广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试数学试卷（4.24）

高二数学自主训练（2026.4.24） 学校:___________姓名：___________ 一、单选题 1．某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（    ） A．144种 B．240种 C．256种 D．288种 2．若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 4．对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 5．若在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 二、多选题 8．已知随机事件，满足：，，则（   ） A．事件与互为对立事件 B．如果，那么 C．如果事件，互斥，那么 D．如果事件，相互独立，那么 9．已知函数，则（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在区间上有3个零点 D．的最大值为 10．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．当数列满足时， C．数列的通项公式可能为 D．当数列满足时， 三、填空题 11．的展开式中的系数是_________（用数字作答） 12．已知函数在上连续可导，满足且，则的解析式为__________. 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为，则（1）______，（2）在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______. 四、解答题 14．一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 15．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 16．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二数学自主训练（2026.4.24）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B C D BD BD ACD 1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．BD 9．BD 10．ACD 11． 12． 13． 6 14．(1)3 (2)（i）分布列： 0 1 2 ； （ii）有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 15．(1) (2)证明见解析 16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 《高二数学自主训练（2026.4.24）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B C D BD BD ACD 1．B先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法；再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 2．B因随机变量服从两点分布，且，所以； 所以；所以. 3．A ， 则、 . 4．C因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 5．B∵ 函数的定义域为，区间在定义域内， 对求导得：.∵ 在上是减函数， ∴ 对任意恒成立，即恒成立. ∵ ，∴ ，不等式变形为恒成立. 设，， 为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 当时，取得最小值，. ∴ ，即实数的取值范围是. 6．C设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”. 由全概率公式得，由题意可知，， 当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为， 当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为， 代入全概率公式计算可得. 故取出的两球都是白球的概率为. 7．D ， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 8．BD选项A：如果事件与事件互为对立事件，则， 但，，； 选项B：如果，则，即； 选项C：如果事件，互斥，则； 选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立， 即，， 因此. 9．BD对于A：因为，所以不是函数的周期，故A错误； 对于B：因为， ， 所以，所以的图象关于对称.故B正确； 对于C：因为， 由或. 又，所以或，即在区间上有2个零点，故C错误； 对于D：由. 由或. 当时，或， 若，，则，所以； 若，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上可得，当，时，取得最大值.故D正确. 10．ACD 由已知可得， 对于A，当为等差数列时，则，故，故A正确； 对于B，由，2，，时，则， 所以， 则，故B错误； 对于C，显然，又， 所以，故C正确； 对于D：令，2，3，，， 则，所以 即，，2，3，，， 于是有，2，3，，， 又， 即,所以， 解得，所以，故D正确. 11． 把可看成五个因式的乘积， 含的项可以是五个因式中选1个提供，1个提供，余下3个因式提供1； 也可以是五个因式中选3个提供，余下2个提供1； 则的系数是. 12． 已知，， 根据复合函数求导法则，.所以， 即. 即（为常数）. 将代入得：，解得，所以. 因为在上连续且， 所以. 13． 6 记表示向右的次数，则服从二项分布， 故； 此时质点对应的数，； 记“”为事件，，， 于是：， 记事件“有且仅有一次经过1”为事件， 则事件的情况有：RRRLRL，RRRRLL，LRRRRL，LLRRRR，LRLRRR （其中R表示向右走，L表示向左走），共5种， 则，于是：. 14．（1）∵ 袋子中共有个球，一次摸出2个球的总情况数为，摸出2个红球的情况数为.由古典概型概率公式得. 代入，，得，整理得. 即，解得或.又，故. （2）（i）由（1）得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为.的可能取值为0,1,2，且. ∵ ，， ，故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （ii）总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于.解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 15．（1），则，，又， 故是首项为，公比是的等比数列，，即， 成立，数列的通项公式为． （2）， ， ， ，， ，，故． 16．（1）当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）原不等式代入整理，由于， 两边同除以得.要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得， 令，得；当时，，单调递增； 当时，，单调递减.因此的最大值为. 即的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $