第十一章 一元一次不等式（知识清单）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元一次不等式”单元内容，涵盖不等式定义、性质、一元一次不等式（组）的概念、解法及实际应用等核心范畴，搭建了从基础概念理解到性质运用再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“易错提醒”标注（如强调不等式可不含未知数）、“记忆口诀”辅助（如同大取大等解集规律）和“知识点训练分级”（从概念识别到含参数问题）构建知识体系，培养学生的抽象能力与推理意识。特别设计“实际应用步骤”（审题设元到检验作答），不同层次学生可高效掌握，教师能据此精准教学，提升课堂实效。

第十一章 一元一次不等式 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么. （2）如果,那么. 3. 不等式的基本性质： 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. 基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ).（易错提醒：此处易错） 4.一元一次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 5. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解,所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 6.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 7.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 8.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 无解 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 9.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的解集； （2）借助数轴或口诀求解集的公共部分。 10.不等式（组）的实际应用： （1）审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； （2）设元：根据需要设出适当的未知数； （3）列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； （4）求解：解出不等式（组）的解集； （5）检验：检验解集是否符合题意和实际生活； （6）写答：写出答案。 一、不等式的概念的理解： 错误：认为像的不含未知数的不是不等式． 注意：不等式的定义是说“用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式”，定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，一定不要将其定义与方程的定义混淆，方程中一定要求含有未知数，而不等式中不一定要有未知数。 二、一元一次不等式的概念理解 错误：认为是一元一次不等式 注意：一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上可以看出这个其实是的次，而不是1次。 三、一元一次不等式（组）的解法 易错提醒：解一元一次不等式的步骤与上学期学习的解一元一次方程的步骤基本相同或者说相似，只是最后一步“系数化为1”的时候最易错，错误原因就是在不等式两边同时除以一个负数时候，很多同学忘记将不等号改变方向。 四、一元一次不等式（组）的应用 易错提醒：利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，最后一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，因为生活中很多东西是正整数，不可能取小数或分数的，有的也不能取负数的，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。 知识点1训练：不等式的概念与识别 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 2．给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：不等式有①；②；⑤，共3个． 3．下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 知识点2训练：一元一次不等式的概念与识别 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 5．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 6．下列是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据一元一次不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是不等式，故本选项不符合题意； B、中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项符合题意； C、中不含有未知数，故本选项不符合题意； D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意． 知识点3训练：不等式的基本性质判断 7．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 8．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知 A、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，A错误，不符合题意； B、，不等式两边同时减，得，B错误，不符合题意； C、当，时，满足，但，因此不等式不一定成立，C错误，不符合题意； D、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，，D正确，符合题意． 9．若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意． 知识点4训练：一元一次不等式的解法 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】根据解不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 不等式两边同乘6得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 在数轴上表示为： ． 11．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得， 用数轴表示为： 12．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)；数轴见详解 (2)；数轴见详解 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 数轴表示如图： （2）解： 去分母： 去括号：， 移项：， 合并同类项：． 数轴表示如图： 知识点5训练：一元一次不等式组的解法 13．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 【答案】，，数轴见解析， 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再将不等式①和②的解集在数轴上表示，然后再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为． 14．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)无解； (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 15．解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 知识点6训练：含参数的不等式（组）解集问题 16．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 【详解】解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 17．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 18．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 知识点7训练：不等式（组）实际应用问题 19．“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)《论语》的单价为元本，《孟子》的单价为元本． (2)共有种购买方案．购买《论语》本，《孟子》本． 【分析】（1）设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本．依题意得出不等式组，求得整数解，再分别算出各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本． 依题意得：， 解得． 答：《论语》的单价为40元/本，《孟子》的单价为25元/本． （2）解：设购买《论语》本，则购买《孟子》本． 依题意得， 解得． 为正整数， 的值为38，39或40，共有3种购买方案． 方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本，购书的总费用为（元）； 方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本，购书的总费用为（元）； 方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本，购书的总费用为（元）． ， 为了节约资金，学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本． 20．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 (2)该物流中心有3种投入方案 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． （2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 21．请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 一元一次不等式 1. 不等式定义：用 表示 的式子叫作不等式。 易错提醒：不等式中可以没有未知数，例如：也是不等式。这个不等式的概念与方程的概念不同！ 2. 不等式的传递性： （1）如果那么. （2）如果,那么. 3. 不等式的基本性质： 基本性质1：不等式的两边都 (或 )同一个 ,不等号的方向 . 可以用符号表示为:如果,那么. 基本性质2：不等式的两边都 同一个 ,不等号的方向 ; 不等式的两边都 同一个 ,不等号的方向 . 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ).（易错提醒：此处易错） 4.一元一次不等式定义：只含有 ,并且 的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是 、 、 . 5. 不等式的解与解集： 满足不等式的未知数的 称为不等式的一个解, 叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式。 在数轴上表示不等式解集的方法： 不等式的解集 数轴表示 6.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。 7.一元一次不等式组定义： 把几个含有 的 联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 8.不等式组的解集：不等式组中 叫作这个不等式组的解集 . 求不等式组解集四种情况： 不等式组 不等式的解集在数轴上的表示 不等式组的解集 无解 记忆口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 9.解不等式组解集的方法步骤： （1）求出各个不等式的 ； （2）借助数轴或口诀求解集的 。 10.不等式（组）的实际应用： （1）审题：找出题目中的关于表示 得关键字词“ ”、“ ”、“ ”等； （2）设元：根据需要设出 ； （3）列式：根据不等关系，列出 ； （4）求解：解出 ； （5）检验：检验解集 和 ； （6）写答：写出答案。 一、不等式的概念的理解： 错误：认为像的不含未知数的不是不等式． 注意：不等式的定义是说“用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式”，定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，一定不要将其定义与方程的定义混淆，方程中一定要求含有未知数，而不等式中不一定要有未知数。 二、一元一次不等式的概念理解 错误：认为是一元一次不等式 注意：一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上可以看出这个其实是的次，而不是1次。 三、一元一次不等式（组）的解法 易错提醒：解一元一次不等式的步骤与上学期学习的解一元一次方程的步骤基本相同或者说相似，只是最后一步“系数化为1”的时候最易错，错误原因就是在不等式两边同时除以一个负数时候，很多同学忘记将不等号改变方向。 四、一元一次不等式（组）的应用 易错提醒：利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，最后一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，因为生活中很多东西是正整数，不可能取小数或分数的，有的也不能取负数的，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。 知识点1训练：不等式的概念与识别 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．给出下列5个式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2训练：一元一次不等式的概念与识别 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点3训练：不等式的基本性质判断 7．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 知识点4训练：一元一次不等式的解法 10．解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 11．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 12．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 知识点5训练：一元一次不等式组的解法 13．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 14．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 15．解下列不等式组： (1) (2) 知识点6训练：含参数的不等式（组）解集问题 16．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 17．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点7训练：不等式（组）实际应用问题 19．“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 20．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 21．请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $