微专题 角平分线有关的三角形内角和问题（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

微专题 角平分线有关的三角形内角和问题 目录 题型1 双角平分线模型 1 题型2 内外角平分线模型 6 题型3 双外角平分线模型 10 题型4 角平分线与高线夹角问题 17 题型5 角平分线找规律 23 题型6 项目式学习问题 29 双角平分线模型 模型展示 条件：平分内角平分内角 结论： 例1 如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出，然后再利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式1 如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理， 由角平分线的定义可得出，，进而可得出，由三角形内角和定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 变式2 如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：C． 变式3 如图，在中，是的平分线，是的平分线．若的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质.根据分别是的平分线求角度关系即可. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴ 故选：A ． 变式4 如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义，推出，利用三角形内角和定理得到，求得，据此即可求解． 【详解】解：分别是的平分线，， ． 由翻折可知，，， ∴，故选项AC都不正确； ∴，故选项B不正确；故选项D正确； 故选：D． 变式5 如图，在四边形中，分别平分和，与相交于点，且，延长交于点．    (1)求的度数； (2)若，，试探究，之间的等量关系，直接写出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角定义、三角形内角和定理得到，再由角平分线定义及三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案； （2）由外角性质得到，，再由角平分线定义及三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 分别平分和， ，， ，则， 在中，； （2）解：， 是的外角；是的外角； ，， 分别平分和， ，， ，即． 【点睛】本题考查求角度，涉及对顶角定义、三角形内角和定理、角平分线定义、外角性质等知识，数形结合，准确表述出相关角度的和差倍分关系是解决问题的关键． 内外角平分线模型 模型展示 条件：平分内角平分外角 结论： 例2 如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 变式1 如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义与性质，掌握三角形外角的定义与性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵， ∴． ∴ 故选：D． 变式2 如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得； （2）同理（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：同理（1）可得， ∴， ∴， ∴的度数为． 变式3 （1）如图（1），中，的平分线与外角的平分线交于．若，则__________． （2）如图（2），中，的平分线与外角的平分线交于，若E为BA延长线上一动点，连接EC，与的平分线交于点Q，求的值．    【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35°； （2）同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 双外角平分线模型 模型展示 条件：平分外角平分外角 结论： 例3 在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴ ，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分，    ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有：①②． 故选：C． 变式1 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 【答案】探究：（1），；（2）；应用： 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用：解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴中，又∵， ∴ 故答案为：． 变式2 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 变式3 某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究． (1)如图（1），在中，与的平分线交于点，若，则______； (2)如图（2），的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则______（用含的式子表示）； (3)如图（3），的两外角与的平分线交于点．请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）解：；理由如下： ∵与是的外角， ∴，， ∵，分别是与外角的平分线， ∴，． ∵， ∴， ． 角平分线与高线夹角问题 模型展示 基本图形 条件 是直角，高C D与角平分线A E相交于点 结论 例4 如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据是角平分线求出，最后再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 变式1 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 变式2 如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 【详解】解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 变式3 如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形的高等，弄清楚各角之间的数量关系是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形内角和得出，即可得出答案． 【详解】解：在中，． ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 变式4 已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 变式5 如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．    (1)求的度数． (2)试写出与关系式，并证明． (3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．    【答案】(1) (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果； （3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3） 不变，理由是： 如图，过作于， 由（2）可知：，    ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键． 角平分线找规律 例5 如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，难度适中．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质得到，再根据此规律计算即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，， 根据三角形的外角的性质得，，， ∴， ∵， ∴， 同理：，，， 故选：A． 变式1 如图， 是的外角，的平分线与的平分线交于点 ，∠A1BC 的平分线与的平分线交于点 ，的平分线与的平分线交于点 ，…，设，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案． 【详解】解：∵是的外角，是的外角， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 同理：=， …… ∴， 当时， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 变式2 如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 变式3 在中，，、的平分线交于点O． 　　 (1)如图1，求的度数（用含n的代数式表示）； (2)如图2，过点O作直线，分别交边、于点D、E，则______．（用含n的代数式表示） (3)将直线绕点O旋转． ①如图3，直线与、的交点分别在线段和上，试探索、、三者之间的数量关系，并说明你的理由． ②如图4，直线与的交点在线段上，与的交点在的延长线上，则、、三者之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再利用三角形内角和定理得； （2）根据平角定义得，然后根据（1）求解； （3）①同（2）可得；②根据，可得，将（2）中结论代入即可． 【详解】（1）解：∵、的平分线交于点O， ∴，， ∴ ； （2）， ； （3）①． 理由如下：， ． ②． 理由如下：∵， 由（1）知：， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义和平角的定义，解决本题的关键是熟记三角形的内角和定理． 项目式学习问题 例6 如图1，，直线分别交，于点，点，的平分线与的平分线交于点．    (1)求证； (2)在（1）的条件下，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，求的度数； (3)如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点P，求证． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解答即可． （2）利用基本结论，求解即可． （3）利用基本结论，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， 即的度数是， ； （2）解：由题意，， 平分，平分， ， ， （3）解：由题意，，， 平分，平分， ，， ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义． 变式4 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接PB，PD根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解． （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到180°，再根据，得到即可求解； 【详解】（1），分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ； （2）∵的平分线和的平分线所在直线相交于点P， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴． ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵， ∴， ∴    （4）直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴180°， 即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 变式5 【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 变式6 综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ． ， ， ， 即． （2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F， 由（1）可知，， ， ． （3）如图，延长，交于点G． ，， ，， ． 四边形的内角与外角的平分线交于点F， ． 变式7 综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）或或或． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】（1）在中，根据三角形内角和为，则． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以． 在中，根据三角形内角和为，有． 故答案为：；；；； （2）∵，， ∴ ∵外角，的平分线交于点， ∴， ∴ ∴； （3）是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时， ∴； ②当时， ∴； ∴； ③当时， ∴ ∴； ④当时， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练应用各性质定理． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 角平分线有关的三角形内角和问题 目录 题型1 双角平分线模型 1 题型2 内外角平分线模型 6 题型3 双外角平分线模型 10 题型4 角平分线与高线夹角问题 17 题型5 角平分线找规律 23 题型6 项目式学习问题 29 双角平分线模型 模型展示 条件：平分内角平分内角 结论： 例1 如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1 如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2 如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3 如图，在中，是的平分线，是的平分线．若的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4 如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 变式5 如图，在四边形中，分别平分和，与相交于点，且，延长交于点．    (1)求的度数； (2)若，，试探究，之间的等量关系，直接写出结果． 内外角平分线模型 模型展示 条件：平分内角平分外角 结论： 例2 如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 变式1 如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（   ） A． B． C． D． 变式2 如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 变式3 （1）如图（1），中，的平分线与外角的平分线交于．若，则__________． （2）如图（2），中，的平分线与外角的平分线交于，若E为BA延长线上一动点，连接EC，与的平分线交于点Q，求的值．    双外角平分线模型 模型展示 条件：平分外角平分外角 结论： 例3 在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 变式1 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 变式2 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 变式3 某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究． (1)如图（1），在中，与的平分线交于点，若，则______； (2)如图（2），的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则______（用含的式子表示）； (3)如图（3），的两外角与的平分线交于点．请写出与之间的数量关系，并说明理由． 角平分线与高线夹角问题 模型展示 基本图形 条件 是直角，高C D与角平分线A E相交于点 结论 例4 如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式1 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2 如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3 如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4 已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 变式5 如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．    (1)求的度数． (2)试写出与关系式，并证明． (3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．    角平分线找规律 例5 如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1 如图， 是的外角，的平分线与的平分线交于点 ，∠A1BC 的平分线与的平分线交于点 ，的平分线与的平分线交于点 ，…，设，则_____． 变式2 如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 变式3 在中，，、的平分线交于点O． 　　 (1)如图1，求的度数（用含n的代数式表示）； (2)如图2，过点O作直线，分别交边、于点D、E，则______．（用含n的代数式表示） (3)将直线绕点O旋转． ①如图3，直线与、的交点分别在线段和上，试探索、、三者之间的数量关系，并说明你的理由． ②如图4，直线与的交点在线段上，与的交点在的延长线上，则、、三者之间的数量关系为______． 项目式学习问题 例6 如图1，，直线分别交，于点，点，的平分线与的平分线交于点．    (1)求证； (2)在（1）的条件下，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，求的度数； (3)如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点P，求证． 变式4 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 变式5 【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 变式6 综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 变式7 综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $