9.3公式法 同步自主达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《9.3公式法》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（   ）． A．480 B．240 C．120 D．200 5．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 6．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的值等于（    ） A．2 B．1 C．0 D． 8．亮亮是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，3，，，，分别依次对应七个字：天，国，中，之，空，眼，桥．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 二、填空题（满分24分） 9．因式分解___________． 10．若，则的值为_____． 11．因式分解：__________． 12．若，，是一组勾股数，且，，，则______． 13．已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 15．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式 ； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 16．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 三、解答题（满分72分） 17．（9分）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 18．（12分）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（12分）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 20．（8分）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21．（10分）阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 22．（10分）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 23．（11分）综合与实践 问题情境：数形结合思想是通过数与形的相互转化解决数学问题的思想方法，能将抽象问题直观化、复杂问题简化．我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用图形进行验证等式成立． 实践操作：如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． 问题解决： （1）上述操作能验证的等式是________；（填字母） A．B．C． 等式应用： （2）①若，，则的值为________； ②计算：． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查平方差公式法因式分解，根据能用平方差公式法进行因式分解的多项式的特点，两个平方项且符号相反，进行判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】∵周长为， ∴， ∴， ∵面积为， ∴， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 本题主要考查了用公式法分解因式，能够将原式进行正确变形是解决此题的关键． 【详解】解：原式 = + + 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，利用整式的乘法可得，，两式相减可得，结合，得出，则，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，最后根据密码手册对应汉字即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 密码信息为“中国天眼”， 故选：． 9． 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 11． 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，观察表达式，发现前三项构成完全平方式，整体可视为平方差形式，应用公式分解法． 【详解】解： 故答案为：. 12．4051 【分析】本题考查勾股数的应用，勾股定理，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先推导出当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， ∵， ∴当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边， ∴ 故答案为：4051． 13．11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则 ． 14．21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 15． 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论． 【详解】解：该三角形是等边三角形，理由见解析： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴且， ∴， ∴该三角形是等边三角形． 21．(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 22．(1)B (2)不彻底； (3) 【分析】本题考查因式分解的运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设，利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B． （2）解：不彻底， ， 故答案为：不彻底；． （3）解：设 原式 ． 23．（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）通过比较裁剪和拼接前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值即可求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】解：（1）图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． 解：（2），， ， ． 解：（3）原式 学科网（北京）股份有限公司 $