精品解析：福建福州第十九中学2025-2026学年第二学期八年级期中数学试卷

福州第十九中学2025-2026学年第二学期期中测试 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每组数中两较小边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：，，，故不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项B：，，，故能构成直角三角形，故本选项符合题意； 选项C：，，，故不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项D：，，，故不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 2. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母，据此逐一分析选项即可得到答案． 【详解】解：最简二次根式的定义为：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 选项A：被开方数不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 3. 在中，点，分别为、的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点，分别为、的中点，， ． 故选：C． 4. 下列表达式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义． 根据函数的定义，对于每个自变量x，必须有且只有一个因变量y与之对应． 【详解】解：A．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； B．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； C．，当时，一个自变量对应两个值，不满足函数的定义，y不是x的函数； D．，y是x的函数； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，加减，乘法法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并得到B错误； 选项C：根据二次根式乘法法则，，故C正确. 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并得到，故D错误． 6. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设正比例函数解析式为，将已知点代入求出的值，得到函数解析式，再判断各选项的点是否在函数图象上，即可得出结果． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， 选项A：当时，，所以不在该函数图象上，A不符合题意； 选项B：当时，，所以不在该函数图象上，B不符合题意； 选项C：当时，，所以不在该函数图象上，C不符合题意； 选项D：当时，，所以在该函数图象上，D符合题意． 7. 在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 8. 年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 起跑后小时以内，乙在甲的前面 B. 起跑后小时，甲和乙相遇 C. 乙比甲先到达终点 D. 甲、乙都跑了千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用． 【详解】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误； B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确； C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确； D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确． 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即， 解得. 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 【答案】六 【解析】 【分析】n边形的外角和为，内角和为，结合题意列出方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得 解得， 故这个多边形是六边形． 13. 如图，中，，是边上的中线，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，得出答案即可． 【详解】解：∵中，， ∴为直角三角形， ∵是边上的中线，， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 15. 已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将直线解析式整理为一次函数的一般形式，再根据已知条件判断随的变化趋势，利用一次函数的增减性得到关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：首先整理直线解析式：， ∵，是直线上的相异两点， ∵， ∴当时，，当时，， 即随的增大而增大， 根据一次函数的性质，一次项系数大于，可得， 解得． 16. 如图，在正方形中，，在线段上，作射线，分别过点，，作的垂线，垂足分别为点，，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形性质得，结合三角形面积公式，得，再通过的最大值求该式的最小值． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形，且边长为10， ，， ∴， ∴， ， ， 又∵， ， ∴， ， 当E与B重合时，的值最大为， ∴有最小值为． 【点睛】解题的核心是利用面积法，将分散的垂线段之和转化为含的分式，再结合的取值范围，利用“分母最大时，分式值最小”的性质，快速求得结果． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 18. 如图，在平行四边形中，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形，结合，可证出，得出，，即可证出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 19. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，最后根据即可得解． 【详解】解：在中，，，， , 在中，，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积是． 20. 如图，在平行四边形中，，，求证：平行四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，可得，，由题干信息证明，即可得，可证出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形． 21. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． （1）求与的函数解析式． （2）若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． 【小问2详解】 解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 22. 如图，在矩形中，，，点是边上一点． （1）在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交于点，作平分交于点；证明出，即可证明上述作法； （2）由勾股定理求出的长度，得的长度，根据翻折的性质和平行线的性质，证出，令，则，由，得，解得的值，即可得出，线段的长． 【小问1详解】 解：如图所示，点、即为所求； 以点为圆心，为半径画弧交于点， 作平分， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：作图如下： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴． 23. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． （3）研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【答案】（1） （2） （3）将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，h的值，再计算需要的水的体积即可； （3）分别求出，和这三个音阶对应的水的高度，进而求出对应的水的体积即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， 由题意得，，解得， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得， ∴想发出的音阶为，则玻璃杯中的水的高度为， ， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； 【小问3详解】 解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ，，， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为）． 24. 已知三个一次函数，分别为，，，其中，，． （1）若一次函数的图象与直线平行，且过点，求的表达式． （2）若点，分别在函数，上，且，，比较，大小，并说明理由． （3）若一次函数图象经过点，，当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得出，再把代入，解得，即可作答． （2）理解题意，把点，分别代入，，得出，，再运用作差法进行列式分析，即可作答． （3）运用待定系数法进行求解，再结合当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立，进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 依题意，把代入，得， 解得， 即； 【小问2详解】 解：∵，，且点，分别在函数，上， ∴，， ∵， ∴，， 则， ∵，， ∴， 即 ， ∴； 【小问3详解】 解：∵一次函数图象经过点，， ∴， 解得， ∴， ∵当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立， ∴对任意，至少存在一个整数，需恒有， ， 当时，， 此时，不含整数； 当时，对任意都有，且当足够大时 ，不满足； 当时， ， ∵且， ∴ ， ∴长度大于1的开区间必包含至少一个整数，满足题意， 结合题干， 故的取值范围是且． 25. 如图1，正方形的边长为1，点在边上，连接，将沿直线翻折得到，延长交射线于点，和的角平分线，相交于点，连接． （1）求． （2）若，求线段的长． （3）如图2，若四边形是平行四边形，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】　（1）由正方形的性质可知，利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出． （2）利用含30度直角三角形的性质得出，，再由勾股定理求出，再根据线段的和差关系得出，求出，即可求出． （3）证明，，由全等三角形的性质得出，设，过点H作于点N，作于点M，证明四边形是正方形，得出，，，由角平分线的性质定理进一步得出，延长，交于点S，由全等三角形的性质得，由等边对等角以及等量代换进一步得出，利用勾股定理求出m，最后代入面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， 则， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠的性质得出，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点H作于点T，则， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 过点H作于点N，作于点M， 则四边形是矩形， 又平分，平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴ ， 延长，交于点S， ∵，， ∴， 则，， ∵， ∴点S在的延长线上， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】作出辅助线，掌握角平分线的性质定理以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025-2026学年第二学期期中测试 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点，分别为、的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 下列表达式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 起跑后小时以内，乙在甲的前面 B. 起跑后小时，甲和乙相遇 C. 乙比甲先到达终点 D. 甲、乙都跑了千米 9. 如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 12. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 13. 如图，中，，是边上的中线，若，则______ 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 15. 已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 16. 如图，在正方形中，，在线段上，作射线，分别过点，，作的垂线，垂足分别为点，，，则的最小值为____________． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，，求证：四边形为平行四边形． 19. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，，求：四边形的面积． 20. 如图，在平行四边形中，，，求证：平行四边形为矩形． 21. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． （1）求与的函数解析式． （2）若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 22. 如图，在矩形中，，，点是边上一点． （1）在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 23. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． （3）研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 24. 已知三个一次函数，分别为，，，其中，，． （1）若一次函数的图象与直线平行，且过点，求的表达式． （2）若点，分别在函数，上，且，，比较，大小，并说明理由． （3）若一次函数图象经过点，，当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 25. 如图1，正方形的边长为1，点在边上，连接，将沿直线翻折得到，延长交射线于点，和的角平分线，相交于点，连接． （1）求． （2）若，求线段的长． （3）如图2，若四边形是平行四边形，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $