舍去），所以a=1 2 2十1=3十√2，所以f(.x)x=3十√2。应 评注：复合函数中，内层函数的值域是外 选A。 层函数的定义域。解答本题的关键是利用函 评注：正余弦函数的“三姊妹”关系sina 数f(x)= (1 1x2-2r+2a 士cosa、sin acos a,可“知一求二”。 2025 的最大值为2025， 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 得到函数t=ax2一2x十2a的最小值为一1。 (责任编辑郭正华) 41