数学（浙江卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

**基本信息** 以冷链物流、智慧交通、孔明锁等真实情境为载体，覆盖函数、数列、立体几何等核心知识，通过新定义运算、跨学科问题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合（正交集合）、统计（频率分布直方图）、函数（新运算平移）|结合康托尔集合论定义新运算，智慧交通编码计数考查分类讨论| |填空题|3题/15分|复数（虚根距离）、椭圆（旋转后最值）、概率（机器运行）|椭圆旋转结合向量垂直求焦点距离最小值| |解答题|5题/77分|解三角形（面积与内切圆）、立体几何（折叠体积）、导数（切线与恒成立）、概率统计（AI学习策略）、椭圆（光学性质与等比数列）|AI学习策略概率分布论证数学思维，椭圆反射光线构建等比数列体现数学语言表达|

2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B A B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以；············································································（5分） （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为.··························································（13分） 16．【解】（1）翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为.·······················（6分） （2）因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.·······················（15分） 17【解】（1）当时，， 设切点为，切线方程为：， 切线过，代入得：， 依题意有三条切线，即方程有三个不同实根， 设，求导得恒成立： 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 极值为，且时时， 因此与有三个交点时：；··················································（7分） （2），求导得， 令得（为极值点横坐标）， 由得， 的最大值为，代入得：， 依题意若存在使得对任意恒成立，即：， 整理得：对某个成立，即， 设，求导得：， 可得：时递减； 时递增。因此最小值为，故： 即的取值范围是.············································································（15分） 18．【解】（1）因为，所以； 当时，，则； 当时，，根据“糖水不等式”，可得.·······························（5） （2）的值可能为0,1,2. ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 ··········································································································（11分） （3）（用数学归纳法证明）. 当时，，，所以当时，结论成立； 当时，，，，所以当时，结论成立. 假设当时，结论成立， 即对任意，有. 则当时， 因为， 所以 因为， 所以. 即当时，结论亦成立. 综上可知，对都成立.·····································································································（17分） 19．【解】（1）由题意得，， 故E的方程为.········································································（4分） （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为.····································（13分） （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点.·······································································（17分） 答案第4页，共6页 答案第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前最后一卷 高三数学 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（   ）    A． B． C． D． 3．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 4．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 5．某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．51 B．80 C．131 D．210 6．设等比数列的前n项和为，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②，，成等比数列； ③若，则； ④若有偶数项，，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则有10项． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，则的值也扩大为原来的10倍 D．数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10．已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（    ） A．函数的图象关于中心对称 B．函数的极大值有可能小于零 C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率 D．若三点共线，则. 11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（    ）      A．最大值为. B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为 C． D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 13．已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记焦点，则的最小值是_____ 14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 16．（15分）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．（15分）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围； (2)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 18．（17分）人工智能（AI）的学习能力是当前研究的热点．某AI智能体进行一项学习任务，每次任务的结果只有成功或失败．该AI智能体采用如下学习策略：若前次任务中成功的次数为，则第次任务成功的预测概率为为常数且．记表示第次任务的结果，若成功，若失败，规定． (1)试比较的大小； (2)求的分布列； (3)求证：，其中， 19．（17分）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 试卷第6页，共6页 试卷第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前最后一卷 高三数学 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】结合题意：因为，所以， 解得，即， 所以全集， 由可得，所以， 则集合A关于集合U的正交集合B的个数为. 故选：B. 2．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 故选：D. 3．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 4．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 将函数的图像向左平移个单位，所得， 因为为偶函数， 则，解得， 可得，结合选项可知：B正确，ACD错误. 故选：B. 5．某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．51 B．80 C．131 D．210 【答案】A 【分析】利用组合知识和计数原理计算. 【详解】出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 则出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为. 故选：A 6．设等比数列的前n项和为，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②，，成等比数列； ③若，则； ④若有偶数项，，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则有10项． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等比数列求和公式即可求解①，由即可求解②，根据即可求解③，根据奇数项与偶数项之比可得公比，即可利用等比求和公式即可求解④. 【详解】对于①，若公比为，由于，则，显然不满足， 故，由得， 故，所以，故，故①正确， 对于②，当时，，，，不能成等比数列，故②错误， 对于③，由，所以， 由于为等比数列，故，故，③错误， 对于④，若有偶数项，， 其奇数项之和为，偶数项之和为， 故，故， 所以，则有10项，④正确， 故选：B 7．如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 直线方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，， 此时直线方程为， 令，解得，所以， 设，其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 【答案】D 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则，， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，则的值也扩大为原来的10倍 D．数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 【答案】 【分析】由相关系数的概念可判断A，根据独立得到，由事件互斥，可判断B，由卡方计算公式可判断C，通过举反例可判断D. 【详解】由相关系数的概念可知A正确， 对于B选项，若事件相互独立，则， 若事件互斥，则，矛盾， 故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确， 对于C，因为，当扩大到原来的10倍， 则的值也扩大10倍，C正确. 对于D，由总平均数， 可得，即或， 取，数据，得； 取，数据，得， 此时满足， 计算总方差， 而，显然，不等式不成立，D错误. 10．已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（    ） A．函数的图象关于中心对称 B．函数的极大值有可能小于零 C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率 D．若三点共线，则. 【答案】AD 【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，即可判断C；根据化简即可判断D. 【详解】对于A，设， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于点中心对称，A正确； 对于B，令，解得， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值， 由单调性可知，，故B错误； 对于C，， 因为，所以， 又， 所以 ， 因为，所以 ，即，C错误； 对于D，同上，可得，， ， 当三点共线时，则有， 整理得， 因为，所以，即， 又，所以， 整理得， 因为，所以，即， 所以，D正确. 故选：AD. 11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（    ）      A．最大值为. B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为 C． D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小 【答案】BD 【分析】对于A，给出一个反例即可，对于B，将其轨迹的长度计算转化为圆周长的计算即可；对于C，说明不一定成立即可，对于D，讨论其轨迹形状，并组合成一个椭圆和一个圆，再求其长度. 【详解】    根据题目条件可知，球为该几何体的外接球，其半径. 对于A，由于当位于长方体的某个顶点，而位于其对径点处时， 有，故A错误； 对于B，由于公共正方体的外接球和几何体的交线是公共正方体的个面各自的外接圆， 这些圆的半径都是，所以其轨迹长度为，故B正确； 对于C，设到平面的距离为，由于点都在球上，所以， 从而到平面的距离的取值范围是，再记的面积为， 则的取值范围是，从而不等式并不一定成立，故C错误； 对于D，由，可知此时的轨迹分为以下几个部分： ①两个同时包含两点（且位于一条边上）的面和上都各有两段轨迹， 两个同时包含两点（位于一组对边上）的面和上都各有一段轨迹， 这些轨迹都是椭圆的一部分，且可以拼成一个完整的椭圆，其半长轴为，半焦距为（从而半短轴为）； ②四个恰包含两点中的一点的面上都各有一段轨迹， 每段轨迹都是一个圆的，对应圆的半径满足， 解得，从而圆弧部分的总长度为， 所以的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 【答案】 【详解】因为方程，有两个虚数根， 所以，则， 又由，得，即， 所以，即， 所以的两个虚数根分别为， 它们在复平面上对应的点分别为， 所以它们之间的距离为，解得，满足， 所以. 故答案为：. 13．已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记焦点，则的最小值是_____ 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，根据旋转前后的关系，设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点，由椭圆的定义，得到，再设，得到，根据，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由椭圆绕坐标原点逆时针旋转角后得到曲线的焦点为， 可得，且， 如图（1）所示，联立方程组 ，解得， 所以， 又因为，可得点关于原点对称， 设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点， 再设椭圆的另一个焦点为， 如图（2）所示，分别连接， 根据椭圆的对称性，可得， 由椭圆的定义，可得，即， 设，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 【答案】 【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解. 【详解】设，则， 设一次实验中成功运行的概率为， 则 ， 令，， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故， 由服从二项分布，故有，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 16．（15分）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. （2）因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 17．（15分）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围； (2)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设切点坐标，利用导数求出切线斜率，结合点斜式写出切线方程，将点代入切线方程，得到关于切点横坐标的方程，再构造函数，利用导数研究该函数的单调性与极值，根据极值的符号确定参数的范围； （2）依题意等价于，即，存在使得该式成立，所以先利用导数求出的最大值，构造关于的函数，再求该函数的最大值，进而确定的范围. 【详解】（1）当时，， 设切点为，切线方程为：， 切线过，代入得：， 依题意有三条切线，即方程有三个不同实根， 设，求导得恒成立： 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 极值为，且时时， 因此与有三个交点时：； （2），求导得， 令得（为极值点横坐标）， 由得， 的最大值为，代入得：， 依题意若存在使得对任意恒成立，即：， 整理得：对某个成立，即， 设，求导得：， 可得：时递减； 时递增。因此最小值为，故： 即的取值范围是. 18．（本题17分）人工智能（AI）的学习能力是当前研究的热点．某AI智能体进行一项学习任务，每次任务的结果只有成功或失败．该AI智能体采用如下学习策略：若前次任务中成功的次数为，则第次任务成功的预测概率为为常数且．记表示第次任务的结果，若成功，若失败，规定． (1)试比较的大小； (2)求的分布列； (3)求证：，其中， 【答案】(1)时，；时，. (2) 0 1 2 (3)证明见解析 【分析】（1）分，两种情况，讨论与的大小. （2）明确的取值，求出对应的概率，可得的分布列. （3）利用数学归纳法进行证明. 【详解】（1）因为，所以； 当时，，则； 当时，，根据“糖水不等式”，可得. （2）的值可能为0,1,2. ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 （3）（用数学归纳法证明）. 当时，，，所以当时，结论成立； 当时，，，，所以当时，结论成立. 假设当时，结论成立， 即对任意，有. 则当时， 因为， 所以 因为， 所以. 即当时，结论亦成立. 综上可知，对都成立. 19．（17分）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 试卷第14页，共22页 试卷第2页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C]D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][CD] 口 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 杯 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A]B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 知 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) M E F E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026高考考前最后一卷 高三数学 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（   ）    A． B． C． D． 3．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 4．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 5．某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．51 B．80 C．131 D．210 6．设等比数列的前n项和为，下列说法中正确的有（    ） ①若，则； ②，，成等比数列； ③若，则； ④若有偶数项，，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则有10项． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，则也扩大为原来的10倍 D．数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10．已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（    ） A．函数的图象关于中心对称 B．函数的极大值有可能小于零 C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率 D．若三点共线，则. 11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（    ）      A．最大值为. B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为 C． D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________． 13．已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记焦点，则的最小值是_____． 14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求； (2)若，求内切圆半径的最大值. 16．（15分）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 17．（15分）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围； (2)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 18．（17分）人工智能（AI）的学习能力是当前研究的热点．某AI智能体进行一项学习任务，每次任务的结果只有成功或失败．该AI智能体采用如下学习策略：若前次任务中成功的次数为，则第次任务成功的预测概率为为常数且．记表示第次任务的结果，若成功，若失败，规定． (1)试比较的大小； (2)求的分布列； (3)求证：，其中， 19．（17分）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $