专题17二次函数的综合压轴题（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以4大解题技巧和9大题型为核心，构建二次函数与几何综合的系统性突破体系，强化抽象能力与推理意识，实现从知识到解题的逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |聚焦题型解密|9题型（1典例+3变式）|设点坐标法、铅垂法等4大技巧，分类讨论、转化化归思想|从函数表达式、性质到几何综合（线段/面积/特殊图形），形成概念生成-原理推导-应用拓展链条|

专题17 二次函数综合压轴题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（9大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 二次函数与线段的综合问题 题型二 二次函数与线段和最值综合问题 题型三二次函数与面积的综合问题 题型四二次函数与角度的综合问题 题型五二次函数与特殊三角形的综合问题 题型六二次函数与特殊四边形的综合问题 题型七 二次函数与相似三角形 题型八 二次函数与几何变换综合题 题型九 二次函数新情境问题 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 二次函数综合题是中考数学压轴核心考点，分值约 10～15 分，固定出现在试卷最后 1～2 道解答题，属于高区分度题型，侧重考查数形结合、分类讨论、方程与函数、转化化归四大数学思想，是冲刺高分与满分的关键板块。 基础知识必备： 1.熟练掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式），能快速求解析式、顶点坐标、对称轴、最值； 2.精准分析二次函数与一次函数、反比例函数的图象交点，结合方程（组）求解； 3.掌握二次函数与几何图形（三角形、四边形、圆）的综合应用，会处理线段、面积、最值、相似、全等、动点问题； 4.具备分类讨论意识，能处理动点位置、函数图象位置、角度与线段关系的多情况分析。 2026中考预测： 题型固定：以 “二次函数 + 几何动点”“二次函数 + 面积最值”“二次函数 + 存在性问题” 为核心考法，必考解析式求解 + 综合探究； 难度分层：第 1 问基础求解析式，全员得分；第 2 问中档几何计算，中等生突破；第 3 问高阶探究，尖子生拉分； 命题趋势：融合动点、折叠、旋转、相似、特殊图形判定，弱化纯计算，强化几何直观与逻辑推理，设问更具开放性与探究性。 重难知识汇总： 1.二次函数核心性质：对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、与坐标轴交点； 2.函数交点问题：联立解析式→解方程组→得交点坐标，结合判别式判断交点个数； 3.几何综合核心：线段长度、图形面积、相似三角形、特殊三角形 / 四边形判定、动点轨迹； 4.存在性问题：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性。 常用技巧方法： 1.设点坐标法：设二次函数图象上动点坐标，用坐标表示线段长度与面积； 2.铅垂法：快速求解二次函数背景下三角形、四边形面积最值； 3.分类讨论法：按角、边、位置关系分类，不重不漏； 4.转化法：将几何最值转化为函数最值，将几何存在性转化为方程求解。 易错避坑提效： 1.求解析式时忽略二次项系数不为 0； 2.动点问题未考虑自变量取值范围，导致增根； 3.分类讨论遗漏情况，如等腰三角形未分三边两两相等； 4.几何图形与函数图象结合时，坐标与线段长度符号混淆。 题型一 二次函数与线段的综合问题 【典例01】（2024浙江·模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【变式01】（20245•揭东区一模）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线ybx+c经过B点，且顶点在直线x上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标． 【变式02】（2025·天津·模拟）抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 【变式03】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 题型二 二次函数与线段和最值综合问题 【典例01】（2024·浙江·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式01】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【变式02】（2024•潮南区二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E． （1）求抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点F是x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为，求点F的坐标． （3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，请直接写出EM+ON的最小值为　 ． 【变式03】（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 题型三二次函数与面积的综合问题 【典例01】（2024•香洲区二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，OC＝2．点D为抛物线上一动点，直线DB与y轴交于点E． （1）填空：c＝　　 ； （2）当点D在第一象限的抛物线上，且三角形BCD的面积最大时，证明：D是BE的中点； （3）当时，求出所有满足条件的点D的坐标． 【变式01】（2026·甘肃庆阳·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1所示，当时，求点P的坐标； (3)如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m． ①求m的值； ②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 【变式02】（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【变式03】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 题型四二次函数与角度的综合问题 【典例01】（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【变式01】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【变式02】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式03】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 题型五二次函数与特殊三角形的综合问题 【典例01】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式01】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【变式03】（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 题型六二次函数与特殊四边形的综合问题 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【变式01】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【变式03】（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 题型七 二次函数与相似三角形 【典例01】（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式01】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【变式02】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【变式03】（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型八 二次函数与几何变换综合题 【典例01】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【变式01】（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【变式03】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 题型九 二次函数新情景综合问题 【典例01】（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【变式01】（2026·安徽·三模）已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 【变式02】（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； (3)直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 【变式03】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． （限时训练：60分钟） 1．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 4．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 二次函数综合压轴题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（9大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 二次函数与线段的综合问题 题型二 二次函数与线段和最值综合问题 题型三二次函数与面积的综合问题 题型四二次函数与角度的综合问题 题型五二次函数与特殊三角形的综合问题 题型六二次函数与特殊四边形的综合问题 题型七 二次函数与相似三角形 题型八 二次函数与几何变换综合题 题型九 二次函数新情境问题 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 二次函数综合题是中考数学压轴核心考点，分值约 10～15 分，固定出现在试卷最后 1～2 道解答题，属于高区分度题型，侧重考查数形结合、分类讨论、方程与函数、转化化归四大数学思想，是冲刺高分与满分的关键板块。 基础知识必备： 1.熟练掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式），能快速求解析式、顶点坐标、对称轴、最值； 2.精准分析二次函数与一次函数、反比例函数的图象交点，结合方程（组）求解； 3.掌握二次函数与几何图形（三角形、四边形、圆）的综合应用，会处理线段、面积、最值、相似、全等、动点问题； 4.具备分类讨论意识，能处理动点位置、函数图象位置、角度与线段关系的多情况分析。 2026中考预测： 题型固定：以 “二次函数 + 几何动点”“二次函数 + 面积最值”“二次函数 + 存在性问题” 为核心考法，必考解析式求解 + 综合探究； 难度分层：第 1 问基础求解析式，全员得分；第 2 问中档几何计算，中等生突破；第 3 问高阶探究，尖子生拉分； 命题趋势：融合动点、折叠、旋转、相似、特殊图形判定，弱化纯计算，强化几何直观与逻辑推理，设问更具开放性与探究性。 重难知识汇总： 1.二次函数核心性质：对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、与坐标轴交点； 2.函数交点问题：联立解析式→解方程组→得交点坐标，结合判别式判断交点个数； 3.几何综合核心：线段长度、图形面积、相似三角形、特殊三角形 / 四边形判定、动点轨迹； 4.存在性问题：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性。 常用技巧方法： 1.设点坐标法：设二次函数图象上动点坐标，用坐标表示线段长度与面积； 2.铅垂法：快速求解二次函数背景下三角形、四边形面积最值； 3.分类讨论法：按角、边、位置关系分类，不重不漏； 4.转化法：将几何最值转化为函数最值，将几何存在性转化为方程求解。 易错避坑提效： 1.求解析式时忽略二次项系数不为 0； 2.动点问题未考虑自变量取值范围，导致增根； 3.分类讨论遗漏情况，如等腰三角形未分三边两两相等； 4.几何图形与函数图象结合时，坐标与线段长度符号混淆。 题型一 二次函数与线段的综合问题 【典例01】（2024浙江·模拟）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程 ，解方程即可； （3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明 ，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解： ，， ，， ， ，， 的周长， 的周长是线段长度的2倍， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 解得，（舍）， ， ； （3）解： ， 当时，y取最大值， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 设，过点M作轴于点N，    由题意知， ， ， ， 又 ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，得， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式01】（20245•揭东区一模）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线ybx+c经过B点，且顶点在直线x上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标． 【分析】（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式． （2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可． （3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x＝t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线ybx+c的顶点在直线x上， ∴可设所求抛物线对应的函数关系式为ym ∵点B（0，4）在此抛物线上， ∴4m ∴m ∴所求函数关系式为：yx+4 （2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4， ∴AB5 ∵四边形ABCD是菱形 ∴BC＝CD＝DA＝AB＝5 ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）； 当x＝5时，y525+4＝4 当x＝2时，y222+4＝0 ∴点C和点D在所求抛物线上； （3）设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+b′， 则； 解得：； ∴yx ∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t； 则yMt+4，yNt， ∴l＝yN﹣yMt（t+4）t ∵0， ∴当t时，l最大，yMt+4． 此时点M的坐标为（，）． 【点睛】此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识． 【变式02】（2025·天津·模拟）抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）过点作 交轴于点，则，当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解： 对称轴为， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴交轴于点，过点作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 则， ， 设， 由，解得：，， ， ． 则， ， ， 点的坐标为， ， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：设点，的横坐标分别为，， 联立和抛物线的表达式并整理得：， ，， ， 由，，得， 当 时，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，则， 过点作 交轴于点， 则， 当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值， 设的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：， 由， 解得，此时， 的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．一次函数的解析式与性质、相似三角形的判定与性质，公式法解方程，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式03】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②， (3)的值为或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）①求出抛物线于轴的交点坐标，即可求出的取值范围； ②设，根据正方形的性质得出，解方程求出值即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，得出，，分点在点上方和下方两种情况，证明，根据，分别列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． ②设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，． （3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， ①如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）． 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 题型二 二次函数与线段和最值综合问题 【典例01】（2024·浙江·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 【变式01】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； （3）解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 【变式02】（2024•潮南区二模）如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D（﹣1，3），与y轴交于点E． （1）求抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点F是x轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF的面积为，求点F的坐标． （3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM＝EN，请直接写出EM+ON的最小值为　 ． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由△ADF的面积＝△GAD的面积AG×yDAG×3，得到点G（5，0），进而求解； （3）证明△EHN≌△AEM（SAS），得到EM+ON＝HN+ON，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得： 则抛物线的表达式为：yx2x+2， 则点P（，）； （2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+4，则点E（0，4）， 则AE＝4， 过点F作FG∥AD交x轴于点G， 则△ADF的面积＝△GAD的面积AG×yDAG×3， 解得：AG＝9， 即点G（5，0）， 直线AD的表达式为：y＝x+4， ∵则直线FG的表达式为：y＝x﹣5， 联立上式和抛物线的表达式得：x﹣5x2x+2， 解得：x＝﹣7或2， 即点F（﹣7，﹣12）或（2，﹣3）； （3）过点E作EH∥x轴且使EH＝AE＝4， 则∠HEA＝∠EAB， ∵AM＝EN， 则△EHN≌△AEM（SAS）， 则HN＝EM， 则EM+ON＝HN+ON， 故当O、N、H共线时，EM+ON＝HN+ON＝OH最小， 则ON4， 故答案为：4． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式03】（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值时，点的坐标为；的最小值为 (3)点的横坐标为或，见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设点 ，进而得到，，求出，证明，得到，求最值即可，设滑动后的对应点分别为，将点B向上平移2个单位到点，进而得到四边形是平行四边形，推出，进行求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，设点的坐标为，在中，勾股定理求出点坐标，证明，进而得到，设 ，根据，列式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，对称轴是直线， 将点，代入抛物线中，得 ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）∵，当时，． ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点 ， ，， ， 轴， ， ； ， ∴当时，有最大值；此时，点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为， 将点B向上平移2个单位到点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当且仅当三点共线时，取得最小值． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：点的横坐标为或，理由如下： 如图，在轴负半轴上取点，使得，连接， 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 设 ， 在中，， ， 解得或． 点的横坐标为或时，． 题型三二次函数与面积的综合问题 【典例01】（2024•香洲区二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，OC＝2．点D为抛物线上一动点，直线DB与y轴交于点E． （1）填空：c＝　　 ； （2）当点D在第一象限的抛物线上，且三角形BCD的面积最大时，证明：D是BE的中点； （3）当时，求出所有满足条件的点D的坐标． 【分析】（1）OC＝2，则c＝2，即可求解； （2）由三角形BCD的面积OB×DH4×（x2x+2x﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，得到点D（2，3），即可求解； （3）当时，则|xD|＝2xB＝8，即可求解． 【详解】（1）解：∵OC＝2，则c＝2， 故答案为：2； （2）证明：由（1）知，抛物线的表达式为：yx2x+2， 则点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2）， 则直线BC的表达式为：yx+2， 过点D作DH∥y轴于点H， 设点D（x，x2x+2），则点H（x，x+2）， 则三角形BCD的面积OB×DH4×（x2x+2x﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4， 故当x＝2时，三角形BCD的面积最大， 此时点D的横坐标x＝2，即点D（2，3）， 由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y（x﹣4）， 则点E（0，6）， 而点B（4，0）， D是BE的中点； （3）解：当时，则|xD|＝2xB＝8， 即xD＝±8， 当x＝±8时，yx2x+2＝﹣18或﹣42， 即点D（8，﹣18）或（﹣8，﹣42）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形的面积计算、二次函数的性质等，难度适中． 【变式01】（2026·甘肃庆阳·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1所示，当时，求点P的坐标； (3)如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m． ①求m的值； ②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为 (3)①m的值为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可； （3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设则，根据求出点Q的坐标，然后利用勾股定理求解即可； ②作轴，交BC于点T，求出BC解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， ∵，，， ∴， 由（1）可得，，即， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点P坐标为，则，， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为； （3）解：①如图2，作，且使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，作轴，交于点T， ∵BC解析式为， 设，， 则， ∵点P在第一象限， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 【变式03】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】(1)①，；② (2)h为定值，2 (3)m的值为3 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴； （2）解：h为定值2； ∵抛物线： ∴当时，， 解得，， ∴，． ∴，， 又∵， ∴ ∴直线的函数解析式为． 在中，，， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴． 如图1，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，． 在和中，， ∴． 在中，， 在中，， ∴，为定值； （3）解：如图2，作直线， ∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线 ∴抛物线和抛物线关于原点对称 ∴，， ∴四边形为平行四边形． 设点，则点， ∴可得直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式，得， 解得（负值舍去）． ∴， ∴四边形的面积为，即， 解得． 题型四二次函数与角度的综合问题 【典例01】（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【变式01】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 【变式02】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 【变式03】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型五二次函数与特殊三角形的综合问题 【典例01】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式01】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)当是直角三角形时，的值或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点Q和点D的坐标，再表示出即可得到答案； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 该二次函数的函数表达式为； （2）解：∵， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ， 当，则，即， 解得，不符合题意，舍去； 当，则，即， 解得（不符合题意，舍去）或； 此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 当，则，即， 解得；此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值或． 【变式03】（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解： 设抛物线的解析式为， 将点代入得 ， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）解：∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； 综上，点G的坐标为或或或． 题型六二次函数与特殊四边形的综合问题 【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式01】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 【变式02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 【变式03】（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) (3)t的值为2 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题； （2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题； （3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值； （4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得，， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． 题型七 二次函数与相似三角形 【典例01】（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 【变式01】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 【变式02】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 【变式03】（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长的最大值为4 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； （2）设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； （3）设， ，， ， 分两种情况： ①当时，    ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H，    ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 题型八 二次函数与几何变换综合题 【典例01】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为或；② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 情况1：对称轴在区间左侧：时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 情况2：对称轴在区间内， 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 情况3：对称轴在区间右侧：时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为或； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 【变式01】（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线与轴得交点以及对称轴为，求出抛物线解析式，即可求解； （2）如图，设对称轴与相交于点，先求出线段的长度，因为翻折，可以求出线段的长，由三角函数可求出，可得到，由三角函数求的长，所以可以求出点的坐标． （3）设交轴于，设，先求直线的解析式，由，可得，可求出，用含的代数式表示直线，求直线和交点的坐标，用含的代数式表示，通过求顶点坐标求二次函数最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 对称轴为， ，即， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：． ． （2）解：如图，设对称轴与相交于点， ， ． 由翻折可得． 对称轴为， ． 在中，． ． ． 在Rt中，． ． （3）解：设交轴于， 设所在直线的解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， ， ， ， ， 直线与轴所成夹角为，即， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点代入得， ， 令，则， 解得：， ， ， 点在直线上方， ， 当时，的最大值为． 将带入解析式，得 点的坐标为． 【变式03】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】(1)①，；② (2)h为定值，2 (3)m的值为3 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， 题型九 二次函数新情景综合问题 【典例01】（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 【变式01】（2026·安徽·三模）已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)是， 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）根据题意列式，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：已知、在抛物线上，且，则： ，， ， ， 由，得， 代入得：， ∴ ， ∴h是定值，． 【变式02】（2026·山东德州·一模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点恰为线段的中点，求的值； (3)直线：（为常数），向下平移9个单位长度得到直线．设，抛物线的一段夹在直线，之间，求的最大值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)6 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）设，可得，再根据二次函数的对称性可得，即得，进而代入到函数解析式解答即可求解； （3）由直线与抛物线相切时得，即得此时直线：，得到直线：，再由得，，即得，时取最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入得 解得： 该抛物线的解析式为； （2）解：设， 点恰为线段的中点， ， 抛物线， 对称轴为直线， 点、关于对称轴对称， ， 解得， 当时，， 的值为； （3）解：当直线与抛物线相切，即只有一个交点时，的值最大，如图， ， 即， 由，解得， 此时直线：， 直线：向下平移9个单位长度得到直线， 直线： 由，解得，， ， 当，时， 的最大值. 【变式03】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）由点，得．顶点在轴上，得， 即可确定对称轴为 ．即可确定； （2）推导出．设点，则点， 得，解得（舍）， ．得． （3）由图可知，当时，有最小值，得，解得． 得最大值 ．当时，，解得：或（舍）．即得． 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． （限时训练：60分钟） 1．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 4．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴ ， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $