第十一章 一元一次不等式（复习讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第十一章 一元一次不等式（复习讲义） 1. 理解不等式、不等式的解集的概念，会用数轴表示不等式的解集； 2. 掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法； 3. 会运用一元一次不等式和不等式组解决简单的实际问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 不等式的概念及性质 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 2. 不等式的解集：满足不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。 3.用数轴表示不等式的解集方法： 4.不等式的基本性质： （1）不等式的传递性： 如果那么. 如果,那么. （2）基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. （3）基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ). 不等式的定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，所以像1<2这样的式子也是不等式。注意不等式与方程概念的区别，不要受方程概念的影响。 不等式的基本性质与等式的基本性质有相似的地方，也有不同的地方，特别要注意基本性质2关于两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变，这也是解不等式时最易错的一个地方。 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义： 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 2.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。（此步骤最易错） 一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上可以看出这个其实是的次，而不是1次。 一元一次 不等式组 1.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 3.不等式组的解集求法及口诀： 口诀：同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 不等式组的解法就相当于解多个不等式，关键步骤是求几个不等式解集的公共部分，可以借助数轴方便地求解公共部分，也可以借助口诀来求解，但如果出现三个或三个以上的不等式求公共解集时，最好利用数轴。 不等式（组）的 应用 运用一元一次不等式（组）解决实际问题解题一般步骤： （1）审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； （2）设元：根据需要设出适当的未知数； （3）列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； （4）求解：解出不等式（组）的解集； （5）检验：检验解集是否符合题意和实际生活； （6）写答：写出答案。 利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。 题型一 不等式的概念与识别 【例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 根据不等式的基本性质判断变形正误 【例2】若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式2-2】若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 一元一次不等式的概念由于识别 【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型四 根据一元一次不等式的概念求参数 【例4】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【变式4-2】若是关于的一元一次不等式，则______． 题型五 一元一次不等式的解法 【例5】解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【变式5-1】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式5-2】下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型六 一元一次不等式的整数解问题 【例6】求不等式的最小整数解． 【变式6-1】整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【变式6-2】求不等式的正整数解． 题型七 用数轴表示不等式的解集问题 【例7】在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】把不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型八 根据不等式的解集求参数的值或范围 【例8】若不等式的解集为，则m必须满足_______． 【变式8-1】若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 【变式8-2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 题型九 一元一次不等式组的解法 【例9】求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【变式9-1】解不等式组： 【变式9-2】解不等式组： 题型十 根据不等式组的解集求参数的值或范围 【例10】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】若不等式组的解集为，则的值是__________． 题型十一 不等式组与方程组的综合问题 【例11】若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【变式11-2】已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 题型十二 不等式（组）的实际应用 【例12】某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【变式12-1】为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【变式12-2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题） 11．若是关于的一元一次不等式，则值为________． 12．写出不等式的一个负整数解：________． 13．已知不等式组的解集是，则的值为_______． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 16．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共4小题） 17．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 18．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 20．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 2．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 4．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 10．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题（本题共6小题） 11．若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 12．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 13．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 14．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 三、解答题（本题共4小题） 17．解不等式： (1) (2) 18．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 19．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 20．方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 一元一次不等式（复习讲义） 1. 理解不等式、不等式的解集的概念，会用数轴表示不等式的解集； 2. 掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法； 3. 会运用一元一次不等式和不等式组解决简单的实际问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 不等式的概念及性质 1. 不等式定义：用不等号(>,<,≥,≤、≠)表示数量之间关系的式子叫作不等式。 2. 不等式的解集：满足不等式的所有解的全体叫做不等式的解集。 3.用数轴表示不等式的解集方法： 4.不等式的基本性质： （1）不等式的传递性： 如果那么. 如果,那么. （2）基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,不等号的方向不变. 可以用符号表示为:如果,那么. （3）基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 可以用符号表示为:如果,那么(或 ); 如果,那么(或 ). 不等式的定义中并没有要求不等式中一定含有未知数，所以像1<2这样的式子也是不等式。注意不等式与方程概念的区别，不要受方程概念的影响。 不等式的基本性质与等式的基本性质有相似的地方，也有不同的地方，特别要注意基本性质2关于两边同乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变，这也是解不等式时最易错的一个地方。 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义： 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的三个条件：不等式两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的次数为1. 2.解一元一次不等式的基本步骤和方法：（与一元一次方程解法步骤类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。（此步骤最易错） 一元一次不等式需要满足三个要求，①不等式两边都是整式、②只含有一个未知数、③未知数的次数为1.，其中第一个要求最容易被忽略，就是要求不等式两边都是整式，也就是说未知数不能在分母中，所以这个不等式不是一元一次不等式，实际上可以看出这个其实是的次，而不是1次。 一元一次 不等式组 1.一元一次不等式组定义： 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起, 就组成了一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集 . 3.不等式组的解集求法及口诀： 口诀：同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 不等式组的解法就相当于解多个不等式，关键步骤是求几个不等式解集的公共部分，可以借助数轴方便地求解公共部分，也可以借助口诀来求解，但如果出现三个或三个以上的不等式求公共解集时，最好利用数轴。 不等式（组）的 应用 运用一元一次不等式（组）解决实际问题解题一般步骤： （1）审题：找出题目中的关于表示不等关系得关键字词“大于”、“小于”、“不超过”等； （2）设元：根据需要设出适当的未知数； （3）列式：根据不等关系，列出不等式或不等式组； （4）求解：解出不等式（组）的解集； （5）检验：检验解集是否符合题意和实际生活； （6）写答：写出答案。 利用一元一次不等式或不等式组求解与生活实际相关的问题时，一定要检验所得的解或解集是否符合题意和生活实际，例如课本第136页例题3中就是这种情况，一定要注意。 题型一 不等式的概念与识别 【例1】式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用不等号连接，是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 符合不等式定义的式子共有个． 【变式1-1】在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 【变式1-2】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 题型二 根据不等式的基本性质判断变形正误 【例2】若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 【变式2-1】下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确； C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确； D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确． 【变式2-2】若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴或或，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴或或，故D不符合题意． 题型三 一元一次不等式的概念由于识别 【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 【变式3-2】下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 题型四 根据一元一次不等式的概念求参数 【例4】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 【变式4-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 【变式4-2】若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则 题型五 一元一次不等式的解法 【例5】解不等式：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】根据解不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 不等式两边同乘6得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 在数轴上表示为： ． 【变式5-1】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得， 用数轴表示为： 【变式5-2】下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 题型六 一元一次不等式的整数解问题 【例6】求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 【变式6-1】整式． (1)当时，求M的值； (2)若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ； （2）解：由数轴知，， 即， 解得， ∵为负整数， ，． 【变式6-2】求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 题型七 用数轴表示不等式的解集问题 【例7】在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：， 得 表示在数轴上如图所示 【变式7-1】把不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： ， ∴在数轴上表示为： ∴选项符合题意． 【变式7-2】不等式的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集． 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： ． 题型八 根据不等式的解集求参数的值或范围 【例8】若不等式的解集为，则m必须满足_______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵不等式的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号方向发生了改变， ∴， ∴． 【变式8-1】若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：． 【变式8-2】若关于的一元一次不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出，解答即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式的解集为，即关于的一元一次不等式的解集为， ∴， 解得：． 题型九 一元一次不等式组的解法 【例9】求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 【变式9-1】解不等式组： 【答案】 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 【变式9-2】解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 题型十 根据不等式组的解集求参数的值或范围 【例10】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 【变式10-1】关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 【变式10-2】若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 题型十一 不等式组与方程组的综合问题 【例11】若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【变式11-1】已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 【变式11-2】已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 题型十二 不等式（组）的实际应用 【例12】某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 【变式12-1】为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元 (2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价； （2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得 解得 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元． （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． ∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元， ∴ 解不等式，得． 解不等式，得，即． 解不等式得，． ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有6种购买方案，分别是： 方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本； 方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本； 方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本； 方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本； 方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本； 方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本． 【变式12-2】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 3．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合要求； B、不是一元一次不等式，不符合要求； C、不是一元一次不等式，不符合要求； D、 不是一元一次不等式，不符合要求； 4．在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：， 得 表示在数轴上如图所示 5．不等式的负整数解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的负整数解为，共个． 6．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 8．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式得到x关于a的解集，再根据正整数解只有1，2，3确定的取值范围，即可求出a的范围． 【详解】解：解不等式，得 ∵不等式的正整数只有1, 2, 3 ∴最大正整数解为3，且4不是该不等式的解 解得． 9．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题） 11．若是关于的一元一次不等式，则值为________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 验证：当时，，即符合条件． 12．写出不等式的一个负整数解：________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解不等式得到解集，再从中找出符合要求的负整数解即可． 【详解】解：， ， 不等式的负整数解为，，． 13．已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【答案】1 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到含a，b的解集，结合已知解集求出a，b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 16．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解． 【详解】解：由程序可得，第一次的操作结果为， 第二次的操作结果为， 第三次的操作结果为， 第四次的操作结果为， ∵操作四次才停止， ∴， 解得， 即的取值范围是． 三、解答题（本题共4小题） 17．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可； （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得， 用数轴表示为： 18．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)无解； (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 19．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 20．某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； (2)最多可购买B型一体机12台． 【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 3．若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意． 4．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为， ∴选项符合题意． 6．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意易得，然后可得，则根据“a、b为整数”可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∴． 7．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 8．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 9．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 10．三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题） 11．若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 12．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减得到，则可得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于，的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴． 13．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 14．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：由不等式得：， 因此原不等式组的解集为， 不等式组只有4个整数解， 4个整数解为0、1、2、3， 可得， 不等式两边同时加2，得：． 15．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 【答案】或或 【分析】根据题意可知：第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里，由摄像头所在的位置离入口的距离不超过公里，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，根据标志牌和摄像头重合，可得出关于的二元一次方程，化简后可得出，结合均为正整数，即可得出的值，再将的值代入中即可求出结论． 【详解】解：依题意可知，第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里， ， ， ∵标志牌和摄像头重合， ， ， 又均为正整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∴离入口或或千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 三、解答题（本题共4小题） 17．解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 18．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) ，数轴见解析． 【详解】（1）解：， 由得， 由得， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： 19．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 20．方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【答案】2本练习本价格更高 【分析】设练习本每本元，铅笔每支元，根据题意可得，再化简，比较与的大小即可． 【详解】解：设练习本每本元，铅笔每支元 根据题意可得 化简第二个等式得 因此 将代入不等式得 整理得 解得 作差得 即 答：2本练习本价格更高． 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $