第02讲 垂直平分线和角平分线的判定及性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第02讲 垂直平分线和角平分线的判定及性质 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【题型3 垂直平分线的判定】 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【题型5 角平分线判定的应用】 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 知识点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3.垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【典例1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【变式1-2】如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【变式1-3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【典例2】如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式2-1】到三角形三个顶点距离相等的是（ ） A．两边垂直平分线的交点 B．两角平分线的交点 C．两条高的交点 D．没有这样的点 【变式2-2】为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【变式2-3】有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【题型3 垂直平分线的判定】 【典例3】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式3-1】如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【变式3-2】如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【变式3-3】如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 知识点2：角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【典例4】如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式4-3】如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【题型5 角平分线判定的应用】 【典例5】如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【变式5-1】到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【变式5-2】如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（  ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 知识点3：尺规作图-垂直平分线和角平分线 （一）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （二）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【典例6】如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l1、l3表示直路，而l2表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． 【变式6-1】如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【变式6-2】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【变式6-3】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 一、单选题 1．如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，是的垂直平分线，点P是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．如图：在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 4．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（   ） A．13 B．15 C．19 D．20 5．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（    ） A．24 B．18 C．14 D．9 二、填空题 6．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ． 7．如图，是的角平分线，是的高线．若，则的长为 ． 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于D、E两点，且，，则的周长为 ． 三、解答题 9．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 10．如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 11．如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的长； (2)若平分，求的度数． 12．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 垂直平分线和角平分线的判定及性质 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【题型3 垂直平分线的判定】 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【题型5 角平分线判定的应用】 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 知识点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3.垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1 利用垂直平分线的性质求线段和角】 【典例1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出， 再利用线段和差求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式1-2】如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 【变式1-3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 【题型2 垂直平分线性质的应用】 【典例2】如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 【变式2-1】到三角形三个顶点距离相等的是（ ） A．两边垂直平分线的交点 B．两角平分线的交点 C．两条高的交点 D．没有这样的点 【答案】A 【详解】试题分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点距离相等的是两边垂直平分线的交点， 故选A． 考点：线段垂直平分线的性质． 【变式2-2】为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 【变式2-3】有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上． 故选C． 【题型3 垂直平分线的判定】 【典例3】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式3-1】如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明： ， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式3-2】如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【变式3-3】如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证 ， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 知识点2：角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型4 利用角平分线的性质求线段和角】 【典例4】如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积为7，， ，即， ， 解得， 故选：B． 【变式4-1】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法成为解题的关键． 根据作图过程可得，平分，如图：过F作，根据角平分线的性质定理可得，据此即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， 如图：过F作， ∵点到的距离为4， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：B． 【变式4-2】如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据面积公式进行列式，即可作答． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ∵是角平分线，， ∴， ∴的面积． 故选：D． 【变式4-3】如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等．连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，， 则：， ∴， 即：， ∵的周长是21， ∴； 故答案为：． 【题型5 角平分线判定的应用】 【典例5】如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线上的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等成为解题的关键． 直接根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处． 故选：D． 【变式5-1】到三角形各边的距离相等的点是三角形（    ） A．三边中垂线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的中点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 【变式5-2】如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（  ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处， 故选：． 知识点3：尺规作图-垂直平分线和角平分线 （一）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （二）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 【题型6 尺规作图-角平分线和垂直平分线】 【典例6】如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l1、l3表示直路，而l2表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． 【答案】答案见解答过程． 【解答】解：设l1和l3交于点E， 以点E为圆心，以适当的长为半径画弧分别交l1，l3于点M，N， 分别以MN为圆心，以大于为半径画弧在l1，l3的内部交于点F， 作射线EF， 连接BC， 分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于T，H， 作直线TH与射线BF交于点P， 则点P为所求作的点． 理由如下： 由作图可知：EF为直线l1，l3夹角的平分线，点P在EF上， ∴点P到l1和l3的距离相等， 由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线，点P在TH上， ∴TB＝TC． ∴点P点P到l1和l3的距离相等，且到点B和C的距离也相等． 【变式6-1】如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，点P为所作． 【变式6-2】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【答案】图见解析． 【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置． 【变式6-3】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 一、单选题 1．如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由垂线段最短可知，当时，线段有最小值，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段有最小值， 平分，，， ， 即线段的最小值是4， 故选：B． 2．如图，在中，是的垂直平分线，点P是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得出，则，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： 直线是的垂直平分线， ， ， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 3．如图：在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（   ） A．13 B．15 C．19 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为9，求得，即可求出的周长． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（    ） A．24 B．18 C．14 D．9 【答案】C 【分析】根据作图得到MN是线段BC的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】解：由作图可知MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝DC， ∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14． 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到MN是线段BC的垂直平分线是解题关键． 二、填空题 6．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出，再将的周长转化为，即可得出答案． 【详解】∵平分，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12 7．如图，是的角平分线，是的高线．若，则的长为 ． 【答案】1.6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于由角平分线的性质定理得出，由三角形的面积公式得出进而可得出． 【详解】解：过D作于 是的高线，是的角平分线， ， ， 解得 ， 故答案为： 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于D、E两点，且，，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键． 首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交、于D、E两点 ∴ ∴的周长为． 故答案为：10． 三、解答题 9．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 10．如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)16 (2)12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 11．如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的长； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）直接根据垂直平分线的性质求解； （2）根据垂直平分线的性质可知，从而，再根据角平分线的定义可知，根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线 ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)线段和线段的位置关系是 ； (2)求证：； (3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据垂直平分线的判定即可得出证明； （2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （3）根据进行计算即可． 【详解】（1）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 则线段和线段的位置关系是 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴； （3）∵ ∴ ∴“筝形”的面积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$