平面向量经典题型解析-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

知识结构与拓展 中学生教理化需识皱掉与年2月 平面向量经典题型解析 ■陈敏 平面向量是高中数学的重要内容之一， 同学们要掌握经典题型，解题才会更高效。 下面精选五类题型，帮助同学们夯实基础，提 A.3 B.4 升解题能力。 C.6 D.8 一、平面向量的运算 解：由2D0=DA十DB,可知O为边 例1如图1，在△ABC中，AB=AC= AB的中点。因为O为△ABD外接圆的圆 心，所以△ABD为直角三角形，即DA⊥ 4,∠BAC三红，点D在线段BC上·且SAm DB,所以DA·DB=0。 =2S△AD,则AB·AD的值为。 因为|Dδ1=|DA1=2,所以|AB1= 2AO=4,所以DB=2√3。由E为边BC上 的动点，可得BE=λBC,入∈[0,1]。 因为Dd.D克=之(D+D成)·(Di 图1 解：设等腰△ABC的BC边上的高为h。 +B应)=之(DA+D成)·(D+ABC) 因为SAm=2Sm,所以号xcDXx=-2X号 名D+D成)·(D成-xD)-名(D成 ×BD×h,所以CD=2BD。 因为A币=A店+B元=A店+号BC D)=21D-xD)=2(25) A方+号(AC-A)=号A店+号AC,所以 -4]=212-4a)=6-2X.又x∈0,1， 所以6一2入∈[4,6]，所以D·DE的最大 A店.AD-A店·（号A店+AC)-号A应 值为6。应选C。 评注：本题主要考查动态背景下数量积 +专A:Ad-导A+号A成·A· 的最值问题。 os∠BAC=号×+吉X4X4×(-2） 三、平面向量的投影向量 例3已知向量a,b满足|a|=|b1,且 8,即AB.AD=8。 向量b在a一b上的投影向量为单位向量，则 评注：本题主要考查向量线性运算与数 |a-b|=()。 量积的综合应用。 A.1 B.√2 C.3 D.2 二、平面向量的数量积 解：因为向量b在a一b上的投影向量为 例2如图2，在平行四边形ABCD中， 单位向量，所以ba2.(a-b)-1, E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的 11a-b12 圆心，2DO=DA+DB,且|DO|=|DA1= 所以b·a-b)、1a一b1=1,所以 2,则Dò·D龙的最大值为( 1a-b2 D b·a-b1=1。 a-b 设b·a=m,a|=|b|=n,则|m一n2 =1a-b|,两边平方得(m-n2)2=a2-2a· 图2 b+b,所以(m-n2)2=n2-2m十n=2n2- 18 高一数学特柏军中学生教理化 知识结构与拓展 2m。 2 令m-n2=x,则x2=一2x,解得x=0 AC+子A立，且向量A店，A亡不共线，所 或x=一2。 2 2 3t=5(m+1' t=3’ 2 当x=0时，可得m=n2,此时a=b,即 以 解得 故t= 2 m 4 30 a一b=0,不符合题意；当x=一2时，可得m 3= m+1’ m=5° -n2=-2,此时|a-b|=√a-2a·b+b 评注：本题主要考查平面向量基本定理 =√2(n一m)=2,符合题意。应选D。 与共线定理的综合运用。 评注：本题主要考查投影向量的定义与 五、平面向量与三角函数的融合 模的计算问题。 例5已知向量a=(2cosx,1),b= 四、平面向量基本定理的应用 (es(e+晋))xeb] 例4：如图3，在△ABC中，点D在线段 BC上，满足2CD=DB,G是线段AB上的 (1)若a仍，求x的值。 点，且满足3AG=2GB,线段CG与线段AD (2)记函数f(x)=a·b,若对于任意 交于点O。 :∈[0，引f)fx1≤恒成 立，求实数入的最小值。 解：1)由a∥b,可得2cosx×2 [-os(r+号)】×1=0，即osx=-cos(+ 图3 (1)若AD=xAB十yAC,求实数x,y 罗)。因为x∈[，]所以osx=-cos( 的值。 (2)若A可=tAD,求实数t的值。 )=c©s[-(e+】,所以x=天 解：(1)因为2CD=DB,所以CD= (+),即x= 号C,所以A市-AC+CD=AC+号C= (2)函数f(x)=a·b=-2cosx· AC+gA应-AC)=专AC+名A成。 eo(e+5）+是=-2osx·(sx 又AD=xAB+yA,且A言，AC不共 号sin2x-os2x=sin(2x 线所以x=方y=导 (2)因为G,O,C三点共线，所以存在实 )。由x∈0，]：可得2x-答 数m,使得G0=mO(m>0)。所以AO= [-吾别]所以simx-晋)e[-2] +ò-花+n开流-Ad+m开花 因为|f(x1)一∫(x2)|入恒成立，所以 a)=ad+4d. A≥1f(x)-f(x)1m=1-（-3) 3 因为3AG=2G成，即A亡-号A弦，所以 三即A≥2所以a=是 评注：本题涉及向量的平行、数量积的运 茄=开正+点花=是花+ 算、三角恒等变换及函数的最值，体现了知识 的交叉与融合。 作者单位：江苏省无锡市第六高级中学 又因为A0=tAD,即Aò=tA市= (责任编辑王琼霞) 19